排列组合公式

1、排列组合公式排列组合公式 排列组合公式排列组合公式 非降路径问题非降路径问题 组合恒等式组合恒等式排列与组合 从五个候选人中选出选出两个代表 把5本不同的书安排安排在书架上 从五个候选人中选出两个代表时，有10种可能的结果。 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 选出-组合；安排-排列一、排列排列组合组合公式 排列问题：从某个集合中有序有序地选取若干个元素的问题 组合问题：从某个集合中无序无序地选取若干个元素的问题 注意：可以重复 不能重复排列 无重排列 可重排列 从1,2,9中选取数字构成四位数，使得每位数字都不同，有多少个？ 从1,2,9中选取数字构成四位数，使得不同数位上的数字可以相

2、同，有多少个？1、 无重排列 n个元素的r-无重排列无重排列数： 排列的长度r 计算（一般情形）：乘法原理 r=n时,n个元素的全排列 r=0时 rn时2、可重排列 n个元素的r-可重排列可重排列数 计算（乘法原理）例题 在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中，有多少个数含有数码1？又有多少个数不含数码1？ 不含1:910 含1:1010-910+1例题 一个二元序列是由一些0和1所组成的序列。n码二元序列指该序列中数码的个数为n。试问，含有偶数个0的n码二元序列的个数是多少？ 2n-1 考虑n码四元序列，即以0,1,2和3为其数码的序列。则含0和1的总个数为偶数的序列有多少个？

3、 4n/2例题 求n码四元序列中含有偶数个0的个数？放球问题 设nr，把r个不同的球放入n个不同的盒子，这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放球的方法数为多少？ 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等等，乘法原理 P(n,r) 放球问题 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法数为多少？ 第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等，乘法原理 nr 这里n和r的大小没有限制例子 将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方法？ 23=8 无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序放球问题 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。考虑每个盒子

4、中球的次序。放球的方法数为多少？ 有序占位模型 有n种方法放第一个球，第一个球放入一个盒后，可以把这个球当成是一个添加的隔板，它把该盒分成两个盒，因此放第二个球有n+1种方法。等等 n(n+1)(n+2) (n+r-1)=nr F(n,r)r!例子 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？ 69=6714 七部汽车通过五间收费亭的方式数？ 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？放球问题 另解：把这样一个方法设想为r个不同的球和n-1个相同的盒间板的一个有序安排。)!1( ! 1! 1 ! 1)!1(nrnrn组

5、合 无重组合 可重组合 从a,b,c中选取2个不同元素，选法数是多少？ 从a,b,c中选取5个元素，元素可以相同，选法数是多少？3、无重组合（Combination） n个元素的r-无重组合无重组合数 无重组合数与无重排列数的关系 计算 r=0时 r=n时 rn时组合数的推广rnC)!( !rnrn!) 1() 1(rrnnnrnrnC)!( !rnrn!) 1() 1(rrnnnrnCZrR,0, 00, 10,!) 1() 1(rrrrrr几个记号) 1() 1(nxxxxn下阶乘函数上阶乘函数) 1() 1(nxxxxn) 1() 1(nn!) 1() 1(!nnnnCnn计算32132

6、102153例题 如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成多少条线段？多边形例题 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边形外） 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成两段 每个对角线是一段 35+C(10,4) 2=455例题C(5,2)-5+C(5,4) 2=15C(10,2)-10+C(10,4) 2=455C(4,2)-4+C(4,4) 2=44、可重组合 n个元素的r-可重组合可重组合 例子 计算 一一对应的思想推论 方程x1+x2+xn=

7、r 的非负整数解的个数。 nr时，此方程的正整数解的个数 n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少出现一次。 正整数r的n-长有序分拆的个数 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 3, x2 1,x3 0,x4 5。例题 从为数众多的一分币、二分币、一角币和二角币中，可以有多少种方法选出六枚来？ F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84例题 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？ 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕点，且要求每种糕点至少放一块。求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？例题 摇三个不同的骰子的时候，

