新概念物理教程力学答案详解(四)

1、新力学习题答案（四）4 1如本题图，一质量为 m的质点自由降落，在某时刻具有速度v。此时它相对于 A、B、C三参考点的距离分别为 d1、 d2、d3。求1）质点对三个点的角动量；2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。解：（1） J r mvJ A d 1mv（ 方向垂直纸面向里）J B d 2mv sind1 mv（ 方向垂直纸面向里）J C d 3mv sin 0 0（ 2）M r F r mgM A d 1mg（方向垂直纸面向里）M B d 2 mg sind1 mg（方向垂直纸面向里）M A d3mg sin 0 0mv4 2.一质量为m的粒子位于（ x, y）处，速度为 v vxi?

2、vy ?j ,并受到一个沿 x方向 的力 f。求它相对于坐标原点 的角动量和作用在其上 的力矩。解： J r mvxi?y?j m? vxi? vy j?mxv y myvxk?M r Frfmg?xi? y?j?xmg?jyfkymgi?4 3.电子的质量为9.110 31 kg ，在半径为 5.3已知电子的角动量为h/ 2 （ h为普朗克常量，等于fi? mgk?10 11 m 的圆周上绕氢核作匀速 率运动。6.63 10 34 J s）,求其角速度。解：依题有：Rmv mR 2h2 mR 2346.63 10 3431 11 22 3.14 9.1 10 31 5.3 10 11171.

3、13 1017 弧 / 秒4 4.如本题图，圆锥摆的中 央支柱是一个中空的管我们可将它逐渐拉短。 设摆长为 l1时摆锤的线速度为 的速度 v 2为多少？圆锥的顶角有 什么变化？子，系摆锤的线穿过它解：分析：摆锤受到绳子张力和重力的作用，此二力对过O沿管子方向均无力矩分量，l1v1 sin 1l1v1sin 1 l2v2 sin 2v21 1 1l2 sin 2摆锤作圆周运动,当顶角为 时有 :T cos mg2 mvT sintg 1 sin 1tg 2 sin 22 mv l sin 2v1 l 2v2 l 1两式相除得: tg sin2 v gl3tg 1 sin 13tg 2 sin 2

4、ll1232v1 l 22l 1v1 sin 1l1l 2 sin 2又l 2 l132l 2 sin3l 1 sin2321顶角变大所以过 O沿管子方向（即竖直方向）上角动量守恒。当它4 5如本题图，在一半径为 R、质量为 m的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。 初小汽车在转台边缘， 转台以角速度 绕中心轴转动。 汽车相对于转台沿径向向里开， 走到 R/2 初时，转台的角速度变为多少动能改变多少能量从哪里来 解：由汽车和转台组成的系统角动量守恒。起初 : J I转Rmv汽 1mR2 Rm R mR22 2 2汽车走到 R时： J' I转Rmv'汽切向1 mR2mR R2转

5、2224252mR28又： J J ''85转台动能改变为：E1I'2I 转 '1 I 2 I转22转21 1 28239 22mR2mR220225100能量从汽车对转台的摩擦力作功而来。时，4 6在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v转台怎样转动 解：对速度产生影响的是汽车与转台之间的摩擦力。对系统而言，摩擦力是内力。设汽车的速度为 v1,转台边缘的速度为 v2,则 :v1 v2(1)1 m 22 2 v122I转1 m 22 2 v1211mR222v212m折合vmm1 2 2v2mm2由(1)(2)即: v126v22v

6、222v36vv2 v23v 3v2v22(2)即转台沿相反的方向转 动.0647两质点的质量分别为m1、 m2( m1 大于 m2)，栓在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度 在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大角动量之比为多少解：先求质心位置：设 m1, m2距质心分别为 r1与 r2 ,则有：r1m2m1 m 2m1r1m2r2m 111 2 2r11 lm1两质点对质心的角动量 ：J1 r1 m1 v1 m1r12 m1J2 r2 m2v2 m2r22 m 2又 : m1 m2J1 J 22m2m2m1 m2 2l2lm1 m2m1 m 22m1m1m1m 2 2l2lm1

