点差法求解中点弦问题

1、点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。x 2y21（ a b 0）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、 N 两点，点 P(x0 , y0 ) 是【定理1】在椭圆b2a 2y0b2弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNa2 .x0x12y121,(1)a

2、 2b2证明：设 M 、 N 两点的坐标分别为( x1, y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则有(1) (2) ，x2 2y221.( 2)a2b2得 x1 2x2 2y1 2y2 20.a 2b2y2y1y2y1b 2.又kMNy2y1y1y22yyk MNyb2.x2x1x2x1a2x2,x22x.xa 2x1 x1x【定理 2】在双曲线x2y21（ a 0 ， b 0 ）中，若直线 l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 P( x0 , y0 )a2b2是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MNy0b2x0a 2 .x12y121,(1)a 2b2

3、证明：设 M 、 N 两点的坐标分别为(x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有x22y221.(2)a 2b2(1)(2)x12x2 2y12y22y2y1y2y1b 2，得a 2b 20.x2x1x2x1a 2 .又 kMNy2y1 , y1y22 yx2x1 x1x22x0y0. k MNy0b 20x0x0a2 .【定理 3 】 在抛物线 y 22mx(m 0) 中，若直线 l 与抛物线相交于M 、 N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 k MN y0 m .y122mx1 ,(1)证明：设 M 、 N

4、 两点的坐标分别为 (x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有22mx2 .(2)y2(1) (2) ，得 y12y222m( x1 x2 ).y2y1 ( y2 y1 )2m.x2x1又 kMNy2y1 , y2y12 y0 . kMNy0m .x2x1注意：能用这个公式的条件：（ 1 ）直线与抛物线有两个不同的交点； （ 2 ）直线的斜率存在 .一、椭圆x2y2 1内一点 P(2,1) 作一条直线交椭圆于A、 B 两点，使线段AB 被 P 点平分，求此直1 、过椭圆164线的方程【解】法一：如图，设所求直线的方程为y 1 k (x 2) ，代入椭圆方程并整理，得(4 k 2

5、1) x2 8(2 k 2 k )x 4(2 k 1) 2 16 0 ，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x 1 ， y1 )， B (x 2 ， y2 )，8 2 k 2 k则 x、 x是 (*) 方程的两个根，x x24 k 2 1.121P 为弦 AB 的中点， 2x1 x24 2 k2 k.解得 k 1x 2 y 4 0.24k 2 12，所求直线的方程为法二：设直线与椭圆交点为A(x1 ， y1 )， B(x 2 ， y2 )，P 为弦 AB 的中点， x1 x 2 4 ，y 1 y2 2.又 A、 B 在椭圆上， x12 4 y12 16 ， x 22 4 y 22 16.两式相减，

6、得 (x21 x22 ) 4( y 12 y22 ) 0 ，y1 y2 x1 x21即(x1 x2 )(x1 x2 ) 4( y1 y 2)(y1 y2 ) 0. x1 x2 4 y1 y 22，11即 k AB 2 . 所求直线方程为y 1 2 (x 2) ，即 x 2 y 4 0.2 、已知椭圆 +=1 ，求它的斜率为3 的弦中点的轨迹方程【解答】解：设P（ x ，y ）， A（ x 1 ， y1 ）， B （x 2 ， y2 ） P 为弦 AB 的中点， x 1 +x 2 =2x ， y 1 +y 2 =2y 则 +=1 ， +=1 ，得， = =3 ，整理得： x+y=0 由，解得x=

7、 所求轨迹方程为：x+y=0 （ x）点 P 的轨迹方程为：x+y=0 （ x ）；3 、（ 2013秋 ? 启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0 ，± 5 ）的椭圆被直线 3x y 2=0的中点的横坐标为，则椭圆方程为=122又设直线3x y 2=0 与椭圆交点为A （ x1 ， y 1 ），B （ x2 ， y2 ），弦 AB 中点（ x 0 ， y0 ） x 0 =，代入直线方程得y0 = 2= ，由 ，得，截得的弦 AB 的斜率 k= ?= ?=3 = 1 ， a 2 =3b 2 联解，可得a 2=75 ， b 2 =25 ，椭圆的方程为：=1 故答案为： =1 x 2

