函数单调性判断方法

1、1.单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y = f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y = f(x)的单调区间.2.常见基本函数的单调性函数函数表达式单调区间次 函 数y kx b(k 0)当k 0时，y在R上是增函数；当k 0时，y在R上是减函数。茨 函 数2y ax bx c(a 0,a, b,c R)b当a 0时，x 时y单调减， 2ab x 巴时y单调增；2a当a 0时，x上时y单调增，2ab x 时y单倜减。2a反比例函数kyx(k R且 k 0 )当k 0时，y在x 0时单调减，在x 0时单调减；当k 0时，y在x 0时单调增，在

2、x 0时单调增。指数函数xy a(a 0,a 1)当a 1时，y在R上是增函数；当0 a 1,时y在R上是减函数。对数函数y log a x(a 0,a 1)当a 1时，y在(0,)上是增函数；当0 a 1时，y在(0,)上是减函数。特殊函数图像典例分析题型一、复合函数单调性判断及应用使用情景：简单的复合函数类型解题模板：第一步先求函数的定义域；第二步 分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；第三步 根据同增异减，确定原函数的增减区间.若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.【例1】 求函数y logo.7(

3、x2 3x 2)的单调区间；【变式练习1】已知定义在 R上的函数y f(x)是偶函数，且x 0时，f(x) ln(x2 2x 2).(1)当x 0时，求f(x)解析式；(2)写出f (x)的单调递增区间.【变式练习2】已知函数f(x) = x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()B. 3, +8 )A.(巴 1D. 1 , +8 )小Z（1）单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立定义域优先”的原则.（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号V”连接，也不能用 我”连接.（3）函数的单调性是函数在某个区间上的整体”性质，所以不能仅仅根

4、据某个区间内的两个特殊变量xi, X2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量.题型二、分段函数单调性判断及应用使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数） ，即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步得出结论.x2,x 0,【例1】已知函数f X在区间 ，上是增函数，则常数a的取值x3 a2 3a 2,x,0范围是 （）A. 1,2 B .,1 U 2,C. 1,2 D

5、.,1 U 2,【变式练习1】函数f x数a的取值范围是()A. (-,1B.1,4x 4x,x 4,若函数y f x在区间(a , a+1)上单调递增，则实log2 x, x 4C.4, +) D.(-,1 U4, +)【变式练习2】已知函数f(x)(3a 1)x 4a, x 1在R是单调函数，则实数 a的取值范围是lOgaX x 1【例2】设函数g(x) x2 2(x R), f (x)g(x) x 4,x g(x)5 ',5 ,则f (x)的值域是(g(x) x,x g(x).9a 0,)B-,)4一 -c. -,0 U(1,) D . -,0U(2,)442(x a) ,x 0

6、,【例3】f (x)1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(x - a, x 0, x(A)-1,2(B)-1，0(C)1， 2(D)0,2【变式练习3】已知函数f（x）3x 1, ，则 f(f( 3), f （x）的最小值是lg(x2 1),x 1小结1、最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值,谁最小谁是最小值；第四步.得出结论.2、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同

7、；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数f(x)的定义域为2,2 ,且在 2,0内递减，求满足：f(1 m) f (1 m2) 0的实数m的取值范围.【例2】定义在尺上的偶函数了满足：|4)=八-2) = 0,在区间(-工厂3)与TO上分别递增和递减, 则不等式xf(x) > 0的解集为.【变式练习1】设奇函数f(x)在区间1,1上是增函数，且f( 1)1 .当x 1,1时，函数f(x) t2 2at 1 ,对一切a 1,1恒成立，则实数t的取值范围为()A. 2 t

8、2 B. t 2或 t 2C.t 0或 t 2 D. t 2或 t 2 或 t 0【变式练习2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-,0)上单调递增.若实数a足f (2a 1)f(后，则a的取值范围是小结不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效.(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.题型四、函数单调性判断方法(性质)的应用函数单调性的性质：若f(x),

