三年模拟一年创新高考数学复习 第八章 第七节 空间角与距离 理全国通用

1、高考数学精品复习资料2019.5第七第七节节空间角与距离空间角与距离a 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1 (20 xx泰安模拟)已知向量m m，n n分别是直线l和平面的方向向量和法向量， 若 cos m m，n n12，则l与所成的角为()a30b60c120d150解析设l与所成角为，cosm m，n n12，又直线与平面所成角满足 090，sin|12|.30.答案a2(20 xx广州模拟)在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱aa1和bb1的中点，则 sincm，d1n的值为()a.19b.4 59c.2 59d.23解析设正方体棱长为 2，以d为坐标原点，da为x轴

2、，dc为y轴，dd1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知cm(2，2，1)，d1n(2，2，1)，coscm，d1n19，sincm，d1n4 59.答案b3(20 xx石家庄调研)设正方体abcda1b1c1d1的棱长为 2，则点d1到平面a1bd的距离是()a.32b.22c.2 23d.2 33解析如图，建立空间直角坐标系，则d1(0，0，2)，a1(2，0，2)，d(0，0，0)，b(2，2，0)，d1a1(2，0，0)，da1(2，0，2)，db(2，2，0)，设平面a1bd的法向量n n(x，y，z)，则n nda12x2z0，n ndb2x2y0.令x1，则n n(1，1，1

3、)点d1到平面a1bd的距离d|d1a1n n|n n|232 33.答案d4(20 xx江西南昌质检)二面角l等于 120，a、b是棱l上两点，ac、bd分别在半平面、内，acl，bdl，且abacbd1，则cd的长等于()a. 2b. 3c2d. 5解析如图，二面角l等于 120，ca与bd夹角为 60.由题设知，caab，abbd，|ab|ac|bd|1，|cd|2|caabbd|2|ca|2|ab|2|bd|22caab2abbd2cabd32cos 604，|cd|2.答案c二、填空题5(20 xx青岛模拟)在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则d1c1与平面a

4、1bc1所成角的正弦值为_解析以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设n n(x，y，z)为平面a1bc1的法向量，则n na1b0，n na1c10，即2yz0 x2y0，令z2，则y1，x2，于是n n(2，1，2)，d1c1(0，2，0)，sin|cosn n，d1c1|13.答案13一年创新演练6已知正方形abcd的边长为 4，cg平面abcd，cg2，e，f分别是ab，ad的中点，则点c到平面gef的距离为_解析建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，则cg(0，0，2)，由题意可求得平面gef的一个法向量为n n(1，1，3)，所以点c到平面gef的距

5、离为d|n ncg|n n|6 1111.答案6 11117如图，三棱锥pabc中，papbpc 3，cacb2，acbc.(1)求点b到平面pac的距离；(2)求二面角cpab的余弦值解取ab中点o，连接op，co，cacb 2，acb90，coab，且ab2，co1.papb 3，poab，且popa2ao2 2.po2oc23pc2，poc90，即pooc.oa，oc，op两两垂直如图所示，分别以oa，oc，op所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为a(1，0，0)，b(1，0，0)，c(0，1，0)，p(0，0， 2)(1)设平面pac的一个法向量为n n(x，y

6、，1)，则n nac0，n npa0.ac(1，1，0)，pa(1，0， 2)，xy0，x 20，xy 2，n n( 2， 2，1)ab(2，0，0)，点b到平面pac的距离为d|n nab|n n|2 22212 105.(2)oc(0，1，0)是平面pab的一个法向量，cosn n，oc2221105.综合图形可见，二面角cpab的大小为锐角，二面角cpab的余弦值为105.b 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8(20 xx宁夏银川调研考试)已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值等于()a.64b.104c.22d.32解析法一取

7、a1c1的中点e，连接ae、b1e.由题易知b1e平面acc1a1，则b1ae为ab1与侧面acc1a1所成的角令正三棱柱侧棱长与底面边长为 1，则 sinb1aeb1eab132264，故选 a.法二如上图，以a1c1中点e为原点建立空间直角坐标系exyz，设棱长为 1，则a(12，0，1)，b1(0，32，0)，设ab1与面acc1a1所成角为，则 sin|cosab1，eb1|12，32，10，32，0232|64.答案a二、填空题9 (20 xx江苏徐州一模)将锐角a为 60， 边长为a的菱形abcd沿bd折成 60的二面角，则a与c之间的距离为_解析设折叠后点a到达a1点的位置，取b

8、d的中点e，连接a1e、ce.bdce，bda1e.a1ec为二面角a1bdc的平面角a1ec60，又a1ece，a1ec是等边三角形a1ecea1c32a.即折叠后点a与c之间的距离为32a.答案32a三、解答题10.(20 xx南京模拟)如图，abc是以abc为直角的三角形，sa平面abc，sabc2，ab4.m，n，d分别是sc，ab，bc的中点(1)求证：mnab；(2)求二面角snda的余弦值；(3)求点a到平面snd的距离解以b为坐标原点，bc，ba为x，y轴的正方向，垂直于平面abc的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)(1)证明由题意得a(0，4，0)，b(0，0，0)，m(

9、1，2，1)，n(0，2，0)，s(0，4，2)，d(1，0，0)所以：mn(1，0，1)，ab(0，4，0)，mnab0，mnab.(2)设平面snd的一个法向量为m m(x，y，z)，则：m msn0，且m mdn0.sn(0，2，2)，dn(1，2，0)，2y2z0，x2y0，即yz0，x2y.令z1，得：x2，y1，m m(2，1，1)又平面and的法向量为n n(0，0，1)，cosm m，n nm mn n|m m|n n|66.由题图易知二面角snda为锐角，故其余弦值为66.(3)an(0，2，0)，点a到平面snd的距离d|anm m|m m|63.11 (20 xx广东六校

10、联盟模拟)如图， 将长为 4， 宽为 1 的长方形折叠成长方体abcda1b1c1d1的四个侧面，记底面上一边abt(0t0)，p是侧棱aa1上的动点(1)当aa1abac时，求证：a1c平面abc1；(2)试求三棱锥pbcc1的体积v取得最大值时的t值；(3)若二面角abc1c的平面角的余弦值为1010，试求实数t的值(1)证明连接a1c.aa1平面abc，ab、ac平面abc，aa1ac，aa1ab.又abac，以a为原点，分别以ab，ac，aa1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则a(0，0，0)，c1(0，1，1)，b(1，0，0)，c(0，1，0)，a1(0，0，

11、1)，a1c(0，1，1)，ac1(0，1，1)，ab(1，0，0)设平面abc1的法向量n n(x，y，z)，则n nac1yz0，n nabx0，解得x0，yz.令z1，则n n(0，1，1)a1cn n，a1c平面abc1.(2)解aa1平面bb1c1c，点p到平面bb1c1c的距离等于点a到平面bb1c1c的距离111p bcca bcccabcvvv16t2(32t)12t213t3(0t32)，vt(t1)，令v0，得t0(舍去)或t1，列表得t(0，1)11，32v0v递增极大值递减当t1 时，vmax16.(3)解a(0，0，0)，c1(0，t，32t)，b(t，0，0)，c(0，t，0)，a1(0，0，32t)，a1c(0，t，2t3)，ac1(0，t，32t)，ab(t，0，0)，cc1(0，0，32t)，bc(t，t，0)设平面abc1的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)，则n n1 1ac1ty1（32t）z10，n n1abtx10，解得x10，y12t3tz1，令z1t，则n n1(0，2t3，t)设平面bcc1的一个法向量为n n2(x2，y2，z2)，则n n