专题：椭圆的离心率解法大全

1、优秀教案欢迎下载专题：椭圆的离心率cb2一，利用定义求椭圆的离心率（e或 e21）aa1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率e322，椭圆 x2y21的离心率为1 ，则 m4m2 解析 当焦点在 x 轴上时，4m1m 3 ； 当焦点在 y 轴上时，m 41m 16 ，22m2316或 3综上 m33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是354，已知 m,n,m+n 成等差数列，m， n， mn成等比数列，则椭圆x2y2m1的离心率为n2n2mnm22y22 解析 由 n2m2 n1的离心率为n，椭圆 xmn04mn25，已知 121(m0.0) 则当 mn取

2、得最小值时，椭圆x2y 21 的的离心率为3m nn2n22m6，设椭圆x 2y 2a 2b2 =1（ ab 0）的右焦点为111x 轴的弦的长等于点11F ，右准线为l，若过 F 且垂直于F 到 l的距离，则椭圆的离心率是1 。2二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在RtABC中，A90，ABAC1，如果一个椭圆过AB两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在、AB 上，求这个椭圆的离心率e632， 如图所示 , 椭圆中心在原点 ,F 是左焦点 , 直线 AB1 与 BF 交于 D, 且BDB1 90,则椭圆的离心率为 ()解析b ( b )1 a2c2ace5 1ac23

3、，以椭圆的右焦点F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、 N 两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是31变式（ 1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M、 N 两点，如果优秀教案欢迎下载MF=MO，则椭圆的离心率是31x2y24, 椭圆 a2 + b2=1(a>b >0) 的两焦点为 F1、 F2，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？解： F F =2c BF =cBF =3cc+3c=2a e=a = 3-11 212cx2y2=1(a>b >0)

4、 的两焦点为121为正三角形， 求椭圆离心率？变式（ 1）：椭圆 a2+ b2F、F，点 P在椭圆上， 使 OPF解：连接 PF2, 则 OF2 = OF1 = OP, F1PF2 =90 °图形如上图， e= 3-1x2y2变式（ 2） 椭圆 a2+ b2=1(a>b >0) 的两焦点为 F1 、 F2 ， AB为椭圆的顶点， P 是椭圆上一点，且PF1 X 轴，PF AB,求椭圆离心率？2解： PF1 =b2 F2F1 =2c OB =b OA=aPF 2 AB PF1 =b又 b=a2-c 2aFF a21 a2=5c2 e=55变式 (3): 将上题中的条件“ P

5、F2 AB”变换为“ PO AB ( O 为坐标原点 ) ”x2y2相似题：椭圆 a2+ b2 =1(a>b >0)， A 是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，ABF=90°，求 e?解： AO =a OF =c BF=a AB=a2+b222222+2ac+c2a22两边同除以22-1+ 5e=-1- 5a +b +a=(a+c)=a-c -ac=0ae +e-1=0 e=2(舍去)2x2y2-1+5变式 (1): 椭圆 a2+b2 =1(a>b >0)， e=2, A是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，求 ABF？点评：此题是上

6、一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类 e=5-1的椭圆为 优美椭圆。2性质：（ 1） ABF=90°（ 2）假设下端点为 B1 , 则 ABFB1 四点共圆。（ 3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式 (2):椭圆 x2y 21 ( a b 0) 的四个顶点为A、B、C、D，若四边形 ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则a2b2椭圆的离心率e =512提示：内切圆的圆心即原点，半径等于 c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，由面积得： abra2b 2 ，但 r c4，设椭圆x 2y 2（1 a b0）F1、 F2

7、，如果椭圆上存在点P，使F1PF290，求离心率 ea2b 2的左、右焦点分别为的取值范围。解：设 P x , y , F1c,0, F2c,0法 1：利用椭圆范围。由 F1P F2 P 得 x2y2c2，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 x2a2 c2a 2b 2a 2 (c 2a 2 )a2b 2e2。由椭圆的性质知0x 2a2 ，得 以 e 2 ，1）。2附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1 类似）优秀教案欢迎下载法 2：判别式法。由椭圆定义知| PF1|PF2 | 2a|PF1 |2|PF2 |2 2| PF1 |PF2 | 4a2 ，又因为F1PF 290，可得

