高考数学第二轮复习【第21讲】平行与垂直问题导学案含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5第第 2121 讲讲 平行与垂直问题平行与垂直问题【复习目标复习目标】1、理解平行与垂直的有关概念及熟练掌握判定定理和性质定理；2、学会运用判定及性质定理以及向量方法解决平行与垂直的问题；3、培养学生空间想象能力、逻辑推理能力；4、培养学生用向量的代数推理能力解决立几中探索性问题的意识。【课前热身课前热身】1、在正方体中，是异面直线的公垂线，则和 1111dcbaabcdefdaac1和ef1bd的关系是（ ）a相交垂直 b相交但不垂直 c异面垂直 d互相平行2、已知是两个平面，是两条直线，则下列命题不正确的是：（ ）,nm,a若，则 b若，则mnmnmnmn

2、c若，则 d若，则mmmm3、在正四面中，分别是的中点，则下面结论中不成立的是pabc,d e f,ab bc ca（ ） a、平面 b、平面bcpdfdf paec、平面平面d、平面平面pdfabcpaeabc4、已知是不同的直线，是不重合的平面，给出命题：mn、则；若则；若/,mn/mn,/,m nm/，则；是两条异面直线，若，,/mnmn/,m n/,/, /, /mmnn则。上面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）/5、在正方形中，过对角线的一个平面交于，交于，dcbaabcd bdaaeccf则四边形一定是平行四边形；四边形有可能是正方形；四边形ebfdebfd在底面内

3、的投影一定是正方形；四边形有可能垂直于平面ebfdabcdebfd。以上结论正确的为 。 （写出所有正确结论的编号）dbb【例题探究例题探究】例 1、已知是正方形平面外一点，分别为和上的点，且pabcdnm,pabd。求证：直线。8:5:ndbnmapmmnpbc平面npmdcba例 2、如图, 在直三棱柱 abca1b1c1中，ac3，bc4，ab=5，aa14，点 d 是 ab 的中点， （1）求证：acbc1； （2）求证：ac 1/平面 cdb1； 例 3、长方体 abcda1b1c1d1中，e、f 分别是线段 b1d1、a1b 上的点，且d1e=2eb1，bf=2fa1。（1）求证：

4、efac1（2）若 ef 是两异面直线 b1d1、a1b 的公垂线段，求证该长方体为正方体。备用题、在正方体中，分别是1111dcbaabcdfe,的中点，试问在棱上能否找到一点，使bcab和1ddmbm ？若能，确定点的位置；若不能，说明理由。1b ef平面m 【方法点拨】 1、判定线面平行可以构造面面平行，也可以借助于辅助平面寻找线线平行。2、空间线线的异面垂直的判定通常以三垂线定理及其逆定理为依据进行转化，或者通过线面垂直得到；3、对于平面内的垂直或平行问题，初中的平面几何知识可适时使用，向量的性质也是重要的工具之一。4、对于判定线面平行或垂直问题，应用空间向量的方法可省去找辅助线的麻烦

5、。冲刺强化训练（冲刺强化训练（2121）b1efbaca1dc1d1班级 姓名 学号 成绩 日期 月 日1、如图，在三棱柱 abcabc中，点 e、f、h、 k 分别为ac、cb、ab、bc的中点，g 为abc 的重心. 从k、h、g、b中取一点作为 p， 使得该棱柱恰有两条棱与平面pef 平行，则 p 为 （ ）ak bhcgdb2、正方体 abcda1 b1 c1 d1中，p、q、r 分别是 ab、ad、b1 c1的中点。那么正方体的过 p、q、r 的截面图形是a、三角形 b、四边形 c、五边形 d、六边形3、在正方体中，棱长为，分别为和上的点，1111dcbaabcdanm,da1ac，

6、则与平面的位置关系是（ ）aanma321mnccbb11a平行 b相交但不垂直 c垂直 d不能确定4、已知平面和直线 m，给出条件：,；.（i）当满足条件 时，/mmm/有；（ii）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）/mm5、在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角的三角形，111cbaabc abc，d 是的中点，点 e 在棱上，要使，则abbaac3,2111ca1aadebce1平面 ；ae6、在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，的重心，abcp pabg是上的点，且pbbcfe，分别为，2:1:fbpfecbe（1）求证：；pbcgef平面平面（2）求证：。的公垂线与是bcpgg

