高考第一轮复习数学：10.3组合教案含习题及答案

1、高考数学精品复习资料 2019.510.3 组合知识梳理1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用c表示.2.组合数公式c=.3.组合数的两个性质：（1）c=c；（2）c=c+c.点击双基1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是a.140 b.84 c.70 d.35解析：取3台分两类：2台甲型1台乙型，有c·c种；1台甲型2台乙型，有c·c种.c·c+c·c=30+40=70（种）.答案：c特别提示先从甲型、乙型中各抽1台，有c

2、83;c种，再从余下的中选1台，有c种，故有c·c·c=140（种）.解法不正确.2.（2004年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于a. b. c. d.解析：n=c=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.=.答案：b3.已知1，2x1，2，3，4，5，满足这个关系式的集合x共有_个.a.2b.6c.4d.8解析：由题意知集合x中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故有c+c+

3、c+c=8（个）.答案：d4.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_.解析：设四棱锥为pabcd.（1）p：c，a：c，b：c，c与b同色：1，d：c.（2）p：c，a：c，b：c，c与b不同色c，d：c.共有c·c·c·1·c+c·c·c·c·c=420.答案：4205.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_种.解析：把10个名额分成8份，每份至少一

4、个名额即可，用隔板法：c=c=36.答案：36典例剖析【例1】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.以只会英语的人数分类，c·c·c+c·c=20.【例2】 设集合a=1，2，3，10，（1）设a的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设a的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，an，求a1+a2+a3+an的值.解：（1）a的3元素子集的个数为n=c=120.（2）在a的3元素子集中，含

5、数k（1k10）的集合个数有c个，因此a1+a2+an=c×（1+2+3+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（mn）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.【例3】 从1，2，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令a=1，4，7，10，28，b=2，5，8，11，29，c=3，6，9，30组成三类数集，有以下四类符合题意：a，b，c中各取一个数，有ccc种；仅在a中取3个数，有c种；仅在b中取3个数，有c种；仅在c中取3个数，有c

6、种.故由加法原理得共有c·c·c+3c=1360种. 评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.思考讨论讨论下面的问题：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有a个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为a+9=21.【例4】 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点a到对顶顶点b的最短路线有几条？解：从a到b的最短路线，均需走7步

7、，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从a到b的最短路线对应着从第1，2，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从a到b的最短路线共有c=c=35条.深化拓展1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从a处走到b处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从a到b需要走（n+m2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n1）段，其余的为南北方向的（m1）段，所以共有c=c种走法.2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步

8、上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_.解：设一步一级x步，一步两级y步，则故走完楼梯的方法有c=28种.闯关训练夯实基础1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有a.240种b.180种c.120种d.60种解析：先从6双手套中任选一双，有c种取法，再从其余手套中任选2只，有c种，其中选一双同色手套的选法为c种.故总的选法数为c（cc）=240种.答案：a2.（2004年江苏，3）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有a.140种b.120种c.35种d.34种解析：7人中任选4人，共c种选法，扣

9、除只有男生的选法c，就可得有既有男生，又有女生的选法cc=34.答案：d3.（2004年湖北，理14）将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_种.（以数字作答）解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共c种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，共有2c=240种.答案：2404.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_种.解析：把6个班均匀分为3份，有种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有a=ccc种.答案：905.某运输公司有

10、7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.3辆车都从1个队抽，有c种；3辆车从2个队抽，有a种；3辆车从3个队抽，有c种.综上所述，共有c+a+c=84种. 6.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种?解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.故有c+cc+cc+cc=195种.解法二：取出4个球总分低于5分只能

11、是4个白球，故有cc=195种.培养能力7.（理）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.解：按“多面手”的参与情况分成三类.第一类：多面手不参加，这时有cc种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有ccc+ccc种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语

12、种，因此有ccc+ccc+cccc种.综上分析，共可开出cc+ccc+ccc+ccc+ccc+ cccc=185种.评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有cc+ccc+ccc=185种.（文）某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?解

13、：（1）c=561.（2）c=5984.（3）c·c=2100.（4）c·c+c=2555.（5）c+cc+cc=6090.探究创新8.有点难度哟！从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?解：（1）若取出的2个数都大于50，则有c种.（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，当取1时，另1个只能取100，有c种取法；当取2时，另1个只能取100或99，有c种取法；当取50时，另1个数只能取100，99，98，51中的一个，有c种取法，所以共有1+2+3+50=.故取法种数为c+=+=2500.思悟小结1.组合数公式有连乘和阶乘形式

14、，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.3.解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.4.各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.教师下载中心教学点睛1.要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行.2.熟练掌握组合数公式的两种形式.拓展题例【例题】 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.（1）某老队员必须