8、可能的结果的个数是多少？ 63=216。 如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数是多少？ 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？ F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)有约束条件的排列：引例 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？5、有约束条件的排列 设有k个元素a1，a2，ak，由它们组成一个n-长的排列，其中对1ik，ai出现的次数为ni，n1+n2 + +nk=n，求排列的总数。 求解方法1 求解方法2例题 五条

9、短划和八个点可以安排成多少种不同的方式？ 如果只用这十三个短划和点中的七个，则有多少种不同的方式？! 8 ! 5!13! 7 ! 0! 7+! 6 ! 1! 7+! 5 ! 2! 7+! 4 ! 3! 7+! 3 ! 4! 7+! 2 ! 5! 7例题 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k个物体属于第二类， ，k个物体属于第(k-1)!类。推论 多项式(x1+x2+xn)r的展开式中有 项，其中项 的系数为 。nknkkxxx21216321)532(xxx23231xxxnrxxx)(21rrrnrnnnnnnnnnrxx

10、xnnnn21212121,21为非负整数例题 数1400有多少个正因数？ 1400=23 52 7 (3+1)(2+1)(1+1)=24放球问题 设nr，把r个相同的球放入n个不同的盒子使得每盒至多装一个球，方法数？ 选盒子即可 C(n,r)放球问题 把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？ 放这r个球，等价于从n个盒中选出r个来装这r个球而允许诸盒重复选取。 F(n,r)=C(n+r-1,r)放球问题 把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？ 另解：把分配这r个球入n个盒子设想为这r个球和n-1个隔板的一个排列。球是相同的，隔板也是相同的。

11、C(n+r-1,r)放球问题 设r n，把r个相同的球放入n个不同的盒子中，盒子中可以放入任意多个球，但不允许空盒，方法数？ 现在每个盒中放入一个球，再放剩下的r-n个球 C(r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1)放球问题 设r n，把r个相同的球放入n个不同的盒子中，要求每一盒至少包含q个球，方法数？ 现在每个盒中放入q个球，再放剩下的r-qn个球 C(r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)= C(n-nq+r-1,n-1)放球问题：例题 今有五封不同的信要经由一个讯道传送。又有总共15个空白要插在这些信之间而使得每两封信之间至少有三

12、个空白。有多少种方法安排这些信和空白？ 信的安排5！ 对一种信的安排，有4个信件位置，安排15个空白，要求每个信件位置至少有三个空白。 5！C(4-4 3+15-1,4-1)=5!C(6,3)放球问题 有n个球，其中第一种颜色n1个，第二种颜色n2个， ，第k种颜色nk个。将这n个球放入n个不同的盒中，每一个盒装一个球。问分配方案数？ 等价于这n个球的排列数。 另解：选盒子装每种颜色的球。放球问题 有r个球，其中第一种颜色n1个，第二种颜色n2个， ，第k种颜色nk个。将这r个球放入n个不同的盒中，每一个盒装一个球（rn）。问分配方案数？ 方法一：先选盒子，再分配球。 方法二：针对每种颜色的球

13、选盒子。多重集合 通常的“集合”具有无重性。 在多重集中，同一个元素可以出现多次。 1,2,3是一个集合，而1,1,1,2,2,3不是一个集合，而是一个多重集，简记为31,22,13。 计算多重集的势时，出现多次的元素则需要按出现的次数计算。上面多重集的势为6。 可重组合与可重排列可以看作是多重集的组合与排列问题。可重排列与可重组合 n个元素a1,a2, ,an的r-无重组合(排列)可以看做多重集1a1, 1 a2, , 1 an的r-组合(排列) 。 n个元素a1,a2, ,an的r-可重组合(排列)可以看做多重集a1, a2, , an的r-组合(排列) 。 有限制的排列问题可以看做多重集

