一次函数的性质与图像教案

1、§ 2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象【学习要求】1.进一步认识一次函数，会借助图象分析其性质，理解其定义；2.掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象；3.提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力【学法指导】通过由一次函数的图象探究其性质的过程，提高探索新问题的能力；培养对分类讨论及数形结合的思想方法的应用.填一填：知识要点、记下疑难点1.一次函数的概念： 函数 y kx b(k 0) 叫做一次函数，它的定义域为R，值域为 R .2.一次函数 y kx b (k 0)的图象是 直线，其中 k 叫做该直线的 斜率 ， b 叫做该直线在 y 轴上的截距 .

2、一次函数又叫 做线性函数.3.一次函数的性质： (1) 函数值的改变量y y2 y1与自变量的改变量x x2 x1 的比值等于直线的斜率 k.(2)当 k>0 时， 一次函数是 增函数 ；当 k<0 时，一次函数是减函数.(3)当 b 0 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b0时，它既不是奇函数也不是偶函数(4)直线 y kx b 与 x 轴的交点为 b， 0 ，与 y 轴的交点为 (0， b) .k研一研：问题探究、课堂更高效探究点一一次函数的概念问题 1在初中我们学过一次函数，那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答：函数 y kx b (k 0)叫做一次函数，

3、它的定义域为R，值域为 R .问题 2一次函数的图象是什么，表达式中的k，b 的几何意义又是什么？答：一次函数 y kx b (k 0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在 y 轴上的截距一次函数又叫做线性函数例 1 设函数 y (m 3)xm2 6m 9 m 2： (1)m 为何值时，它是一次函数？(2)在 (1)的条件下判断函数的增减性m 3 0，解：(1) 由一次函数的表达式知 ，解得 m 2 或 m 4.m2 6m 9 1.(2) 当 m2 时， m 3 2 3 1<0 ，所以对应的函数是减函数；当 m 4 时， m 3 1>0，所以对应的函数是增函数小

4、结：只有当 k0时，函数 y kx b 才是一次函数，若已知y kx b 是一次函数，则隐含着条件k0. 要判断一个多项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数x 的最高次为1 次， x 的系数不为 0.跟踪训练1 函数 y 2mx 3 m 是正比例函数，则m _.解析：由正比例函数的定义可知 ， 2m0，且 3m 0，所以 m3.探究点二一次函数的性质问题 1一次函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值与一次函数y kx b(k 0)中的哪个量相等？请说明原因？答： 函数值的改变量y y2 y1 与自变量的改变量xx2x1 的比值等于直线的斜率k.在直线 y kx b (k 0) 上任取

5、两点P(x1， y1)， Q(x 2， y2 )，则 y1 kx 1 b， y2 kx 2 b，两式相减，得 y yk(x xy y2 y1 k 或 y k x (x x1)， x1)212即x12x2问题 2斜率 k 的符号与一次函数单调性有怎样的关系？答：当 k>0 时，一次函数是增函数；当 k<0 时，一次函数是减函数问题 3在一次函数 y kx b (k 0) 中， b 的取值对函数的奇偶性有怎样的影响？答：当 b 0 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 b0时，它既不是奇函数也不是偶函数问题 4一次函数 ykx b (k 0) 的图象与坐标轴的交点坐标是怎样的？答：

6、直线 y kx b 与 x 轴的交点为b，与 y 轴的交点为 (0 ， b) ， 0k例 2 已知一次函数y 3x 12. 求： (1) 一次函数 y 3x 12的图象与两条坐标轴交点的坐标；(2)x取何值时， y<0?(3)当 y 的取值限定在 ( 6,6) 内时， x 允许的取值范围解： (1) 当 y0 时， x 4；当 x0时， y 12.所以一次函数 y3x 12的图象与两条坐标轴交点坐标分别为( 4,0)、 (0,12)(2) 由 3x 12<0 ，得 x< 4.(3)由 6<3x 12<6，得 6<x< 2.小结：一次函数y kx b (

7、k 0) 与一元一次方程及一元一次不等式是密切联系的，一次函数与即为相应的一元一次方程的解，一次函数图象在x 轴下面的部分对应的x 的范围就是不等式跟踪训练2已知一次函数y 2x 1，x 轴交点的横坐标 kx b<0 的解集(1) 当 y3时，求 x 的范围；(2) 当 y 3,3 时，求 x 的范围；(3) 求图象与两坐标轴围成的三角形的面积解： (1)由题意知， 2x13，解之，得 x1；(2) 因 y 3,3 ，所以 32x13，解之，得 2x1；1(3) 一次函数 y 2x 1与两个坐标轴的交点分别为 2， 0 、 (0,1)，111所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积S 2&#

8、215;2×1 4.探究点三一次函数的应用例 3.对于每个实数 x，设 f(x) 取 y 4x 1， y x2， y 2x 4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x) 的解析式，并求出 f(x) 的最大值解： 分别解出三条直线的交点，y 4x 1，17y 4x 1，1得 A3，3 .得B2，3.yx 2，y 2x 4，y x2，281得C3，3 .观察函数图象，当x 3时，直线 y 4x 1y 2x 4，的图象在最下面，所以f(x) 4x 1，12时， f(x) x 2，2时， f(x) 2x 4.同理，当 <x 当 x>33314x 1，x 3，1228所以 f(x)

9、 x 2，3<x 3，由图象观察可知，当x 3时， f(x)有最大值，最大值为3.2 2x4， x> 3.小结：在本例中，由于f(x) 取 y 4x 1， y x 2， y 2x 4 三个函数中的最小值，要判断三个函数中哪一个最小，只有在同一坐标系内画出三条直线的图象，观察图象，在各段线段中处在最下面的几段线段组成的图象就是 f(x)的图象，观察 f(x)图象的最高点的纵坐标即为f(x) 的最大值跟踪训练3 对于每个实数x，设 f(x) 取 y 3x 5， y x 5，y 2x 8 三个函数中的最大值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x) 的最小值解：在同一坐标系内作出y

10、 3x 5，y x 5，y 2x 8 的图象 ( 如图所示 ) ，它们的交点分别为A、 B、 C.y 3x5，3 343解方程组y 2x 8，得 C 5， 5 . 过 C 点作 y 轴的平行线 x 5，33由图可知，在直线 x 左边， y 2x8 的图象在最上面，即当x 时，55f(x) 2x 8；33 3x 5，在直线 x 右边， y 3x 5 的图象在最上面，即当x> 时， f(x)553 2x 8，x 5，因此， f(x) 33x 5， x>5.观察 f(x)34的图象可知， f(x) min .5练一练：课堂检测、目标达成落实处1.过点 (3， m) 、 (m， 4)的一次

11、函数的斜率为2，则实数 m 的值是 ()5A 2B 4C 0D 2解析：y 4 m由 2，得 m 2.xm 35k()2.函数 y kx 1与 y x在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的解析： 在 A 中，直线是上升的，知 k>0，由曲线的位置知 k>0，即 k<0，矛盾；在 B 中曲线的位置正好使 k>0，故选 B.3. 对于函数 y5x 6， y 的值随 x 的值减小而 _解析：由于一次函数的斜率 5>0， 所以一次函数是增函数，所以 y 值随 x 的减小而减小课堂小结：1.正比例函数 y kx (k 为常数， k0) 的图象的画法：过原点与点(1 ，k) 的直线即所求的