8、 | PF1 |2| PF2 |2 | F1F2 |24c2 ，则 | PF1 | PF2 | 2(a2c2 ) 2b 2 ，PF1， PF2 是方程 z22az2b 20 的两个根，则4a28(a 2c 2 )0e2c 21e2a222解法 3：正弦定理设记PF1 F2， PF2 F1，由正弦定理有|PF1 | |PF2 | |F1F2| PF1| |PF2|sinsinsin 90sinsin| F1F2 |又因为 | PF| |PF2| 2a | F F|2c，且90则1， 1 2ec111asinsinsincos2 sin()403则2)1， 12 sin()22444sin(244

9、所以2e12解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有2a| PF1| |PF2| 平方后得4a 2| PF1 |2| PF2 |22| PF1| PF2 |2(| PF1|2 |PF2|2 )2|F1 F2 |28c2得 c 21 所以有 e 2 ，1）a 222解法 6：巧用图形的几何特性由 F1 PF290，知点 P 在以 | F1 F2|2c 为直径的圆上。又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有 cbc2b 2a 2c2x2y2=1(a>b >0) 的两焦点为12(c,0)12为直径的圆与椭圆的一个交变式 (1) ：圆 a2+ b2F （-c ， 0）、F，P是以

10、F F点，且 PFF =5 PF F ,求椭圆的离心率e1221分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 F1F2F1PPF2解：由正弦定理：sin F1PF2= sin F 1F2Psin PF1F2根据和比性质：FFF P+ PFFFsin F PF12121212sin F1PF2=sinF 1F2P+sin PF 1F2变形得： PF2 + F1P = sin F1F2 P +sin PF 1F2 PF1F2 =75 ° PF2F1 =15 °e=sin90°6sin75° +sin15 °=3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正

11、弦定理可知e=sin F1PF2sin F F P +sin PF1F122x2y2变式 (2) ：椭圆 a2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1（ -c ， 0）、 F2 (c,0)， P 是椭圆上一点，且椭圆离心率e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。2c=e2aF1PF2 =60 °，求优秀教案欢迎下载12sin60 °sin F PF解：设1221e=sin F1F2P +sin PF 1F2=sin +sin(120 ° - ) =F F P= ，则 F F P=120° - 1112sin( +30° ) 22

12、e<1变式(3)： 过 椭 圆 x2y21 (a b0 )的左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭圆 于 点 P ， F2 为 右 焦 点 ， 若a2b2F1 PF260，则椭圆的离心率e 的值解析：因为 P(c,b2) ，再由F1PF260 有3b22a, 从而得 ec3aaa3变式 (4) ：若 A, B 为椭圆 x 2y 21( ab0) 的长轴两端点， Q 为椭圆上一点， 使 AQB1200 ，求此椭圆a 2b 2离心率的最小值。6e13变式 (5) ： 8、椭圆 x 2y 21 a b0 上一点 A 关于原点的对称点为B， F 为其右焦点，若AF BF ，设a 2b2

13、ABF，且12,，则椭圆的离心率的取值范围为4解析：设 F为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形AFBF 为平行四边形且为矩形，AB 2c ，AF 2c sin, BF2c cos， 2c sin2c cos2ac11，所以 ecos，由a sin2 sin4,2e6。12得3426，如图，在平面直角坐标系x2y21(a b 0)F 为其右xoy 中， A1, A2 , B1, B2 为椭圆b2的四个顶点，a2焦点，直线 A1 B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率y为.直线 A1B2 的方程为xy1，直线 B1 F 的方