14、n1a1, n2 a2, ,nk ak的全排列。分组与分堆区分：固定分组 将12本(不同的)书平均分给A,B,C,D四个学生，每人三本，有多少种分法？ 将12本书分给四个学生，使得A,B各得四本，C,D各得2本，有多少种分法？ 将12本书分给四个学生，A得5本，B得4本，C得2本， D得1本，有多少种分法？区分：分堆 将12本书平均分成四堆有多少种分法？ 将12本书分成四堆，有两堆各4本，另外两堆各2本，有多少种分法？ 将12本书分成四堆，其本数分别为5,4,2,1，有多少种分法？区分：不固定分组 将12本书平均分给A,B,C,D四个学生，使得每人各得三本，有多少种分法？ 将12本书分给A,B

15、,C,D四个学生，使得有两个学生各得4本，有两个学生各得2本，有多少种分法？ 将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有1人得5本，有一人得4本，有1人得两本，有1人得1本，有多少种分法？分组与分堆 固定分组： 无序分组：分堆 不定分组 固定分组与分堆的区别是讲不讲组间的次序，只在各组元素个数相等时有区别 固定分组与不定分组的区别是每个组的元素个数是不是确定，只在各组元素个数不等时才有区别。区分（一） 将12本书分给四个学生，使得A,B各得四本，C,D各得2本，有多少种分法？ 将12本书分成四堆，有两堆各4本，另外两堆各2本，有多少种分法？ 将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有两个学

16、生各得4本，有两个学生各得2本，有多少种分法？区分（二） 将12本书分给四个学生，A得5本，B得4本，C得2本， D得1本，有多少种分法？ 将12本书分成四堆，其本数分别为5,4,2,1，有多少种分法？ 将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有1人得5本，有一人得4本，有1人得两本，有1人得1本，有多少种分法？区分（三） 将12本书平均分给A,B,C,D四个学生，每人三本，有多少种分法？ 将12本书平均分成四堆有多少种分法？ 将12本书平均分给A,B,C,D四个学生，使得每人各得三本，有多少种分法？限距组合：引例 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使得任何两卷都不相继，这样的选

17、法有多少种？6、限距组合 设A=1,2,n，它的任一r-无重组合均可以依自然顺序排出a1,a2, ,ar，其中a1a2 ar 。设k是非负整数，用f(k,n,r)表示A的一切满足条件ai+1-aik+1(1ir-1)的r-无重组合数，求f(k,n,r)。 求解思想：一一对应 k=0时例题 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？7、圆排列 n个元素的r-无重圆排列数 圆排列与线排列的区别 计算例题例1把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式有 种。例2把20个不同的珍珠串成项链，串项链的方式有 种。项链问题项链问题例 从1到300间取出3个

18、不同的数，使它们的和被3整除，有多少种取法？提示：将1到300这300个整数按照除以3的余数分成3组，考虑选出的3个数属于哪些组。例 下图中有多少个矩形？映射的个数 n元集X到m元集A的映射的个数 将X看作物件的集合，A看作盒子的集合。则一个映射表示把物件放入盒子的一种安排。 要求(1)每个物体都要放入某个盒子；(2) 一个物体不得放入两个盒子；(3) 允许多个物体放入同一盒子；(4) 可以剩有空盒子。 若将X看作有标号的位置的集合，A看作排在这些位置的字母的组合，则一个映射对应一个长为n的字。 则(1)字长必须为n；(2)一个位置只能放一个字母；(3)多个位置可以重复出现同一字母；(4)有些

19、字母有可能不出现。例题 n元集合X到m元集合A的映射的个数？ 将n个物体放在m个的盒子中的不同放法？ n元集合X到m元集合A的单射的个数？ 把n个物体放入m个盒子，每个盒子至多放一个物体的安排有多少种？ 3个物体分放到4个不同的盒子中，要求每个盒子至多放一个物体的放法数？映射 设映射f：1,2, ,n 1,2, ,m(nm) (1) 若f是严格递增的，则不同的f有多少个？ (2) 若f是不减的，则不同的f有多少个？例题1、从A=a,b,c中任取两个不同的字母构成的字共有多少个？2、m元集合的n元子集的个数？3、平面上任三点都不共线的25个点，可形成多少条直线？可形成多少个三角形？例题 用26个