9、 g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x) + g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增+增=增，增减=增，减+减=减，减增=减；(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;1(3)在公共定义域内，函数 丫=电)(他户0)与y=f(x), y =单倜性相反； f x(4)在公共定义域内，函数 y=f(x)(f(x)>0)与y="x"单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.【常见判断方法】方法一定义法使用情景：一般函数类型解题模板：

10、第一步取值定大小：设任意 x1, x2 D ,且x1 x2 ；第二步作差：f(x1) f(x2);第三步 变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；第四步定符号；第五步得出结论.【例1】判断并证明：f(x) 在(，0)上的单调性.1 x1【变式演练1】已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x2 -. x(1)求f (x)的表达式；(2)判断并证明函数 f(x)在区间(0,)上的单调性.方法二导数法使用情景：较复杂的函数类型解题模板：第一步求函数f(x)的定义域；第二步求导f (x);第三步 在定义域范围内解不等式f (x) 0或f (x) 0 ；第四步得出函数f(x)的

11、增减区间.【例2】已知函数f(x) (a 1) ln x ax2 1,讨论函数f(x)的单调性;【变式练习2】已知函数f (x) x3 3x2 9x a .求f (x)的单调递减区间;【应用】应用(一)比较函数值或自变量的大小例3已知函数f(x)的图象关于直线 x= 1对称，当x2>xi>1时，f(x2)f(xi)(x2 xi)<0恒成立，设a1=f 2, b = f(2), c= f(e),则 a, b, c 的大小关系为()B. c>b>aA . c>a>bC. a>c>bD. b>a>c应用(二)解函数不等式例4f(x)是

12、定义在(0, +8)上的单调增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3) = 1,当f(x)+f(x 8产2时,x的取值范围是()A . (8,)B. (8,9C. 8,9D. (0,8)方法技巧用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将f'符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(2)有时，在不等式一边没有符号f”时，需转化为含符号f”的形式.如若已知 f(a)=0, f(x-b)<0,则 f(x-b)<f(a).应用(三)求参数的取值范围例5 (1)如果函数f(x)=ax2+2x3在

13、区间(一8, 4)上是单调递增的，则实数 a的取值范围是()1,_1,A. 4，+B.4，+C. -10D.-1044若函数y=f(x)在区间(a, a+1)上单调递增，则实数 a的取值范围x2+4x, x< 4,(2)设函数f(x)=log 2x, x>4.A.(巴 1C. 4, +8 )是()B. 1,4D.(巴 1 U 4, +8 )易错提醒若函数在区间a, b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.【变式练习3】1 .函数f(x)= |x2|x的单调减区间是()A. 1,2B. -1,0C.

14、0,2D. 2, +oo)2 .已知函数 y= f(x)是 R 上的偶函数,当xi, X2C (0,), xx2时，都有(xi-X2)f(xi)-f(x2)<0.设 a=ln1, b = (ln 卷)c=ln 则()A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(a)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D, f(c)>f(b)>f(a) 13.定义在R上的奇函数y=f(x)在(0, +8)上单倜递增，且f5 =0,则满足flog x>0的x的集合为 9随堂检测2 a x+ 1, x<1 ,f x1 f x21 .已

15、知f(x)= X ,满足对任意xx2,者B有f二>0成立，那么a的取值范围是ax, x> 1 ,x1-x22 .讨论函数f(x)= x + ；(a>0)的单调性.3、设函数f(x)lx2291nx在区间a 1,a 1上单调递减，则实数a的取值范围是()A. 1C. a课后作业1.已知函数f(x) =(4 a3)x 3a, x10ga(x 1) 1,x0,一，斗，(a>0,且aw。在R上单倜递减,且关于x的方程| f (x)| 2 x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(A) (0, 2(B) 2, 33341 (C)3I吗(D)2)3U342.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增.若实数a足f （2 a 1）f（依，则a的取值范围是3.已知定义在R 上的函数f x2|xm 1（m为实数）为偶函数，记,则a,b, c的大小关系为（）af (log 0.5 3),bf log2 5 ,c f 2m(A) a b c (B) a c b(C) cab (D) c b a4.设函数 f(x) ln(1 x) ln(1 x),则 f (x)是(A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）