7、 m2m1 m 2m248在上题中，若起初按住m2 不动，让 m1绕着它以角速度旋转。然后突然将 m2解：突然放开 m2后， m1、 m2组成的系统在水平方向 不受力，总动量守恒 : m1v1 m1 l m1 m2 v cv c m1 lm1 m2即质心作匀速直线运动放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为突然放开 m 2后的那一瞬间，系统对 质心角动量守恒先求质心位置：设m1 ,m 2距质心分别为 r1与 r2,则有：r1m2m1 m 2m1r1 m2r 2mr1m1两质点对质心的角动量 ：2J1 r1 m1 v1 m1r1m1m1m 22J J 1 J 212lm

8、1 m22绳中的张力：m1v1T m1r1J2 r2 m2v2 m2r22m 249两个滑冰运动员，体重都是2m22lm2m1 m2 22lm1 m22m1 m 2m1lm1m1m 2 22lm1 m2m1 m 22m 1m2l2r1lm1m2m260kg，他们以 s 的速率垂直地冲向一根 10m 长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。 若将每个运动员看成一个质点，细杆的质量可以忽略不 计。（1）求他们抓住细杆前后对于其中点的角动量；（2）他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为时，各自的速率是多少（3）求此系杆中的张力；（4）计算每个运动员在减少他们之间距离的过程中所作的功，并证

9、明这功恰好等于他们动 能的变化。解：两人和杆组成的系统角动量守恒，质心在杆的中点。（1） 各运动员在抓住杆前后 对杆中点的角动量不变 ，均为： J r mv rmv 5.0 60 6.5 1950 kgm2 / s（ 2）在运动员往自己边收杆 的过程中，角动量守恒 ：2J 2J' 即J J 'rrmv r 'mv' mv'2v' 2v13m/s（3）此时绳子的张力： T2 mv'260 1324056Nr'5.0/2（4）每位运动员动能的变化：E12 m v'22 1 2v 260 132 6.523802.5焦耳4 10

10、在光滑的水平桌面上，用一根长为的绳子把质量为 m的质点联结到一固定点 O。起初，绳子是松弛的，质点以恒速率v0 沿一直线运动。质点与 O最接近的距离为 b，当此质点与 O 的距离达到 时，绳子就绷紧了，进入一个以 O 为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了2）当质点作匀速率圆周运动后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动绳断后质点对1解：(1) E初mv02E终12 m v0 sin222mv 0 sin2E 终2sinE初其它能量转变成绳的弹性势能2）绳突然断后， m将作直线运动由于无外力作用（重力 与支持力相抵消），所 以m对 O的角动量不变， 为 : J

11、 lmv 0 sinO的角动量如何变化4 11图中 O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r 2（ k 为一常量）。1）求此力场的势能；2）一质量为 m的粒子以速度 v0、瞄准距离 b 从远处入射，求它能达到的最近距离和此时 刻的速度。k 解：（1）r处的势能： Epf drk2 drr r r 2 这是取无穷远处为势 能零点的）（ 2）设最近距离为 b：机械能守恒：1 mv02 k 1 mv 2(a)(b)由（ a）（b）求出： Rv2 2 4 2 k k m v0 b2mv0mbv03k k 2 m2 v40 b2解：（ 1） r初的势能：E p r fkdr 2 dr r

12、r 2这是取无穷远处为势能零点的）（2）设最近距离为 b：机械能守恒： 1 mv02k 1 2 mv(a)20R2角动量守恒： mv 0bmvR(b)由（ a）（b）求出： Rk k 2 m2v04b 22 mv0 mbv03vk k 2 m242 v0b412在上题中将排斥力改为吸引力，情况如何k r413如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24 小时一圈变成每48 小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少2 0 R 2 角动量守恒： mv0 b mvR已知地球的质量为 M 田 月球的质量为 M 月 解：月球绕地球转的周6 1024 kg,地球半径为7 1022 kg,地月距离

13、为 期与地球自转的周期相R田 6400km. l 3.8 105 km同。F地月GM 田 M 月l2M月2lGM 田21/ 3l' lGM 田21/32/31/3GM 田22/324/248/22 2 /32 /3l 2 2/353.8 105414一根质量可以忽略的细杆，长度为 , 两端各联结质量为 m的质点， 静止地放在光滑的水平桌面上。另一质量相同的质点以速率v0沿 450 角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。解：碰撞前后 ,由三质点组成的系统 （c是杆上两质点的质心） ：I 2m l 2 1 ml 2I c 2m ml c 2 2动量守恒： mv0 mv

