高中数学必修2立体几何常考题型：平面与平面垂直的判定正式版

1、平面与平面垂直的判定【知识梳理】(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图).直线AB叫做二面角的棱,半平面a和6叫做二面角的面.记法：o-AB-3,在 "3内，分别取点 P、Q时，可记作 PAB Q;当棱记为l时，可记作 al B或P lQ.(2)二面角的平面角:定义：在二面角a- l- 3的棱l上任取一点O,如图所示，以点。为垂足，在半平面a和3内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB 构成的/ AOB叫做二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角.2.面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交,(2)画法：且它们所成的二面角是直二面角，就

2、说这两个平面互相垂直.记作：al 33.两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)图形语言：如图.(3)符号语言：ABX 3, ABA 3= B, AB? a? a! 0【常考题型】题型一、面面垂直的判定【例 1】如图所示，已知/ BSC=90°, / BSA= /CSA = 60°,又 SA= SB= SC.求证：平面 ABC，平面SBC.证明法一：(利用定义证明) zBSA= ZCSA= 60°, SA= SB= SC,zASB和 "SC是等边三角形，贝u有 SA= SB= SC= AB = AC,令其彳1为

3、a,则ABC和ASBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示，连接 AD, SD,则 AD1BC, SDJBC,/方SCADS为二面角 ABCS的平面角.在 RtABSC 中，-. SB=SC=a,f 也BC 2 SD= a, BD =-2-= 2 a.在 RtMBD 中，AD = a,在AADS 中，1. SD2+ AD2= SA2,jADS=90°,即二面角 ABC S为直二面角，故平面 ABC,平面SBC.法二：(利用判定定理) .SA= SB=SC,且/BSA=/CSA=60°,.SA= AB = AC,.点A在平面SBC上的射影为 SBC的外心.6BC

4、为直角三角形， 点A在4SBC上的射影 D为斜边BC的中点，. AD，平面 SBC.又AD?平面ABC, 平面ABC,平面SBC.【类题通法】证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;“线(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.【对点训练】1.如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面，/ ACB=90°, AC=2.1BC = 2AAi，D是梭AAi的中点.“'(1)证明：平面BDCi,平面BDC;八卜1(2)平面BDCi分

5、此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.解：(i)证明：由题设知 BCJCCi, BC1AC, CCnAC=C,所以 BCL平'面 ACCiAi.又 DCi?平面 ACCiAi,所以 DCilBC.由题设知/ AiDCi = /ADC = 45°,所以/CDCi=90°,即 DCidDC .又 DCABC = C,所以 DCi，平面BDC.又DCi?平面BDCi,故平面BDC平面BDC.(2)设棱锥BDACCi的体积为Vi, AC = i,由题意得i x ix i2.又三棱柱 ABC AiBiCi的体积V=i,所以(V-Vi) Vi = i i.故平面BDCi分此棱柱所

6、得两部分体积的比为i ：i.题型二、二面角【例2】 已知D, E分别是正三棱柱 ABCAiBiCi的侧棱AAi和BBi上的点，且 AiD =2BiE= BiCi.求过D, E, Ci的平面与棱柱的下底面 Ai BiCi所成的二面角的大小.解如图所示，在平面 AAiBiB内延长DE和AiBi交于点F,则F是平面DECi与平面AiBiCi的公共点.于是 CiF为这两个平面的交线.因而，所求二面角即为二面角DCiFAi.AiD /BiE,且 AiD = 2BiE,. E, Bi分别为DF和AiF的中点.，AiBi = BiCi = AiCi = BiF.FC1IA1C1.又.CC平面A1B1C1,

7、FCi?平面 A1B1C1,. CCilFCi.又.AiCi, CCi为平面AA1C1C内的两条相交直线, . FC平面 AAiCiC. DCi?平面 AAiCiC,. FC1IDC1./DCiAi是二面角D CiF Ai的平面角.由已知 AiD=AiCi,则/DCiAi = 45°.故所求二面角的大小为 45°.【类题通法】解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面 角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角 是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角

8、函数值，其中关 键是“作” .【对点训练】2.如图所示，在 ABC中，ABXBC, SAL平面 ABC, DE垂 s 直平分SC,且分别交 AC, SC于点D, E,又SA= AB, SB= BC,求二面角 EBD C 的大小.14 f 解：王为SC中点，且SB= BC,. BEISCH DE JSC,BEADE=E,SC，平面 BDE. BD6C.又 SAL平面ABC可得 SA_LBD, SCnSA= S,. BD,平面SAC,从而 BD1AC, BD JDE ,£DC为二面角E-BD-C的平面角.设 SA= AB=1.必BC 中，. ABIBC, . SB= BC = y(2,A