20、英文字母能构成多少个含有3个、4个或5个元音的长为8位的单词？（其中，一个字母出现在单词中的次数不限）例题 从一副52张扑克牌中任取13张得一手牌，在每一手牌中不考虑这13张牌的次序，则总共有多少手不同的牌？ 把一副52张扑克牌分给4个人，每人得13张，则总共有多少种不同的牌局？例题 用4个a，4个b，2个c和2个d这12个字母能组成多少个具有12个字母的字？ 用字母a，b，c组成5个字母的字，每个字中a至多出现2次，b至多出现1次，c至多出现3次。这种字的个数是多少？例题 单词mississippi中字母的排列数为？ 求多重集3a,2b,4c的8排列的个数？例题 求26个英文字母的全排列中，

21、任意两个元音字母都不相邻的方案数？例题 Banach火柴盒问题：某数学家随身携带A,B两盒火柴，要用火柴时就随意从其中一盒中取出一根。假定开始两个火柴盒各放有n根火柴，问在某一次当数学家发现拿出的那一个火柴盒变空时，另一盒中尚剩p(pn)根火柴的概率是多少？例题 10个人排成一排，其中有2个人不愿彼此挨着，求所有不同的排列的数目。 10！-29！或 8！A(9,2)=2903040 10个人围一圆桌入座，其中有2个人不愿彼此挨着就座，求所有不同的圆排列的数目。 9!-28!或7！A(8,2)=282240例题 安排10个男生和5个女生排成一排，使任意2个女生都不相邻的排法有多少种？ A(10,

22、10)A(11,5) 安排10个男生和5个女生围成圆圈入座，使任意2个女生都不相邻的坐法有多少种？例 从给定的6种不同的颜色中选不同的颜色将一个正方体的六个面染色，要求每个面染一种颜色，具有相同棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案有多少种？分析：一种颜色？两种颜色？三种颜色？相对的面染成相同的颜色,只有一种方式C(6,3)四种颜色：五种颜色：六种颜色：C(6,4) C(4,2)C(6,5) C(5,1)3！/2C(6,6) C(5,1)3！例 试求由1,3,5,7组成的数字不重复出现的整数的总和。分析：一位数1，3，5，7两位数个(十)位数为1的两位数的个数三位数个(十、百)位数为1的三位数

23、的个数四位数个(十、百、千)位数为1的四位数的个数例 假定把全部的5码数印刷在纸条上，而一张纸条上印一个数。所谓5码数是由0,1,2,9这十个数字中的5个数字组成的数，开头的一个或者几个可以为0，例如00102,00000都是5码数，显然有100000个这样的5码数。然而由于数字0,1,6,8,9被倒过来就成了0,1,9,8,6。而一张纸条可以从上下两个方向正看和倒看，所以有些5码数可以共用一张纸条，如89166与99168。于是我们的问题是要用多少个不同的纸条才能做出这些5码数？0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 101 倒过来 8 8 6 9 9 61357813578倒过来 891

24、66681898916668189不是5码数仍是5码数仍是5码数但不是自己而且是自己5码数共105个倒过来仍是5码数的有55个倒过来不再是5码数的有10555个一个数一张纸条倒过来是自己的有3x52个倒过来不是自己的有553x52个一个数一张纸条两个数共用一张纸条所以纸条的个数为(10555)+ 3x52+ (553x52)/2105(553x52)/2=98475例 甲、乙两方各有7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先由1号参加比赛，负者被淘汰，胜者再与对方2号队员比赛，直到有一方全部被淘汰，另一方获得胜利，形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为多少？甲乙1A1B

25、2A2B3A3B4A4B5A5B6A6B7A7B箭头指向谁，表示谁负甲方赢：甲方赢：5A7A5A5A5A5A7A这是1234567,A A A A A A A的一个7-可重组合5A7A5A5A5A5A7A甲乙1A1B2A2B3A3B4A4B5A5B6A6B7A7B甲乙1A1B2A2B3A3B4A4B5A5B6A6B7A7B6A6A6A6A6A6A7A1A甲乙1A1B2A2B3A3B4A4B5A5B6A6B7A7B1A1A1A1A1A1A例 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？进站口人2ABCDEF13456789任务：给每个人选择进站口，选择进站的次序？安排 ：ABCDE

