华东师大初中数学九年级下册圆周角知识讲解提高精选

1、圆周角一知识讲解（提高）【学习目标】1 .理解圆周角的概念.了解圆周角和圆心角的关系；2 .理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，？都等于这条弧所对的圆心角的一半；3 .理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?。的圆周角所对的弦是直径；4 .熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】圆周角要点一、1.圆周角定义：像图中/ AER /ADB /ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2 .圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周

2、角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3 .圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在 圆周角的外部.（如下图）第_种情况第二种情况第三神情况【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用是的三等分点， 连接AB分别交OC, ?厦门校级模拟) 如图，/AOB=90 ° , CDOD 1. (2016于【思路点拨】 连接AC, BD,根

3、据/ AOB=90 °得出/ AOC的度数，由等腰三角形的性质求出 ZOFE的度数.根据 SAS定理得出 ACO DCO ,故可得出/ ACO= / OCD ,根据等角对等 边可彳#出AC=AE ,同理可得 BF=BD ,由此可得出结论.【答案与解析】证明：连接AC , BD ,国工在。O中，半径 OALOB, C、D为弧AB的三等分点，3 飞AOB= X 90 ° =30 ° ./ AOC= / OA=OB , / OAB= / OBA=45 ° ,AOC= / BOD=30 ° , . / OEF= / OAB+/AOC=45 °

4、 +30° =75 ° ,同理/ OFE=75 ° , A3是的三等分点，D -. C.-.AC=CD=BD ,QARD，ZAOC=ZBOD在 ACO 与 DCO 中，oc=oc .ACO仁 DCO (SAS),ig(r ./ ACO=/OCD .2OCD= , ° ° =75° , /=75° OAE ./ OEF= /+/AOE=45 +30 OCD/, . / OEF= , CD：/AB ./AEC=/, OCD AECACO=, AC=AE .同理，BF=BD .又 AC=CD=BDAE=BF=CD【点评】本题考查的

5、是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等是解答此题的关键.举一反三：【变式】如图所示，已知CML AB, DN± AB.AC BD.求证:AB是OO的直径，N分别是AQ BO的中点,【答案】证法一：如上图所示，连 OC OD则OC= OD,11OAON OBOM, OB 且=; OA 22. - OM = ON 而 CML AB, DN! AB, Rt ACOIW RtA DON/CO昧 /DONAC BD.、OD 证法二：如下图，连 AG BDOCAB, AO的中点，且 CMLM 是，AC = OC'. . OC= OD 又=同

6、理 BDOD, BD= ACOA、OB是OO的半径且 OALOB,作OA的垂直平分线交。于AC BD.类型二、圆周角定理及应用 2. （2015?南京二模）如图, 点 C、D,连接 CB、AB .求证：/ ABC=2 / CBO .【答案与解析】证明：连接OC、AC,如图，,CD 垂直平分 OA , OC=AC1OC=AC=OA 是等边三角形，. OAC , AOC=60 °2 ° , . . / ABC= / AOC=30 ° , AOC+ / AOB=150BOC 在中，/ BOC= / ,OB=OC ,./ CBO=15 °. / CBO ./ A

7、BC=2本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌 【总结升 三： .AB 所对的圆周角是 _0华】.握所学知识点是解题的关键举一反80O是。的弦，/ AOB=°则弦AB变式【】如图,.14040【答案】。或。3.如图，AB是OO的直径，C、D、E都是。O上的点，则/ 1 + /2=【答案】90。.Z2=22，则如图，连接OE【解析】力+ 22只（4如皿如R如卜8。一。【总结升华】把圆周角转化到圆心角 举一反三：连接 AG BO,已知/ CAB=36 ,【变式】（2015?玄武区二模）如图，四边形ABCCOO的内接四边形,ZABQ=30°

8、，贝I/ D=【答案】96。；OC,如图，提示：解：连结 /BOC=2 CAB=2X 36° =72° ,; OB=OC / OBCN OCB(180°/ BOC OBC =180°72° ) =54° , . . / ABC=/ OBA吆 OBC=30 +54° =84°/D+/ABC=180 , ./D=180°84° =96 ° , 96 故答案为.4.已知，如图，O O上三点 A、B C, / ACB=60° , AB=m试求。O的直径长.【答案与解析】如图所示，作。O的直径AC',连结C' B,则 / AC' B=/ C=60°又 AC是O。的直径， ./ABC =90°/e=w型+£。心二