一元二次不等式及其解法[高考数学总复习][高中数学课时训]

1、优秀学习资料欢迎下载一元二次不等式及其解法1. 下列结论正确的是.不等式 x 2 4 的解集为 x| x ± 2不等式 x 2-9 0 的解集为 x| x 3不等式 ( x-1) 2 2的解集为 x|1-2 x1+2 设 x1, x2 为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且x1 x2 , 则不等式 ax2 +bx+c 0 的解集为 x| x1 xx2 答案2. （ 2007·湖南理） 不等式 x2 0的解集是.x1答案（-1，23. （ 2008·天津理） 已知函数 f ( x)=x1,x0, 则不等式 x+( x+1) · f ( x+1) 1的解集

2、是.x1,x0,答案 x| x2 -14. 在 R 上定义运算: x y=x(1- y). 若不等式 ( x - a)( x+a) 1 对任意实数 x成立 , 则 a 的取值范围是.答案- 1 a 3225. (2008 ·江苏， 4) A= x|( x-1) 2 3x -7 ，则 A Z 的元素的个数为.答案0例 1解不等式 3x25 1( x 2-9)-3 x.232解原不等式可化为 -3x2+ 5 1 x 2-9 -3 x,2222即 2x 2-3 x-7 0.解方程 2x2 -3 x-7=0, 得 x= 365 .4所以原不等式的解集为365365x4x.444例 2已知不等

3、式 ax2+bx+c0 的解集为 (,),且0, 求不等式 cx 2+bx+a0 的解集 .解 方法一由已知不等式的解集为(，) 可得 a 0,， 为方程 ax2+bx+c=0 的两根，b)0(由根与系数的关系可得ac0a优秀学习资料欢迎下载 a0, 由得 c0,则 cx 2+bx+a 0 可化为 x2 + b x + a 0,cc÷得 b =()=-1 10,c由得 a = 1= 1·1 0,c 1 、 1 为方程 x 2 + b x+ a =0 的两根 . c c 0,不等式 cx 2 +bx+a0 的解集为x x1 或x1.方法二由已知不等式解集为 (,), 得 a0

4、,且，是 ax2+bx+c=0 的两根，+=-b ,= c ,aacx 2 +bx+a0c x 2 + b x+1 0aa() x2 -(+) x+10(x-1)(x-1) 0x1x1 0.0 , 1 1 , x 1 或 x 1 ,cx 2 +bx+a0的解集为 x x1或 x1.例 3已知不等式ax1 0 ( aR).x 1(1) 解这个关于 x 的不等式 ;(2) 若 x=- a 时不等式成立 , 求 a 的取值范围 .解 (1) 原不等式等价于 ( ax-1)( x+1) 0.当 a=0 时, 由-( x+1) 0, 得 x -1;当a0 时, 不等式化为1xa( x+1) 0,解得x-

5、1或 x 1;a当a0 时, 不等式化为1xa( x+1) 0;若 1 -1, 即-1 a0, 则 1 x -1;aa若 1 =-1, 即 a=-1, 则不等式解集为空集 ;a若 1 -1, 即 a -1, 则-1 x 1 .aa优秀学习资料欢迎下载综上所述 ,a -1 时, 解集为 x11;xaa=-1 时, 原不等式无解 ;-1 a0 时, 解集为x 1x1 ;aa=0 时 , 解集为 x| x-1;a 0 时, 解集为 x x1或 x1.a(2) x=- a 时不等式成立 ,a 21 0, 即- a+1 0,a1a1, 即 a 的取值范围为 a1.例 4（ 14 分）已知 f ( x)=

6、 x 2-2 ax+2, 当 x -1 ， +）时， f ( x) a 恒成立，求 a 的取值范围 .解方法一f ( x)=( x - a) 2+2- a2 ,此二次函数图象的对称轴为x=a,2 分 当 a (- ,-1)时 ， 结 合 图 象 知 , f（ x)在-1， + ） 上 单 调 递 增 ， f ( x) min =f (-1)=2a+3,4 分要使 f ( x) a 恒成立，只需 f ( x) min a,即2a+3 a,解得a-3,又a -1,-3 a -1;6 分当 a -1 ，+）时，f ( x) min =f ( a)=2- a2 ,8分由 2- a2 a, 解得 -2

7、a1, 又 a -1,-1a1.12 分综上所述，所求a的取值范围为 -3 a1.14 分方法二由已知得 x 2-2 ax+2- a0 在 -1 ，+）上恒成立，4分0即=4a2-4（2- a）0或a1,f ( 1)010 分解得-3a1.14 分1. 解下列不等式：（1）- x 2+2x- 2 0;(2)9 x2 -6 x+1 0.3优秀学习资料欢迎下载解 （1） - x2 +2x - 2 0322x -2 x+03x 2-6 x+20=120, 且方程 3x 2-6 x+2=0 的两根为x1 =1-3 , x2 =1+3 ,33原不等式解集为x133.3x 13(2)9 x2 -6 x+1

8、0(3 x -1) 2 0.x R, 不等式解集为 R.2. 已知关于 x 的不等式（ a+b）x+(2 a-3 b) 0的解集为 x x1 ，求关于 x 的不等式 ( a-3 b) x+( b-2 a) 03的解集 .解（ a+b）x+(2 a-3 b) 0 的解集是x x1,3 (ab)1(2a3b)0,3ab0.于是 a=2b0, b0, 不等式 ( a-3 b) x+( b-2 a) 0,即为 - bx-3 b 0, 亦即 - bx3b, x -3.故所求不等式的解集为 x| x-3.3. 解关于 x 的不等式xa0 （aR） .xa 2解xa 0( x- a)( x - a2 ) 0

