高三理科数学新课标二轮复习专题整合高频突破习题：专题五 立体几何 专题能力训练15 Word版含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5专题能力训练15立体几何中的向量方法能力突破训练1.如图,正方形abcd的中心为o,四边形obef为矩形,平面obef平面abcd,点g为ab的中点,ab=be=2.(1)求证:eg平面adf;(2)求二面角o-ef-c的正弦值;(3)设h为线段af上的点,且ah=23hf,求直线bh和平面cef所成角的正弦值.2.如图,在四棱锥a-efcb中,aef为等边三角形,平面aef平面efcb,efbc,bc=4,ef=2a,ebc=fcb=60°,o为ef的中点.(1)求证:aobe;(2)求二面角f-ae-b的余弦值;(3)若be平面aoc,求a的值.

2、3.(20xx山东,理17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形abcd(及其内部)以ab边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,g是df的中点.(1)设p是ce上的一点,且apbe,求cbp的大小;(2)当ab=3,ad=2时,求二面角e-ag-c的大小.4.如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,aa1=ad=1,e为cd的中点.(1)求证:b1ead1;(2)在棱aa1上是否存在一点p,使得dp平面b1ae?若存在,求ap的长;若不存在,说明理由.5.(20xx北京,理16)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,平面pad平面abcd,点m在线段pb上,pd平

3、面mac,pa=pd=6,ab=4.(1)求证:m为pb的中点;(2)求二面角b-pd-a的大小;(3)求直线mc与平面bdp所成角的正弦值.6.如图,ab是半圆o的直径,c是半圆o上除a,b外的一个动点,dc垂直于半圆o所在的平面,dceb,dc=eb,ab=4,taneab=14.(1)证明:平面ade平面acd;(2)当三棱锥c-ade体积最大时,求二面角d-ae-b的余弦值.思维提升训练7.如图甲所示,bo是梯形abcd的高,bad=45°,ob=bc=1,od=3oa,现将梯形abcd沿ob折起成如图乙所示的四棱锥p-obcd,使得pc=3,e是线段pb上一动点.(1)证明

4、:de和pc不可能垂直;(2)当pe=2be时,求pd与平面cde所成角的正弦值.8.如图,平面pad平面abcd,四边形abcd为正方形,pad=90°,且pa=ad=2;e,f,g分别是线段pa,pd,cd的中点.(1)求证:pb平面efg.(2)求异面直线eg与bd所成的角的余弦值.(3)在线段cd上是否存在一点q,使得点a到平面efq的距离为45?若存在,求出cq的值;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练15立体几何中的向量方法能力突破训练1.解依题意,of平面abcd,如图,以o为原点,分别以ad,ba,of的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可

5、得o(0,0,0),a(-1,1,0),b(-1,-1,0),c(1,-1,0),d(1,1,0),e(-1,-1,2),f(0,0,2),g(-1,0,0).(1)证明依题意,ad=(2,0,0),af=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面adf的法向量,则n1·ad=0,n1·af=0,即2x=0,x-y+2z=0.不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又eg=(0,1,-2),可得eg·n1=0,又因为直线eg平面adf,所以eg平面adf.(2)易证oa=(-1,1,0)为平面oef的一个法向量.依题意,ef=(1,1,0),cf=(-1,1,

6、2).设n2=(x,y,z)为平面cef的法向量,则n2·ef=0,n2·cf=0,即x+y=0,-x+y+2z=0.不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos<oa,n2>=oa·n2|oa|·|n2|=-63,于是sin<oa,n2>=33.所以,二面角o-ef-c的正弦值为33.(3)由ah=23hf,得ah=25af.因为af=(1,-1,2),所以ah=25af=25,-25,45,进而有h-35,35,45,从而bh=25,85,45,因此cos<bh,n2>=bh·n2|bh|

7、83;|n2|=-721.所以,直线bh和平面cef所成角的正弦值为721.2.(1)证明因为aef是等边三角形,o为ef的中点,所以aoef.又因为平面aef平面efcb,ao平面aef,所以ao平面efcb,所以aobe.(2)解取bc中点g,连接og.由题设知efcb是等腰梯形,所以ogef.由(1)知ao平面efcb,又og平面efcb,所以oaog.如图建立空间直角坐标系o-xyz,则e(a,0,0),a(0,0,3a),b(2,3(2-a),0),ea=(-a,0,3a),be=(a-2,3(a-2),0).设平面aeb的法向量为n=(x,y,z),则n·ea=0,n&#

8、183;be=0,即-ax+3az=0,(a-2)x+3(a-2)y=0.令z=1,则x=3,y=-1.于是n=(3,-1,1).平面aef的法向量为p=(0,1,0).所以cos<n,p>=n·p|n|p|=-55.由题知二面角f-ae-b为钝角,所以它的余弦值为-55.(3)解因为be平面aoc,所以beoc,即be·oc=0.因为be=(a-2,3(a-2),0),oc=(-2,3(2-a),0),所以be·oc=-2(a-2)-3(a-2)2.由be·oc=0及0<a<2,解得a=43.3.解(1)因为apbe,abbe,

9、ab,ap平面abp,abap=a,所以be平面abp,又bp平面abp,所以bebp,又ebc=120°.因此cbp=30°.(2)解法一:取ec的中点h,连接eh,gh,ch.因为ebc=120°,所以四边形behc为菱形,所以ae=ge=ac=gc=32+22=13.取ag中点m,连接em,cm,ec,则emag,cmag,所以emc为所求二面角的平面角.又am=1,所以em=cm=13-1=23.在bec中,由于ebc=120°,由余弦定理得ec2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以ec=2