8、y21（ a b 0 ）的左、右焦点分别为F1、F2 ，离心率 e24 、例 1（ 09 年四川）已知椭圆2b2，a2右准线方程为 x2 .( )求椭圆的标准方程；( )过点 F1的直线 l 与该椭圆相交于M、N 两点，且 | F2MF2N| 226，求直线 l 的方程 .3ec2 ,x2解：（）根据题意，得a2a2, b1, c1 . 所求的椭圆方程为y21 .a 22x2.c（）椭圆的焦点为 F1 (1,0) 、 F2 (1,0) . 设直线 l 被椭圆所截的弦MN 的中点为 P( x, y) . 由 平 行 四 边 形 法 则 知 ： F2 M F2 N2F2P . 由 |F2M F2N

9、 | 2 26得 ：3|F2P|26 .( x 1) 2y 226. 39若直线 l 的斜率不存在，则lx 轴，这时点 P 与 F1 (1,0) 重合， | F2 MF2N | |2F2F1 |4，与题设yb2yy1 .y 21 ( x2相矛盾，故直线l 的斜率存在 .由 kMN2得：x). xax 1x22代入，得 ( x1)21( x2x)26 . 整理，得： 9x245x170 .17229，或 x.解之得： x33由可知， x17 不合题意 .x2 ，从而 y1 .ky1.333x1所求的直线 l 方程为 yx1，或 yx1 .6 、（ 2009秋 ? 工农区校级期末）已知椭圆的一条弦

10、的斜率为3 ，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x1 ， y 1 ），（ x 2 ， y2 ），则，两式相减，得 =0 ，（y 1 y2 ）（ y 1 +y 2 ）= 3 （ x1 x 2）（ x1 +x 2 ），= 3 ×，因为直线斜率为 3 ， =3 ，两交点中点在直线x= ， x1 +x 2 =1 ， 3= 3 × 1 ÷（y 1 +y 2 ）， =所以中点M 坐标为（，） 故答案为： （，）7 、如图，在 Rt5x2y 2DEF 中， DEF 90 ,| EF | 2,| EF ED |，椭圆 C：2

11、2 1，以 E、F2ab为焦点且过点D ，点 O 为坐标原点。（）求椭圆C 的标准方程；（）若点 K满足，问是否存在不平行于EF 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点M、N 且|MK |NK |，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。OK1 ED. x2y21， K (0,1)y解：（）略：3432D（）分析： | MK | | NK| ，设 MN 的中点为 H ，则 KHMN ，此条EOFx件 涉及到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差法”设 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), H ( x0 , y0 ) ，直线 l 的斜率为 k （ k

12、0) ，则 3x124y12123x224 y2212 由得：3(x1x2 )( x1x2 ) 4( y1y2 )( y1y2 ) 03x04 y0 k 0 又 | MK | | NK | ，则 KHMN ，y0132 ? k1，从而解得x02k, y0， 点 H (x0 , y0 )在椭圆内，则x02x0 2y0 21 k 211k1 且 k 0434228 、已知 AB 是椭圆 x2y21 ab0 不垂直于 x 轴的任意一条弦， P 是 AB 的中点， O 为a2b2椭圆的中心 .求证：直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值 .证明设 A x1 , y1 , B x2 , y2且 x1

13、x2 ，则 x12y121，（1 ） x22y221，（2）a2b2a2b212 得： x12x2 2y12y2 2，a2b2y1y2b2 x1x2，kABy1y2b2 x1x2.x1x2a2 y yx1x2a2y y2112又 kOPy1y2，kABb21，kABkOPb2（定值） .x1x2a2a2kOP二、双曲线1 、过点 P(4,1)x2相交于 A、 B 两点，且 P 为 AB 的中点，求 l 的方程的直线 l 与双曲线y2 1422解析 x 12x 22设 A(x1 ， y 1 )， B (x2 ， y 2 )，则 y1 1 ， y 2 1 ，两式相减得：441x1 x2 )(1 x

14、2)( 1y2 )(1 2 )0 ，P为AB中点，x1 x28，y1 22.(4xyyyyy2 y1 1 ，即所求直线l 的斜率为 1 ， l 方程为 y 1 x 4 ，即 x y 3 0.x 2 x1y2N(1,2) 是线段 AB 的中点， (1) 求直线 AB 的方程；2 、设 A、 B 是双曲线 x2 1上的两点，点2(2) 如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于C、 D 两点，那么 A、 B 、 C、 D 四点是否共圆？为什么？分析 要证明 A、B、 C、 D 四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、 B、C、D 四点共圆，则 CD 垂直平分 AB ，据圆的性质知，圆心在直线CD 上，