14、' 2mvc （1）机械能守恒：1 mv02 1mv'2 1 Ic 2 1 2mvc22 0 2 2 c 2 c 即：v02 v'2 21l 2 2 vc2（2）l1对质心的角动量守恒 :m l sin 450 v0 v' Ic1 ml2（3）（1）和（3） 2vc2lv0由（1）（2）（3）2 2v03l4 15质量为 M的均匀正方形薄板，边长为 L，可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m、速度为 v 的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样(2)vv'运动解：板对铅垂边的转动 惯量： 在距离铅垂边为 x处，取小矩形： 则

15、 : dm ds宽为dx,长为L的面元。LdxIx2 dmx2Ldx13 L413ML2碰撞前后：机械能守恒：1mv21mv'21mv'22对铅垂轴角动量守恒：mvLmv'L1 2 2ML2 2612 mv' LML23(1)6mv3m M L 3m M 3m M4 16由三根长 、质量为 m的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量。解：设该转轴为过 O且与该三角架垂直的轴 利用平行轴定理。 则： I I AO对O IBO对O I AB对O21 2 1 2 1 2 3 3 2ml ml ml m l ml3 3 12 2 24

16、17六小球各重 60g，用长 1cm 的六根细杆联成正六边形，若杆的质量可忽略，求下述 情况的转动惯量。（1）转轴通过中心与平面垂直；（2）转轴与对角线重合；（3）转轴通过一顶点与平面垂直。解：利用平行轴定理：1）I中心26ml 2 6 602212 360gcm2（2）I 对角线4m 3 l22223ml 2 3 60 12 180gcm2(3) I 顶点2m 2 23l222ml2 m 2l 2212ml 2 122260 12 720gcm22, 质量为 m，圆盘半径为 R，质量为 M。418如本题图，钟摆可绕 O 轴转动。设细杆长求：（ 1）对 O轴的转动惯量；（2）质心 C 的位置和

17、对它的转动惯量。解：( 1)依平行轴定理有：I I I11ml MR M R l32mxmx m x(2)xm m Mmx MxmM又 :I I m M xmMI I m M xmm M l m2MRlMx又:Imx MxmM I m MxImIMmm 600 191.1(kgm2 )25kg，以 50r/s 的转速转动。用工具以 200N 的正压力作用在轮边上，使它在 10s 内停止。求工具与磨轮之间的摩擦系数。 M R l1 ml1MR M2RlmM232mMr 的两个圆孔，孔心在半径的中419在一质量为 M、半径为 R 的均匀圆盘上挖出半径为点。求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的

18、转动惯量。解：面密度 2R2依平行轴定理有：I 盘对 O I 剩余对 O 2I 小圆盘对 OI 剩余对 O I 盘对 O 2I 小圆盘对 O212MR22122 rr2 rR2221 MR 2M42 r 20一电机在达到 20r/s 的转速时关闭电源，若另它仅在摩擦力矩的作用下减速，需时 间 240s 才停下来。若加上阻滞力矩，则在 40s 内可停止。试计算该电机的转动惯量。 R21M22 rR1 M R2 r 2M4R2 r2 R22220 2 40 弧 / 秒只有摩擦力矩时：0 IM 磨 t1即： I 40 M 磨 240（1）加上阻滞力矩后：0 IM 磨 M 阻 t1 即： I 40 M 磨500 40解：根据系统对定轴的转动定理，有：(2)421一磨轮直径，质量解：依刚体对定轴的转动定理有：frtNrtI初122 mr 2 初122mr 初0.5250.05250 20.098Nrt2000.05104 22飞轮质量 1000g，直径，转速 100r/min 。现要求在内制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=，飞轮质量全部分布在外边缘上，尺寸如本题图所示。解：闸瓦要处于平衡状态，依力矩平衡原理，N 0.5 F (0.5 0.75)N 2.5F 飞