10、3,因此emc为等边三角形,故所求的角为60°.解法二:以b为坐标原点,分别以be,bp,ba所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得a(0,0,3),e(2,0,0),g(1,3,3),c(-1,3,0),故ae=(2,0,-3),ag=(1,3,0),cg=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面aeg的一个法向量.由m·ae=0,m·ag=0,可得2x1-3z1=0,x1+3y1=0.取z1=2,可得平面aeg的一个法向量m=(3,-3,2).设n=(x2,y2,z2)是平面acg的一个法向量.由n·ag=0,n&#

11、183;cg=0,可得x2+3y2=0,2x2+3z2=0.取z2=-2,可得平面acg的一个法向量n=(3,-3,-2).所以cos<m,n>=m·n|m|n|=12.因此所求的角为60°.4.解以a为原点,ab,ad,aa1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设ab=a,则a(0,0,0),d(0,1,0),d1(0,1,1),ea2,1,0,b1(a,0,1),故ad1=(0,1,1),b1e=-a2,1,-1,ab1=(a,0,1),ae=a2,1,0.(1)证明ad1·b1e=-a2×0+1×1

12、+(-1)×1=0,b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0,z0),使得dp平面b1ae,此时dp=(0,-1,z0).又设平面b1ae的法向量n=(x,y,z).n平面b1ae,nab1,nae,得ax+z=0,ax2+y=0.取x=1,得平面b1ae的一个法向量n=1,-a2,-a.要使dp平面b1ae,只要ndp,有a2-az0=0,解得z0=12.又dp平面b1ae,存在点p,满足dp平面b1ae,此时ap=12.5.(1)证明设ac,bd交点为e,连接me.因为pd平面mac,平面mac平面pdb=me,所以pdme.因为abcd是正方形,所以e为bd的中点

13、.所以m为pb的中点.(2)解取ad的中点o,连接op,oe.因为pa=pd,所以opad.又因为平面pad平面abcd,且op平面pad,所以op平面abcd.因为oe平面abcd,所以opoe.因为abcd是正方形,所以oead.如图建立空间直角坐标系o-xyz,则p(0,0,2),d(2,0,0),b(-2,4,0),bd=(4,-4,0),pd=(2,0,-2).设平面bdp的法向量为n=(x,y,z),则n·bd=0,n·pd=0,即4x-4y=0,2x-2z=0.令x=1,则y=1,z=2.于是n=(1,1,2),平面pad的法向量为p=(0,1,0).所以co

14、s<n,p>=n·p|n|p|=12.由题知二面角b-pd-a为锐角,所以它的大小为3.(3)解由题意知m-1,2,22,c(2,4,0),mc=3,2,-22.设直线mc与平面bdp所成角为,则sin=|cos<n,mc>|=|n·mc|n|mc|=269.所以直线mc与平面bdp所成角的正弦值为269.6.(1)证明因为ab是直径,所以bcac.因为cd平面abc,所以cdbc.因为cdac=c,所以bc平面acd.因为cdbe,cd=be,所以四边形bcde是平行四边形,所以bcde,所以de平面acd.因为de平面ade,所以平面ade平面a

15、cd.(2)解依题意,eb=ab×taneab=4×14=1.由(1)知vc-ade=ve-acd=13×sacd×de=13×12×ac×cd×de=16×ac×bc112×(ac2+bc2)=112×ab2=43,当且仅当ac=bc=22时等号成立.如图,建立空间直角坐标系,则d(0,0,1),e(0,22,1),a(22,0,0),b(0,22,0),则ab=(-22,22,0),be=(0,0,1),de=(0,22,0),da=(22,0,-1).设平面dae的法向

16、量为n1=(x,y,z),则n1·de=0,n1·da=0,即22y=0,22x-z=0,取n1=(1,0,22).设平面abe的法向量为n2=(x,y,z),则n2·be=0,n2·ab=0,即z=0,-22x+22y=0,取n2=(1,1,0),所以cos<n1,n2>=n1·n2|n1|n2|=12×9=26.可以判断<n1,n2>与二面角d-ae-b的平面角互补,所以二面角d-ae-b的余弦值为-26.思维提升训练7.解如题图甲所示,因为bo是梯形abcd的高,bad=45°,所以ao=ob.

17、因为bc=1,od=3oa,可得od=3,oc=2,如题图乙所示,op=oa=1,oc=2,pc=3,所以有op2+oc2=pc2.所以opoc.而obop,obod,即ob,od,op两两垂直,故以o为原点,建立空间直角坐标系(如图),则p(0,0,1),c(1,1,0),d(0,3,0),(1)设e(x,0,1-x),其中0x1,所以de=(x,-3,1-x),pc=(1,1,-1).假设de和pc垂直,则de·pc=0,有x-3+(1-x)·(-1)=0,解得x=2,这与0x1矛盾,假设不成立,所以de和pc不可能垂直.(2)因为pe=2be,所以e23,0,13.设

18、平面cde的一个法向量是n=(x,y,z),因为cd=(-1,2,0),de=13,-3,13,所以n·cd=0,n·de=0,即-x+2y=0,23x-3y+13z=0.令y=1,则n=(2,1,5),而pd=(0,3,-1),所以|cos<pd,n>|=pd·n|pd|n|=315.所以pd与平面cde所成角的正弦值为315.8.解平面pad平面abcd,且pad=90°,pa平面abcd,而四边形abcd是正方形,即abad.故可建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),b(2,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0),p(0,0,2),e(0,0,1),f(0,1,1),g(1,2,0).(1)证明:pb=(2,0,-2),fe=(0,-1,0),fg=(1,1,-1),设pb=sfe+tfg,即(2,0