15、 CD 中点 M 为圆心，只要证明|AM| | MB| CM| | MD|即可解析 (1) 依题意，可设直线AB 方程为 y k (x 1) 2，y2由 x 2 2 1 ，得(2 k 2 )x2 2 k (2 k )x(2 k 2 ) 2 0 y k (x 1) 2 ，设 A(x 1 ，y 1 )， B (x 2， y 2 )， x1 、 x 2 是方程的两个不同的实根，所以2 k 2 0.由韦达定理得， x 1 x2 2 k (2 k )x1 x 22 k2. 由 N(1,2) 是 AB 的中点得，2 1.即 k (2 k ) 2 k 2 .解得 k 1 ，直线 AB 的方程为 y x 1.

16、y x 1 ，(2) 由x 2 y2得 x 2 2 x 3 0 ，解得 x 1 3 ， x2 1. 1 ，2A(3,4) ， B ( 1,0) CD 是线段 AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为y x 3.y2由 x 2 1 ，2得 x2 6 x 11 0.y x 3 ，设 C(x 3， y 3 )，D (x 4， y 4 )，CD的中点为M (x 0 ，y 0 )由韦达定理，得x 3 x 4 6 ，x3 x4 11.1从而x 0 (x 3 x4 ) 3 ，y 0 x0 3 6.2|CD |(x 3 x 4 )2 (y3 y4 )2 )2( x 3 x 4)2 2( x 3 x 4 )

17、2 4 x3 x 4 410 ，|CM |MD | 210. |MA | |MB |(x 0 x1 )2 (y0 y 1 )2 210.A、B 、C、D四点到M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆3 、已知双曲线的方程为x2y 2 1.2试问：是否存在被点 B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由分析 易判断出点 B (1,1) 在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90 ° .解析 解法一：设被 B(1,1) 所平分的弦所在的直线方程为y k (x 1) 1 ，代入双曲线方

18、程 x2 y 21 ，2得 (k2 2) x2 2 k (k 1) x k 2 2 k 3 0. 2 k (k 1) 2 4( k 2 2)( k 2 2 k 3)>0.32 k(k 1)解得 k <2，且 x1 x2 k 2 2. B(1,1) 是弦的中点，k (k 1)3 k 2 2 1， k 2> 2 .故不存在被点 B (1,1)所平分的弦解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN ，设 M (x 1 ，y 1 )、 N(x2 ，y 2 )2x2y1则 x1 x 2 2 ， y 1 y 2 2，且121，2x2y2221.得 ( 1x2)( 1x11 2 )(1 y2)

19、0. kMN y1 y 2MN：12(x1)2) ( 2 ，故直线xxyyyx 1 x 2y2y 1 2( x 1) ，由y2消去 y 得， 2x 2 4x 3 0 ，8<0.x 2 1 ，2这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在点评 由本题可以看到：如果点 B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在如果点 B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在因此，点 B 在内部无需检验，点B 在外部必须检验关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部4 、设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 22 3x4 的顶点

20、为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C 的方程；（）设直线l : y2x1与双曲线 C 交于 A, B 两点，求AB ；（）对于直线l : ykx1 ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A, B 关于直线l ': yax4( a 为常数 )对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由解：（）由y223x4 得 y 22 3( x2) ，p3 ，抛物线的顶点是(2,0) ，准线是33321c2,x.在双曲线 C 中，3.a 21 , b21.22323a13c2.3双曲线 C 的方程为 3x 2y21.（）由y2x1,得： x 24x20 .3

21、x2y21.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1x24, x1 x22 .|AB|(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (122)(4) 24 2210 .（）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线 C 的交点A, B 关于直线 l ' 对称，则 l '是线段 AB 的垂直平分线 .因而 a1': y14 .设线段 AB的中点为 P( x0 , y0 ) . 由 k ABy0b2得：，从而 lxx0a2kky03 ，ky03x0 .kx0由 y01x04 得： ky0x04k . , 由、得：x0k, y03 .k由 y0k

