十章节多元回和相关

1、第十章 多元回归和相关n第一节 多元回归n第二节 多元相关和偏相关本章主要内容有：n 确定各个自变数对依变数的各自效应和综合效应，即建立由各个自变数描述和预测依变数反应量的多元回归方程；n对上述综合效应和各自效应的显著性进行测验，并在大量自变数中选择仅对依变数有显著效应的自变数，建立最优多元回归方程；n评定各个自变数对依变数的相对重要性，以便研究者抓住关键，能动地调控依变数的响应量。 第一节 多元回归n一、多元回归方程n二、多元回归的假设测验n三、最优多元线性回归方程的统计选择n四、自变数的相对重要性一、多元回归方程n多元回归或复回归(multiple regression)：依变数依两个或两

2、个以上自变数的回归。n (一) 多元回归的线性模型和多元回归方程式n若依变数y 同时受到m 个自变数x1、x2、xm 的影响，且这m 个自变数皆与y 成线性关系，则这m+1个变数的关系就形成m 元线性回归。 n一个m元线性回归总体的线性模型为： 其中， n( 0， )。n一个m元线性回归的样本观察值组成为： jmjmjjjxxxxy210021j2jmjmjjjexbxbxbby21021(101)(102)n一个m元线性回归方程可给定为： b0是x1、x2、xm 都为0时y 的点估计值；b1是by123m 的简写，它是在x2，x3，xm 皆保持一定时，x1 每增加一个单位对y的效应，称为x2

3、，x3，xm 不变(取常量)时x1 对y 的偏回归系数(partial regression coefficient) 。 mmxbxbxbby22110(103)(二) 多元回归统计数的计算n(102) 用矩阵表示为： n即 y=xb+e (104)nmmnmmnneeebbbxxxxxxyyy2110211121121 11 1n其中(三) 多元回归方程的估计标准误n qy/12m 称为多元离回归平方和或多元回归剩余平方和，它反映了回归估计值和实测值y之间的差异。 最小 n自由度： = n-(m+1) yxxxb 1)(2) (yyq(105) sy/12m1)(/12mnqmy（106）

4、二、多元回归的假设测验n(一) 多元回归关系的假设测验n测验 m 个自变数的综合对 y 的效应是否显著。若令回归方程中b1、b2、bm 的总体回归系数为 、 、 、 ，则这一测验所对应的假设为h0： 0 对ha： 不全为0。 12mm21in由于多元回归下 ssy 可分解为 uy/12m 和 qy/12m 两部分，uy/12m由 x1、x2、xm的不同所引起，具有 = m；qy/12m与 x1、x2、xm的不同无关，具有 =n-(m+1)，由之构成的f 值： )( /1/1212 mnqmufmymy(108） (二) 偏回归关系的假设测验 n偏回归系数的假设测验，就是测验各个偏回归系数bi(

5、i=1，2,，m)来自 =0的总体的概率，所作的假设为h0： =0对ha： 0，测验方法有两种。n1t 测验 iii 服从 的 t 分布，可测验 bi 的显著性。 23332312322211312112222 212022110120100/123/1)()(yxybbbbbbbbbbbbbbbscccccccccsxxbvibs1)1)(iic ibiisbt) 1( mn(109)=sy/12m(1010)(1011)n 2. f 测验 (1012)n 就是y对xi的偏回归平方和， 。 (1013) 1)1)(2iiipcbui1)(/12 mnqufmypiipu1三、最优多元线性回归

6、方程的统计选择n剔除不显著自变数的过程称为自变数的统计选择，所得的仅包含显著自变数的多元回归方程，叫做最优的多元线性回归方程。n逐步回归(stepwise regression)：为了获得最优方程，回归计算就要一步一步做下去，直至所有不显著的自变数皆被剔除为止。n自变数统计选择的具体步骤为：n第一步：m个自变数的回归分析，一直进行到偏回归的假设测验。 n第二步：m-1个自变数的回归分析，也是一直进行到 偏回归的假设测验。n第三步：m-2个自变数的回归分析，又一直进行到偏回归的假设测验。 n如此重复进行，直至留下的所有自变数的偏回归都显著，即得最优多元线性回归方程。四、自变数的相对重要性n偏回归

7、系数bi本身并不能反映自变数的相对重要性，其原因有二：nbi是带有具体单位的，单位不同则无从比较；n即使单位相同，若xi的变异度不同，也不能比较。n通径系数(path coefficient，记作pi)：即对bi进行标准化，在分子和分母分别除以y 和xi的标准差，从而消除单位和变异度不同的影响，获得一个表示xi 对y 相对重要性的统计数。n通径系数 pi 统计意义是：若 xi 增加一个标准差单位，y 将增加(pi0)或减少(pi0)pi 个标准差单位。yxixyiissssbnssnssbpii1)/(1/1)/(1/(1014)第二节 多元相关和偏相关n一、多元相关n二、偏相关n三、偏相关和

8、简单相关的关系一、 多元相关n多元相关或复相关(multiple correlation)：在m=m+1个变数中，m个变数的综合和1个变数的相关。n偏相关(partial correlation)：在其余m-2个变数皆固定时，指定的两个变数间的相关。 n(一) 多元相关系数n在m个自变数和1个依变数的多元相关中，多元相关系数记作 ry12m ，读作依变数y和m个自变数的多元相关系数。 n ry12m= （1015） ymyymyssqssu/12/121n多元相关系数为多元回归平方和与总变异平方和之比的平方根。nry12m的存在区间为0，1。n (二) 多元相关系数的假设测验n令总体的多元相关

9、系数为 ，则对多元相关系数的假设测验为h0： 对ha： ， 00n f 测验 ： n其中的 =m， =n-(m+1)，r2为 的简写。 )(12122rrf122 myr12（1016）二、偏相关n(一) 偏相关系数n偏相关系数：表示在其它m-2个变数都保持一定时，指定的两个变数间相关的密切程度。n偏相关系数以r 带右下标表示。如有x1、x2、x3 3个变数，则r123表示x3变数保持一定时，x1和x2变数的偏相关系数； n若有m 个变数，则偏相关系数共有m(m-1)/2个。n偏相关系数的取值范围是-1，1。n偏相关系数解法是：由简单相关系数rij(i，j=1，2，m )组成的相关矩阵： mmmmmmmmijrrrrrrrrrr212222111211)(rn求得其逆矩阵：n令xi 和xj 的偏相关系数为rij ，解得 后即有 rij （1018）mmmmmmmmijcccccccccc2122221112111)(rijcjjiiijcccn矩阵以主对角线为轴而对称，即rij =rji。逆阵 r-1中 的元素也是以主对角线为轴而对称的 。n(二) 偏相关系数 的假设测验n可测验h0： =