7、e 7、如图，直四棱柱 abcd-a1b1c1d1中，底面 abcd 是边长为 a 的菱形，且abc=600，侧棱 aa1的长等于 3a，o 为底面 abcd 的对角线的交点。 （1）求证：oa1/平面 b1cd1； （2）在棱 aa1上取一点 f，问 af 为何值时，c1a平面 bdf？ apppp a bbppp a gbppp a egbppp a fegbppp a cbppp a abcda11b1c1d1 8、如图，在底面是菱形的四棱锥 pabcd 中，abc=600，pa=ac=a，pb=pd=,点a2e 在 pd 上，且 pe:ed=2:1.（1）证明 pa平面 abcd；（2

8、）求二面角的大小；dace（3）在棱 pc 上是否存在一点 f，使 bf/平面 aec？证明你的结论. 第第 21 讲讲 平行与垂直问题平行与垂直问题【课前热身课前热身】1、d 2、b 3、c 4、 5、例 1：证法一 证明：在面 ac 中，过 n 作 bc 的平行线交 ab 于 q，则 nq / bc,连结 mq. 在面 ac 中，85ndbnqabq在面 apb 中， mq / pb85mapmqabqp pa ab bc cd de e又 nq / bc, 面 mnq / 面 pbcqnqmqbpbbc,直线 mn面 mnq mn / 面 pbc证法二证明：bdpbpabnpbpmbnp

9、bmpmn135135 bcbpbpbcbapbbpba135135135135 bpbcbpbc85138138135在 bc 上取一点 e，使，pebpbemnbcbe138138,85于是mn/pe，mn/平面 pbc。例 2（1）直三棱柱 abca1b1c1，底面三边长 ac=3，bc=4，ab=5， acbc，且 bc1在平面 abc 内的射影为 bc， acbc1；（2）解法 1 设 cb1与 c1b 的交点为 e，连结 de， d 是 ab 的中点，e 是 bc1的中点， de/ac1， de平面 cdb1，ac1平面cdb1， ac1/平面 cdb1；解法 2 取 a1b1中点

10、 m，连结 c1m，am、dm，易证四边形 adb1m，cdmc1是平行四边形，得到 am/db1，c1m/cd，从而得到 am/平面 cdb1，c1m/平面 cdb1 (3)dec 为所求的异面直线所成的角。其余弦值为.2 25例 3：解法一：（1）取 a1b1中点 m，连结 am、mc1，设 mc1与 b1d1相交于点 e。，b1e=2 ed1，又d1e=2eb1，e与 e 重合，m、e、c1共线，且1111112b eb me dc d。同理，m、f、a 三点共线，112meec且。，efac1，12mffa112memfecfa（2）连结 a1c1，ef 是两异面直线 b1d1、a1b

11、1的公垂线段，efb1d1，efa1b。前面已证efac1，ac1b1d1。又aa1平面 a1b1c1d1，a1c1b1d1，a1b1c1d1为正方形，同理，a1b1ba 为正方形。mmabcda1b1c1d1efa1b1=a1a。该长方体为正方体。解法二：（1）如图，以 d 为原点，da、dc、dd1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系。设 da=a，dc=b，dd1=c，则 e（） ，f（） ，22,33ab c12,33abc，。，( ,0,0)a a1(0, , )cb c111,333feabc 1, ,aca b c 113feac 。fe 1ac fe 与 ac

12、1不共线，feac1。（2）d1（0，0，c），b1（a，b，c） ，a1（a，0，c） ，b（a，b，0） ，=（a，b，0） ，=（0，b，c） ，11d b1abef 是两异面直线 b1d1、a1b 的公垂线段，efb1d1，efa1b。， 110fe d b 10fe ab ，b2c2=0，a=b=c。2211033ab该长方体为正方体。解法三：（1）设，11ada11dcb1d dc 则11111111121()()333feaeafadd eabad ba aab 21111()33333bacbbac 又， a1cfe1111acaca abac 13acfe（2）由题意知 ef

