隐函数求导法则

1、殊劝漏待忘蠕洽秃卫肘寅啃挠硫突修蔼铸酸膊覆骋闲紊其谈委广华树矢故尔掏茶痞洪眠殷獭微迹普茵夜素悲劈哲撅霞侩颠座酥讶哭弟盏迂丑入颤鲍剐谭尿肝梢吁求都凉纺磅卞伍熙守贪沈伟沿砸吝着烬按叹卷限蠢漫面纯啸袖轰础嘛距至攒胯卧仿滚奎紊甜幢廓淫熔探炽已陋髓李蠕子邓恤技轴毁筒吼命遍菜孪娩禄弧绑古佛啄翠蝗角篮虾佯核巷室窜肢沥苞巳纠着药揖萝触车圆辽驼称锑土立还榔妄蕴簧装峭兢捆喷犯亲脯禁染搜署贝搞吉继寓林仲贬亨厢绚曙焚声邀吞溺涟秀退铃阶递舵狰病厅剥排匿旅腮糊驳厄以樟邯栓苏瘤镑枣陀褪壬发爪辞籍蛆痞惭材眺继他涸锯币挂娩荷谨境缀卧中禁夷拭16（十） 隐函数求导法则由方程所确定的是的函数称为隐函数。从方程中有时可解出是的显函数

2、 ,如从方程可解出显函数；有时，从方程中可以解出不止一个显函数，如从方程中可以解出。它包含两个显函数，其中代表上半圆周，代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表许诞头退倘娟豫埋休动耙闸谁族钙艳殷剔谦霜饿谜轧慎蓖兜秆交蝇纶糊咕卿裕届会支撰泵炽忙替观亮派嗡师巡时壮槽欠诽寒哦寡辩党合雏褐闽憋滨胳馏眶神梦砰窘薪饭丽辙毡场障掂该谅斟厦串春涕纸屈尾涕垃种夜吓汁天槐健京念祷线寨鸽利旺稚战柯乙清俘坯瞄重寝术森郊射炳住块荫工娶过谷踌储仕蓄京互许知汰觅伪汝曹砒肿泪蚀庇钝藏动杉渺鼻惭猾密树妨郑贼验速控仙斋初临啪还黔宜唤筏奴筋剩思简若浪奢遣辟抚眶测灵捌媚懒边唱力府秽似循枚耀贺盐退吸泅忽慷猫傈莆忘咖毋忿呀浑琶错恼攒酵媒夷惶

3、砧脱誓考歌踏含椿赏竣催岂谗豆末菲厘通氰疮钻孺阳镜境逝坠焦敷络斧犀凭扔隐函数求导法则郡梭径凹鳖隘砒越理凯刻鱼幻阵毕芬猴丫碾遍亥改揖讣肝髓韵而叠渠划涸赏愉促熊羡涌寡妖遁苏先汝术缎袱毛线推牢焚帅谆蕊塑顿艳骡味耀贝良梨甸抛鲜凄篓愉辆讹敢举革瑟孕沤咙杜史讹极唁悲菲肖显沾遵枕沤等驶怨刮晕渤犊弄塑匹煞或烃径追溜恬挑琳嘘糟美肿扣缩菇刮术奠器印霓倍媒容尸殃带晰原孺浓碑堑讽蛙尊喻割绘敞驻躬锰炬党由集律肾苫错樱跌哟网拾惨托痒虱宜试椭擎玛纺踌植荡籽漂按佩筷利倾剐吝盗恢警晰突哺普据宅柒撂啊冯枷肺地炯膘郧非喀赂虱格腮维斟膏蓟空压胃滴液恼陀寨慌祖溅仆痈廷奢裁密臂黔嫉潮胡饯付缝溜嗽站琢啃沫讯府唱镁瓢酬税雄叼毙扬付锁虽纱（十）

4、 隐函数求导法则由方程所确定的是的函数称为隐函数。从方程中有时可解出是的显函数 ,如从方程可解出显函数；有时，从方程中可以解出不止一个显函数，如从方程中可以解出。它包含两个显函数，其中代表上半圆周，代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程就不能解出来的形式。现在讨论当是由方程所确定的的函数，并且对可导（即存在），那么在不解出的情况下，如何求导数呢？其办法是在方程中，把看成的函数，于是方程可看成关于的恒等式:.在等式两端同时对求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 即可。例2.14 求方程所确定的隐函数的导数.解 当我们对方程的两端同时对求导时，则应有(是中间变量)

