平面与平面地位置关系

1、实用标准文案平面和平面的位置关系一、知识梳理1. 两个平面的位置关系(1) 两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行.(2) 两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交.(3 )两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行：没有公共点；两个平面相交：有一条公共直线.(4)两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(图1,而不应画成图 2那样)平面和文档2. 两个平面平行的判定工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次,如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。该检测原理就是:(1) 两

2、个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行.用符号表示为：若a :，b :，a b=A，且a/：,b/：,则/ -。(线线平行，则线面平行)(2) 垂直直于同一直线的两平面平行。(3) 平行于同一平面的两平面平行。3. 两个平面平行的性质(1 )两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。(2) 直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。(3) 过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。(4) 两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。(5 )两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。4. 两个平行平面的距离

3、(1)两个平面的公垂线及公垂线段：直线a与两个平面a、B都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。（2）两个平行平面的距离我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.说明：两个平行平面的公垂线段都相等.5、二面角半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面为二：的二面角，记作二面角:-AB -:（1）

4、二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二（2 ）、二面角的画法：分直立式与平卧式两种平卧式°当两个半平面合成一个平面时, 直立式（3）、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，二面角- ： ,- AOB是二面角的平面角.注意:i ）二面角的平面角的范围是0,二I,当两个半平面重合时，平面角为 平面角为180。ii. ）求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素: 确定二面角的棱上一点；经过这点分别在两个面内引射线；所引的

5、射线都垂直于棱。iii. ）作二面角的平面角的常用方法：点P在棱上定义法 点P在一个半平面上一一三垂线（逆）定理法 点P在二面角内一一垂面法6、两平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直。思考：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？通过观察可以发现，门在转动的过程中,门轴始终与地面垂直。(1) 两个平面垂直的判定定理 :如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言：若AB 一 一：，AB :-,则:-注意：由符号语言知：判定两个平面垂直时需两个条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。(2) 两个平面垂直的性质定理：如果两

6、个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另-个平面，符号表示： 若。丄为。门卩=l,ABuot, AB丄l,B为垂足，贝U AB1P二、【典型例题】例1.如图，在正方体AC1中，M、N、P分别是棱GC、BG、CiDi的中点。求证：平面MNP II平面AiBD .例2、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。已知:例3.如图，在正方体ABCD -AbCd/中：(1 )求二面角 D-AB-D的大小；(2 )求二面角 A-AB-D的大小.例4.如图，平面角为锐角的二面角-EF - ： , a EF为30，求二面角.-EF - 的平面角.例5

7、.正方体ABDD- AiBiCiDi中，E、F分别是AAi,CCi的中点(1)求证：平面EB1D1H平面FBD,(2)若正方体棱长为a,求平面EBjD与平面FBD间的距离。例6、在长方体 ACi中，已知 AB=BC=a, BBi=b(b>a)连结BCi，过Bi作BiE_BCi交CCi于E,交BCi于求证：(i) ACi _平面EBiDi ； (2)求点Ci到平面BiEDi的距离。例7、四棱锥P -ABCD的底面是边长为 a的正方形，PB _面ABCD。(I)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；(H)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于

8、 90 o 例&如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上 移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM =BN =a （0 ： a ： . 2）。（I）求MN的长；（n）当a为何值时，MN的长最小；（川）当MN长最小时，求面 MNA与面MNB所成的二面角:-的大小。三、课堂练习1. 二面角指的是 （）A. 两个平面相交所组成的图形；B.一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所成的图形C. 从一个平面内一条直线出发的一个半平面与这个平面组成的图形D. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2. 下列命题中错误的是（）A.平行于同一个平面的两个

9、平面平行；B.垂直于同一条直线的两个平面平行C. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交D. 垂直于同一个平面的两个平面平行3. 二面角内一点到两个面的距离分别为6和8,两垂足间的距离为 10,则这个二面角的大小是（）A. 30 °B. 90° C. 30 。或 150° D. 60 。或 120°4. 设平面a II平面3,直线a二a,点b 3，则在B内过点 b的所有直线中（）A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯条与 a平行的直线5. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂

10、线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）A.相等 B. 互补 C.互余D.无法确定6. 有下列四个命题： 夹在两个平行平面间的线段中，较长的线段与平面所成的角较小； 夹在两个平行平面间的所有线段与两个平面所成的角相等； 夹在两个平行平面间的线段相等，则这两条线段必平行；夹在两个平行平面间的平行线段必相等其中的真命题是（）A. B.C. D.7. 下列命题中，错误的是()A. 若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于此平面内所有直线B. 若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C. 若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线平行于这个平面D. 若平面内的一条直线和这个平面

11、的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直8. m、n表示直线，a、B、丫表示平面，给出下列四个命题：aA3 =m n匚a, n丄m,则a丄B :a丄，仏门丫 =m 3y =n，贝U m± na丄B,a丄丫，3门丫 =厲贝9 mla; mla, n丄B,ml n, 则a丄B其中正确命题为()A.与 B.与C.与 D.与9. 在三棱锥 A BCD中，若 AD丄BC, BD丄AD BCD是锐角三角形，那么必有(A、平面 ABDL平面 ADCB 、平面 ABC丄平面 ABCC、平面 ADCL平面BCDD 、平面 ABCL平面BCD10. 在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A B, AC和

12、BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6 AB=8, BD=24则C、D间距离为 。11. (1 )当:-II :时I丄.寫，贝U l与1：'的关系是 ;(2)当：/, II ：,则：与 的关系是 。C12. 正四面体P ABC(各棱都相等)的侧面 PAB与底面ABC所成锐角的余弦值为 13. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA SB SC,且/ ASB=/ ASC=60 ,/ BSC=90，求证：平面 ABCL平面BSC14. 如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC(1) 求证：平面PACL平面PBC(2) 若D也是圆周上一点，且与 C分居直径AB的

13、两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面。D四、课后作业1.过正方形ABCD的顶点A作线段AP丄平面ABCD且AP=AB则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数A.30°.45 °C . 60°.90°2.已知E、F分别是正方体 ABCD- ABCD的棱BC, CC的中点，则截面 AEFD与底面ABCD所成二面角的正弦值是（A.C.2、233.在空间,F列命题中正确的是（A.若两直线a, b与直线I所成的角相等，那么a/ bB.若两直线a, b与平面二所成的角相等，那么C.如果直线I与两平面：，所成的角都是直角，那么D.若平面 与两平面:J 所成的二面角都是直二面角,那么 :-II '4.在下列条件中，可判定平面:-与平面1平行的是（A.:、'都垂直于平面 ；.:内不共线的三个点到一：的距离相等C.I、m是内两条直线，且I / P , m/ 0 ; D. I、m是两异面直线且I / a ,m/a ,且 I / P , m/ B5已知二面角-I -为60: , A到一:的距离为1,则A在内的射影A至呼面:的距离是（）2.336.平面平面- =I,点P，点Q I,那么PQ_I是PQ_ 的A.充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件7 . Rt ABC的斜边在平面a内，直角顶点C是