13、 是 b1d、a1b 的公垂线。即：ac1b1d 且 ac1a1b=0 =0dbac11)ab()cab( 即 =00baac11)cb()cab( 该长方体为正方体。|c|b|a|备用题：解法一 作法：b 作 bg交于 g；过 g 作 gm / ad 交于eb11aa1ddm；连 bm，则 bm 即为所求作 证明： 连 bd 正方体 abcd-中，e,f 为1111dcbaab 和 bc 的中点 ，又面 abcd efbmacbd 1ddc1 d1 a1 b1 e f d a b c z x y 又gm / ad 面 而 gm11aabbebbg1ebbm1 又 面eebef1bmefb1解

14、法二 解：以 d 为原点，da 为 x 轴，dc 为 y 轴，为 z 轴建立空间直角坐标系，1dd设正方体棱长为 1，则, 设 m，于是0 , 1 ,21,0 ,21, 1,1 , 1 , 1,0 , 1 , 11febbt , 0 , 0, tbm, 1, 10 ,21,21ef1,21, 01eb021210 ,21,21, 1, 1tefbm恒成立，要使 bm平面，只需,efbm efb1ebbm1即,而01ebbm.21, 0211,21, 0, 1, 11tttebbm故当 m 是的中点时，bm。1ddefb1平面冲刺强化训练（21）1、d 2、d 3、a 4、 （1）（2） 5、a

15、a2或6解法一（1）证明：延长 pg 交 ab 于 d，过 d 作 dm于 m。pb由 g 是三角形 apb 的重心 d 是 ab 中点。又 appb dm / ap m 是 pb 的中点 gf / dm gfpb12gdpgfmpf又 cppa, cppb cp面 apb cpgf又 pb 交 cp 于 p gf面 pbc又 gf面 gef 面 gef面 pbc(2) 解：p-abc 是正三棱锥 pc=pb= abc=a be= , bf=， 2a32a32bpbcbebf2 ，efbc,befbpc又 gf面 pbc ge bc过 g 点作 gh / ab 交 pb 于 h, 连 eh:

16、2becehbph eh / pc eh面 apb，又 pgab gh egpgpgeg 是 pg 和 bc 的公垂线。解法二证明：（1）将正三棱锥如图放置在坐标系中，使点为坐标原点，abcp p并设,3pcpbpa则).0 , 0 , 0(),0 , 1 , 1 (),0 , 1 , 0(),1 , 2 , 0(),3 , 0 , 0(),0 , 3 , 0(),0 , 0 , 3(pgfecba,pa),0 , 0 , 3(pafg31)0 , 0 , 3(31)0 , 0 , 1 (.由于平面，pafg/papbc平面，于是平面平面。fgpbcefgpbc（2）),3 , 3, 0(),

17、0 , 1 , 1 (),1, 1, 1 (bcpgeg , 033, 011cbgegpge,bcegpgeg是和的公垂线。egpgbc7、解：(1)取 bd的中点 e，连 ce，可以证明 oace，从而可证得 oa平面 bcd(2)取 ab的中点 m，则 cm平面 ab，am 为 ca 在面 ab内的射影。如图，只要abf=aam，就有 ca平面 bdf。由相似三角形知识可得：此时。,afa maba a6aaf 8、 （）证明 因为底面 abcd 是菱形，abc=60，所以 ab=ad=ac=a， 在pab 中，由 pa2+ab2=2a2=pb2 知 paab.同理，paad，所以 pa

18、平面 abcd.（）解 作 eg/pa 交 ad 于 g，由 pa平面 abcd.知 eg平面 abcd.作 ghac 于 h，连结 eh，则 ehac，ehg 即为二面角的平面角.又 pe : ed=2 : 1，所以.3360sin,32,31aagghaagaeg从而 ,33tangheg.30（）解法一 以 a 为坐标原点，直线 ad、ap 分别为 y 轴、z 轴，过 a 点垂直平面pad 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0 ,21,23(),0 ,21,23(),0 , 0 , 0(aacaaba).31,32, 0(), 0 , 0(),0 , 0(aaeapadodc