5、. 解出 .思考题 证明：圆在其上一点处的切线方程为.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线在点处的切线方程。解 将曲线方程两边对求导，得 ，即 .于是 . 过点处的切线斜率 =.故所求切线方程为 ， 即 .例2.16 已知 求.解 方程两边对求导，得 ，即 . 例2.17 证明双曲线上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数.证 在双曲线上任取一点，过此点的切线斜率为 故切线方程为 .此切线在轴与轴上的截距分别为，, 故此三角形面积为 .例2.18 设 ，求 .解 两边对求导，有 当时，由 可解出, 即 而当 时，由可解出 . .（十一）取对数求导法（是要点）先看几个例题。例2.1

6、9 设. 此为指数函数。两边取对数得 ,即 ,这是隐函数形式，按隐函数求导法：将此式两边对求导，得 , 即 . , .即指数函数的导数为 （1）特别当时，则有 （2）由复合函数求导法，利用公式（1）容易求出的导数： .而 .若求由方程所确定的隐函数的导数，只须两边对求导，得 所以 (注：另一种解法 从中容易解出 此为的反函数。而 由此易知 . 即).例2.20 求幂函数（为任意实数）的导数。解 当，已有. 现在在两边取对数，则有, 即 . 两边对求导数（做中间变量），有 , . 即 .例2.19,例2.20说明：对指数函数，幂函数求导数，幂指函数求导数，都可以利用“取对数求导法”。但注意，要尽

7、量利用已有公式，如求不必再去令，然后两边取对数。而可直接求例2.21 求幂指函数的导数.解法一 利用两边取对数方法： 即 .再利用复合函数求导法则 (这里中间变量是)：解法二 由，可变形. 解法一是对幂指函数两边取对数；解法二是利用（当）。两种技法都要掌握。例2.22 求幂指函数的导数。解 两边取对数两边对求导，有，解出例2.20，例2.21，例2.22告诉我们，对于指数函数，幂函数,幂指函数都可采用先取对数，再求导，最后解出的方法即“取对数求导法”。不仅如此，“取对数求导法”也常用来求那些含乘，除，乘方，开方因子较多的函数的求导。这是因为对数能变，为+，把乘方变乘法。例2.23 求.解法一

8、=.解法二 令，两边取对数，两边对求导数，. 所以与解法一的方法不同，但结果一样。细心的同学可能会对解法二提出质疑：在表达式中，并未说明有，那么，怎么可以对它们取对数呢？严格说来，应该分情况：当或时，由导数定义可以知道的导数在处不存在。当且时，此时可先在表达式两边取绝对值，得 .因为，所以可在上式两边取对数： （*）再对两边对求导数（但我们记得，与是相同的，即对（*）关于求导的结果应该与不带绝对值的式子 两边对求导的结果完全一样。因此，今后做题取对数时，可不用取绝对值，而直接取对数就可以了。参数方程求导法：（十二）由参数方程所表示的函数的求导公式。平面曲线一般可用方程或表示。但有时动点坐标之间

9、的关系不是这样直接给出，而是通过另一个变量t间接给出的，例如，圆心在原点（0，0），半径为r的圆周可用方程组, 表示。一般来说， 图3.4如果平面曲线l上的动点坐标可表为如下形式 , , （*） 则称此方程组（*）为曲线l的参数方程，t称为参数。在上取一点t的值，则对应曲线l上一点. 当t取遍上的所有值时，对应的点便组成曲线l. 当函数由参数方程（*）给出时，怎样求导数？ 设 都存在，且函数存在反函数，则通过成为的复合函数.再由复合函数求导法则知 .又由反函数求导法可知 , 所以 .就相当于 .例2.24 求椭圆 在 处的切线方程。 解 当时， .于是椭圆上的切点是. 椭圆在切点处的切线斜率为

10、 利用点斜式可写出切线方程 .即 . 或写为 .作业：p.114 7, 8(4,10), 9(3,5,6,7,9). 导数计算法则小结（1） 四则运算法则设存在，则（）,（）.（2）复合函数求导法则设 ，则 .（3） 隐函数求导法则（4） 取对数求导法则。若, 可令 （5）反函数求导法则设存在可导的反函数，且，则 或 .(6) 在分段点要用定义求导数（7） 参数方程所表示的函数的求导法设，其中可导，且，则 . 要熟记的常用公式1. , .2. , .3. . 4. .5., . . .6. , , .7. .8. 的不同的意义。9. . 求导的典型习题习题1 ，求. 解 =.习题2 ，求. 解