9、C：#, . SC=2.在 RtASAC 中，/DCS =30°,.,.zEDC=60°,即二面角 E BDC 为 60°.题型三、线面、面面垂直的综合问题【例3】 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为 a的正方形, 侧棱 PD=a, PA= PC=#a,求证：PDL平面ABCD;(2)平面PACL平面PBD;(3)二面角PBCD是45°的二面角.证明(1) .PD=a, DC = a, PC = 2a,. PC2=PD2+ DC2.则 PDJDC.同理可证 PD1AD.又.AD A DC = D,且 AD, DC?平面 ABCD , . PD,

10、平面 ABCD.(2)由(1)知 PD,平面 ABCD,又AC?平面 ABCD, . PD JAC.四边形ABCD是正方形，.ACJBD.又.BDnPD= D，且 PD, BD?平面 PBD , . AC,平面 PBD.又AC?平面FAC,平面PAC，平面PBD.(3)由(1)知 PD1BC,又BCJDC,且PD, DC为平面PDC内两条相交直线, . BC，平面 PDC. PC?平面 PDC , . BC JPC.则/PCD为二面角 P- BC-D的平面角.在 RtAPDC 中，. PD = DC=a,.zPCD=45°,即二面角P BCD是45°的二面角.【类题通法】本

11、题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问 题的关键是转化：线线垂直 ？线面垂直？面面垂直.【对点训练】BD / CE,且CE=CA=2BD3.4ABC为正三角形，EC,平面 ABC, 是EA的中点.求证：(1)DE= DA;(2)平面BDM，平面 ECA;(3)平面DEAL平面ECA.证明：(1)设BD=a,作DF /BC交CE于F,则 CF=DB = a.因为 CEXWABC,所以 BCJCF, DF1EC,所以 DE=qEF2TDF2 = V5a.1.在二面角 蒲-3的棱l上任选一点O,若/AOB是二面角 知-3的平面角，则必须具有的和这个面密合就可以了

12、，其原理是 又因为DB，面ABC,所以 DA= dbOaB2 =yf5a,所以DE= DA.（2）取CA的中点N,连接MN, BN,贝U MN/1CE/DB. =2=所以四边形MNBD为平行四边形，所以 MD /BN.又因为 EC，面ABC,所以 ECJBN, ECJMD.又DE = DA , M为EA中点，所以 DM !AE.所以DM,平面AEC,所以面 BDM，面ECA.(3)由(2)知 DM,平面 AEC,而 DM?面 DEA,所以平面DEAL平面ECA.【练习反馈】条件是（）A. AO ± BO, AO? a, BO? 3B. AO±l, BO±lC. A

13、B±l, AO? a, BO? 3D. AO1l, BO±l,且 AO? a, BO? 3答案：D2 .对于直线m, n和平面% 3,能得出注3的一组条件是（）A.m，n,m"a, n”3B . m±n, aA 3= m, n? 3C. m"n, n± m? aD. m"n, m± a, n± 3解析：选C A与D中a也可与3平行，B中不一定故选C.3 .如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否解析：如图：因为 OAJOB,

14、 OAJOC, OB?& OC? 3且 OBAOC = O,根据线面垂直的判定定理，可得OA，8又OA? %根据面面垂直的判定定理，可得0a3.答案：面面垂直的判定定理4 .若P是 ABC所在平面外一点，而 PBC和 ABC都是边长为2的正三角形，PA=® 那么二面角P-BC-A的大小为.解析：取BC的中点O,连接OA, OP,则/POA为二面角PBC A的平面角，OP= OA= 木,PA=® 所以POA为直角三角形，/ POA=90°.答案：90°5 .在四面体 ABCD 中，BD = *a, AB= AD = CB = CD = AC= a,

15、求证：平面 ABD，平面BCD.证明：如图所示，.ABD与ABCD是全等的等腰三角形,取BD 的中点 E,连接 AE, CE,贝UAEdBD, BDJCE.AEC为二面角 ABDC的平面角.在那BD中,AB=a,12BE = 2BD= 2 a，AE= 7AB2BE2 =22a.2同理CE= a.在那EC 中，AE=CE = 2a, AC=a,由于 ac2=ae2+ce2,. AE1CE,即/AEC = 90°,平面ABD,平面BCD.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易

16、的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，从从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每 甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原 因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不天甩手300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲

17、的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家:'请告诉我，最简单的舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上

18、关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法

19、不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了 “针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设

20、身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试 :用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是

21、同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法 -青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技

22、巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试

23、应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太