9、,xa 2当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为；当 a0 或 a1 时， aa2，此时 ax a2 ;当 0a1 时， aa2，此时 a2 x a.综上，当 a0 或 a1 时，原不等式的解集为 x| axa2 ；当 0 a1时，原不等式的解集为 x| a2 x a;当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为.2(1) 当 x R 时 , f ( x) a 恒成立 , 求 a 的取值范围 .(2) 当 x -2,2 时 , f ( x) a 恒成立 , 求 a 的取值范围 .解 (1) x R 时, 有 x2+ax+3- a 0 恒成立 ,须 =a2-4(3- a) 0, 即 a2

10、+4a-12 0, 所以 -6 a 2.(2) 当 x -2,2 时 , 设 g( x)= x2+ax+3- a0, 分如下三种情况讨论( 如图所示 ):优秀学习资料欢迎下载如图 (1),当 g( x) 的图象恒在 x 轴上方时 , 满足条件时 , 有=a2-4(3- a) 0, 即 -6 a2.如图 (2),g( x) 的图象与 x 轴有交点 ,但在 x -2,+ ) 时, g( x) 0,0即 xa2,2g (2)0a 24(3a)0a2或 a6a即2a42742a3a0a3解之得 a .如图 (3),g( x) 的图象与 x 轴有交点 ,但在 x(-,2 时 , g( x) 0,0即 x

11、a2,2g (2) 0a 24(3a)0a2或a6a即a422a742a3a0-7 a -6综合得a -7 ， 2.一、填空题1.函数 y=log 1 ( x 21) 的定义域是.2答案 -2,-1 ）（1， 2 2.不等式x1 0的解集是.x24答案 (-2,1)(2,+ )3.若 ( m+1) x2-( m-1) x+3( m-1) 0 对任何实数 x 恒成立，则实数 m的取值范围是.答案 m - 13114.若关于 x 的不等式： x2 - ax-6 a 0 有解且解区间长不超过5 个单位，则 a 的取值范围是.答案 -25 a-24 或 0a15. (2009 ·启东质检 )

12、 已知函数 f ( x ）的定义域为（ - ， +），f ( x) 为 f ( x) 的导函数，函数y=f ( x) 的图象如右图所示，优秀学习资料欢迎下载且 f (-2)=1,f (3)=1,则不等式 f ( x 2-6)1 的解集为.答案(2,3) (-3,-2)6. 不等式组x 210x 2的解集为.3x0答案 x|0 x 17. 若不等式2xx 2 +a 对于任意的 x -2 ，3恒成立，则实数a 的取值范围为.答案 (- ,-8)8. 已知 x| ax2- ax+10=, 则实数 a 的取值范围为.答案 0 a 4二、解答题9. 解关于 x 的不等式56x 2+ax- a2 0.解原

13、不等式可化为 (7 x+a)(8 x - a) 0,即 xaxa 0.78当 - a a , 即 a 0 时,-a x a ;7878当 -a = a , 即 a=0 时, 原不等式解集为;78当 - a a , 即 a 0 时,a x - a .7887综上知 : 当 a0 时 , 原不等式的解集为xaxa;78当 a=0 时 , 原不等式的解集为;当 a 0 时, 原不等式的解集为x axa .8710. 已知 x2 +px+q 0 的解集为x1x1 ，求不等式 qx2 +px+1 0 的解集 .23解x 2+px+q0 的解集为x1x1,2 3 - 1 , 1 是方程 x2 +px+q=

14、0 的两实数根， 2 311pp1326由根与系数的关系得, ,11q13( ) q62不等式 qx2 +px+10 可化为 - 1 x 21 x 10 ,66即 x 2 - x-6 0, -2 x 3,不等式 qx2 +px+10 的解集为 x|-2 x 3.11. 若不等式 2x -1 m( x2 -1) 对满足 | m| 2 的所有 m都成立，求 x 的取值范围 .解方法一原不等式化为 ( x2-1) m-(2 x-1) 0.令 f ( m)=( x 2-1) m-(2 x-1)(-2m2).优秀学习资料欢迎下载则f (2)2(x 21)(2x1)0,2( x2f (2)1)( 2x1)

15、0.解得17 x 13 .22方法二求已知不等式视为关于m的不等式，（1）若 x2 -1=0 ，即 x=± 1 时，不等式变为2x-1 0, 即 x 1 , x=1, 此时原不等式恒成立 .2（2）当 x2 -1 0 时，使 2x1 m对一切 | m| 2恒成立的充要条件是 2 x1 2,x21x 211x 13 .2(3) 当 x 2-1 0 时，使2x1 m对一切 | m| 2 恒成立的充要条件是2x1 -2.x21x 21 17 x 1.2由（ 1）（ 2）（ 3）知原不等式的解集为x71x3 1 .2212. 已知函数 f ( x)= ax2 +a2 x+2b- a3 , 当 x (-2,6)时，其值为正，而当 x (- ,-2) (6,+ ）时，其值为负 .（1）求实数 a, b 的值及函数 f ( x) 的表达式；（2）设 F（x ） =- k f ( x)+4(k+1)