26、F16种方式1安排 ：27种方式222安排 ：38种方式3333安排 ：914种方式进站方式种数为6 7 814 145!=！方法一：123456取213456789的一个全排列，和5个213456789对应的进站方式为：913456872方法二：ABCDEF进站方式为：913456872213456789对应的排列为：进站方式种数为141!1!1!5!！145!=！213456789的排列5个或14个位置取5个放方框(不讲顺序)，剩下的放人(将顺序)5149!C 149!59！ ！14=5！方法三： 先选车站，A B C D EF 的9-可重组合AAACCDEEF再排人，213456789的

27、排列213456789对应的进站方式为：ABCDEF913456872对比 例 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？ 今欲在六根旗杆上悬挂九面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？例 8个人 两两配对分成4组有多少种方式？128,a aa方法一 给每个人配对方法二 一对一对地选，注意会重复推广：2n个人两两配对分成n组有多少种方式？非降路径问题从点 到达点 的非降路径非降路径(0,0)(2,3)非降路径数 由(0,0)到(m,n)的非降路径数为 。 由(a,b)到(m,n)的非降路径数为 。 由(0,0)到(m,n),再到(a,b

28、) 的非降路径数 。例题 从点(0,0)到达点(m,n)，其中mn，要求中间所经过的路程上的点(a,b)都满足ab。问有多少种不同的路径？分析从(0,0) 到(m,n) 的非降路径 过对角线必过对角线一一对应：反射(0,0) (0,1) (m,n)(0,0) (1,0) (m,n)不过对角线反射：从上向下看，找路径与对角线交点的第一个点，关于对角线反射左下边路径，与右上的路径组合成一条路径。例题 求从点(0,0)到达点(n,n)且不与直线y=x相交的非降路径数？ 分析：上一例题的特殊情况例题 一场音乐会的票价为50元/张，排队买票的顾客中有n位持有50元的钞票，m位持有100元的钞票，售票处没

29、有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方法，使购票能顺利进行，不出现找不开钱的状况，假定每位顾客限买一张，每位顾客仅买票一张，而且nm。例题 用(m+n)维0,1-行向量(a1,a2, ,am+n) 表示一种购票排队状态，其中ai=1表示第i位持50元的钞票， ai=0表示第i人持100元的钞票。 这样的行向量有m个0，n个1，所以这样的行向量共有C(m+n,m)个，每个行向量可以对应从点(0,0)到点(m,n)的非降路径。当ai=1时，对应路径中的第i步沿y轴向上走一格，当ai=0时，对应路径中的第i步沿x轴向右走一格。 为了使购票顺利进行，每个路径中的点(a,b)应满足ab。也就是每个路径

30、在直线y=x的上方且不穿过直线 y=x，可以有交点。 由于nm ，也就是在直线y=x-1上方的所有路径。 从(0,0)到(m,n)的在直线y=x-1上方的非降路径 从(0,1)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径 从(0,0)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径1yx=-第n个Catalan数1mnmmnmnm 122nnnnCatalan数 第n个Catalan数122nnnnCnnnn211Catalan数的组合学意义例题 n个+1和n个-1所组成的序列中所有其前k项(k=1,2, ,2n)之和不小于0的序列的数目是多少？ 满足条件的序列为好序列，不满足条件的为坏序列。 好序列数=序列总数-坏序列数。 n个+1和n个-1所组成的坏序列与n+1个+1和n-1个-1所组成的序列一一对应。例题 对每个坏序列，总可以找到最小的正奇数，使得ak=-1且ak之前的+1和-1的个数相等。将这个坏序列中前k项的每一项取反号，其余部分保持不变。所得序列为n+1个+1和n-1个-1组成的序列。 -1,-1,1,1,-1,1变为1,-1,1,1,-1,1 反之， 对任一由n+1个+1和n-1个-1组成的序列，从左到右扫描，当+1的个数第一次比-1的个数多1时就把这些扫描到的项全部取反号，其余项不变，结果得到满足要求的坏序