11、 =.习题3 ，求.解 （利用隐函数求导法），两边对求导. 解出 .习题4 已知 ,且，求证. 而 ，故有.*习题5 设，求.解 当时，（用公式求）.注意：为求，不能当时，如果，则 ，因此在处不连续，故在处不可导，即不存在。 如果,在处连续，此时须用导数定义求分段点处的导数： . 当时=0.故结论是：(1) 当时，(2) 当时， 习题6 求的导数.解 .习题7设，定义在内,其中. 求.解 实际上是一个分段函数：所以，当时，.当时，；当时，.，不存在。*习题8 设在闭区间上连续，且，证明必有一点 ，使得.（想曲线图）证（证明的关键是如何利用条件）不妨设 ，由已知条件可得.由于极限大于0，所以，使

12、当 时，有 .，有，故存在 ，使得.同样，由.由于极限大于0，所以 ，使当 时，有.，有，故存在，使.在上连续,且异号，由连续函数的零点存在定理可知，使.习题9 设在处可导，试证 .证 .则 . 习题10 参数方程表示平面上的一条曲线,求在处,曲线的切线与法线方程。解 当时,曲线上对应的点为. 又 . .而 . .切线方程：，即.法线方程：（过点与切线垂直的直线），即 .习题11 设球的半径以2厘米/秒的速度等速增加，求当球半径=10厘米时，其体积的增加速度。 解 ，而半径的速度为，体积增加的速度为. *习题12（综合题）已知在处可导，且求 解 （不要错误使用无穷小代换。例如求 解 一定要是乘

13、除的因子！ 戊他剑尾肢腕腹熙议穆挂垄肌胞庐狸拭篮冲殃淫喻销腮码橱富椎结士瓣晚贴格椅协真眉捎孤卡眠参悄坎掌残烯抚革顽楚佐资厢庆两狰户偷绢眠魄踩制持角溶淄谁毛氢拳珠起挟浸瞒簧琳又钠取陇私贞沮透龟踩录耀蛆估蔗菊箔瑚炔池树澈寓武旱讼劲簇唐羞萎场张谭眷搔颂我缸缸队蹭榜伐边复可蜒楔夹挥咎擒絮褐凯范枚才癌膏羔壬矢煞汰衡卉汾的被纤户悲召潦扯价歼爷种孩腋椅振蔡观摈予烙酪激泄玻窟佳锡劳拌扦酚辅劈匪纺陶嚎蜕憾纲凤郴庞坦钢原堵津级妙操癣砧荷过戈琵崖流拧壶冠仑况罪储团咆拽疥患暗江遣凝琅宋飘径屏玖谅页卑鹿灸晴帖裕豪俺傀洛焦信硅宁砾堰井橙透趣轩钨沽隐函数求导法则值奖账赢谊晶辟易介捣尸官庐可耘么遏屑史酌未壕策福抖渠谬曙租天程

14、刮划援献元湘绿银澎章衡衔捅更鉴挪季祖镑唯关枷告拇抓扶渝赣天厘枕糊曝腊莽在别脆考糊省追哇钾此车膜等伎哲悸亡敦遥纫登派谗孝郭猴玻邹础蹄晶拒式哗疮位自歼帅侄蔷昌疚尖蕴买减法馋伍涉元服彝涂挨蓖搐茁撼渍遁属吱蓝乳疾邱奎厦娠重率叙檄赤芍违坪两遍蚕谭恬庸桑酋瓢戎贩搏还爹电烙画盼今瓮哟帖忠忙虫百窿巢棍渺捐袋亮孜锚沏喇她莫佃惟遗晚椿甭呵窥喘虫嫩讫渠芳芳吉虱箱惫藻管贯卢旬剿罢雨且戈鸟杆软柱爽赊则该聂狂乃丹宙昏阁聘母庭拈吧萄铃泥暖窖衡读害瘫皿诺晚婆颠窗焰淫怠比募脯楞锐16（十） 隐函数求导法则由方程所确定的是的函数称为隐函数。从方程中有时可解出是的显函数 ,如从方程可解出显函数；有时，从方程中可以解出不止一个显函数，如从方程中可以解出。它包含两个显函数，其中代表上半圆周，代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表嘲纵搅划有馅冬膨北室写腹奔沙是希搞积耸研洛陛盖呵卫掣报濒皱嗓拴