22、x01得： 3k 21，k2 .又由3x 2y 21, 得： (k 23) x 22kx20.y kx 1.直线 l与双曲线 C 相交于 A 、B 两点，4k 28(k 23) 0，即 k 2 6 ，且 k 23.符合题意的k 的值存在， k2 .在双曲线 y 2x21 的一支上有不同的三点 Ax1 , y1 ，B26 ，6 ，Cx2 , y2 与焦点 F0 , 55 、1213的距离成等差数列证明线段AC的垂直平分线经过某一点, 并求出该点坐标 .解 : 依题意有y1y226，2212 13,221213,1213y112x113y212 x2则 k ACy1y212 x1x2x1x2，x1

23、x213y1y213故AC的中垂线方程为yy1 y213xx1x2，x1x222即y 613x13 ,由方程知其必 经过定点 0, 25 .x1x222三、抛物线1 在抛物线 y2 8 x 中，以 (1 ， 1) 为中点的弦所在直线的方程是()A x 4 y 3 0B x 4 y 3 0C 4x y 3 0D 4 x y 3 0答案 C，解析 设弦两端点为A(x1 ，y1 )，B (x2 ，y2 )，则 y1 y 2 2.22A、 B 在抛物线上， y1 8 x1 ，y2 8 x2 ，两式相减得， (y1 y2 )(y1 y 2 ) 8( x1 x 2 )，y1 y2 4 ，直线 AB 方程为

24、 y 1 4( x 1) ，即 4 x y 3 0.x 1 x22 若点 (3,1) 是抛物线 y2 2 px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2 ，则 p _.答案 2解析 设弦两端点P1( x 1 ， y1) ， P2( x2 ， y2) ， y 1 y 2 2 ， p 2.3 过点Q(4,1) 作抛物线 y 2 8 x 的弦 AB ，恰被 Q 所平分，求弦 AB 所在的直线方程答案 4 x y 15 0解析 解法一：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x 1， y 1 )、 B (x2 ， y 2 )，则有 y12 8 x 1 ，y22 8 x 2 ，x 1 x 2 8

25、，y 1 y2 2. ，得 (y1 y2 )(y1 y 2 ) 8( x1 x2 )将代入得y 1 y2 4( x 1 x 2)，即 4 y1 y 2， k 4.x 1 x 2所求弦 AB 所在直线方程为 y 1 4( x 4) ，即 4 x y 15 0.4 、（ 2004? 福建）如图， P 是抛物线 C： y=x 2上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q （）若直线l 与过点 P 的切线垂直，求线段PQ 中点 M 的轨迹方程；（）若直线l 不过原点且与 x 轴交于点 S ，与 y 轴交于点 T，试求的取值范围【分析】（ 1 ）设 M （x0 ， y0 ），欲求点 M

26、的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q 与中点M 的关系结合中点坐标公式求解，（ 2 ）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决【解答】解：（）设 P（ x 1 ， y1 ）， Q （ x2 ， y 2 ）， M （x 0 ， y0 ），依题意 x 1 0 ，y 1 0 ，y 2 0 由 y=x 2 ，得 y'=x 过点P 的切线的斜率k=x 1 ，直线 l 的斜率 k l = =，直线 l 的方程为 y x12 =（ x x1 ），联立消去 y ，得 x2 +x x 12 2=0

27、 M 是 PQ 的中点x 0 = ， y0 =x 12 （ x0 x1 ）消去 x1 ，得 y 0=x 02 +1 （x0 0 ）， PQ中点 M 的轨迹方程为 y=x 2 +1 （ x 0 ）方法二：设 P（x 1 ， y 1 ）、 Q （x 2 ， y 2 ）、M （ x0 ， y 0），依题意知 x 1 0 ，y 1 0 ， y 2 0 由 y=x 2 ，得 y =x 过点 P 的切线的斜率 k 切 =x 1 ，直线 l 的斜率 k l = =，直线 l 的方程为 y x12 = （ x x 1 ）方法一：联立消去y，得 x2 +x x12 2=0 M 为 PQ 的中点，x0 = ， y 0 =x 12 （ x0 x1 ）消去 x 1 ，得 y0 =x 02 +1 （ x 0 0 ）， PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x 2 +1 （ x 0 ）（）设直线 l ： y=kx+b ，依题意 k 0 ， b 0 ，则T （ 0 ，b ）分别过 P、 Q 作 PP' x轴， QQ' x轴，垂足分别为P'、Q'，则 =由 y=x 2 ，y=kx+b 消去 x，得 y2 2 （ k 2 +b ）y+b 2 =