14、程为 xy1abcbB2，两式联立得TTM的坐标2ac, b(ac) ，所以中点 M的坐标为ac, b(ac)a caca c2( ac)A1OA2x，因为点 M在椭圆上，代人方程得4c 2(a c)24 a c 2则 e210e 30 e0,1所以 e 2 7 5x2+y2=1(a>b >0)的两焦点为 F（ -c ， 0）、 F (c,0)7，椭圆 ab，满足 MF· MF =0 的点 M总在椭圆内部，则 e221212的取值范围？分析：以 FF为直径作圆， M在圆 O上，与椭圆没有交点。MF· MF =01212MF1OF2优秀教案欢迎下载解： c<

15、b a2=b2+c2 >2c 20<e<22如图所示,画图可知点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，则它在椭圆内部,故c b c2b2a2c2e212e2 , 0 e 1 0 e22222x2y2=1(a>b >0)的两焦点为1（ -c2，P 为右准线 L： x=a218，椭圆 2+2F， 0）、 F (c,0)c上一点，F P 的垂直平分线ab恰过 F2点，求 e 的取值范围？分析：思路 1, 如图 F P 与 F M 垂直，根据向量垂直，找a、 b、 c 的不等关系。12思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求a2e-c解法一： F（ -c ，0） F(c,0

16、) P(a2) M(cy02c ,y02, 2 )1b2y02Pa既 ( 2c,2)则PF1=-(c +c, y0)Mb 2y0 a2b 2y0MF2=-(2c-c,2)PF1MF2=0(c+c,0)·(2c-c,2)=0F1F 2·yO2223aby022(c+c) · (2c-c)+2=0a -3c 0 3 e<11 222a2a2-c3ca23c223解法 2：FF=PF =2c PF c-c则 2cc c a则 3 e<1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法

17、。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。9，如图，正六边形ABCDEF的顶点 A、 D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、 C、E、 F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是31解：以 AD 所在直线为 X 轴， AD 中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r，则椭圆的半焦距c r ，易知AOF 为等边三角形， F（c ,3 c) ，代入椭圆方程x 2y 21中，得： c 23c21，22a 2b2F4a 24b2E c23c 24，即：e234ADa 2a2c 211e2BC23e22(1e2)24(12), e48e240, e24 23, e3

18、 1,e1e24 ， e3ee又0 e1,e31法二：如图，连结AE ，易知AED900，设 AD2c,则 EA3c, EDc ，由椭圆定义，有： EAED2a ， (31)c 2a ， ec231a3122xy10，椭圆 a2+b2=1(a>b >0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60°的直线交椭圆与AB两点，若 F1A =2 BF1 , 求椭圆的离心率e 的值优秀教案欢迎下载解：设 BF =m则 AF =2a-am BF =2a-m12222：2a-c12在 AF1F2 及 BF1F2 中，由余弦定理得：a c =m(2a-c)2(a22)=m(2a+c)两式相除=2

19、e=-c2a+c3练习题：221，椭圆 x2y21(a b0)上有一点 M， F1 , F2 是椭圆的两个焦点，若 MF 1MF22b2 ，求椭圆的离心率 .ab解 析 :由椭圆的定义，可得MF 1MF22a 又 MF 1MF2 2b2 ， 所 以 MF 1 , MF2是 方 程x22ax2b20 的两根，由(2a)242b20， 可得 a22b2 ，即 a22(c2a2 ) 所以 ec2，a2所以椭圆离心率的取值范围是2 ,1)232，在 ABC 中，A90 ， tan B若以 A， B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e4解析AB4k, AC3k, BC5k ,eAB1ACBC23

20、，已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点 , 若PF1 F2 :PF2 F1 : F1PF 2 1: 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为 _. 解析31 三角形三边的比是 1 :3:24，在平面直角坐标系中，椭圆x2y21(ab0) 的焦距为2，以 O为圆心， a 为半径的圆，过点a2a2b2,0c作圆的两切线互相垂直，则离心率e =解析a22ae2c25， 在 ABC 中，A300 ,| AB | 2, S ABC3若以 A， B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 S ABC1| AB | | AC |sin A3，|AC|23 ，|AB |222 | AB | | AC | cosA22|BC|AC|e| AB|23 1|BC |2 322|AC|x2y2sin PF1F2a6，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F