普通物理学课件：第十讲 电磁学（II）

1、 1. 电场强度通量电场强度通量 均匀电场中穿过与电场垂直的平面均匀电场中穿过与电场垂直的平面S S的电场线的电场线总数，称为通过该平面的电场强度通量。总数，称为通过该平面的电场强度通量。 将曲面分割为无限多个面将曲面分割为无限多个面元，称为元，称为面积元矢量面积元矢量dsnSSdd则电场穿过该面元的电通量为则电场穿过该面元的电通量为SEdde电场穿过某曲面的电通量为电场穿过某曲面的电通量为SESed9-3 9-3 高斯定理高斯定理ESen 不闭合曲面：不闭合曲面： 闭合曲面：闭合曲面： 面元的法向单位矢量可面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可有两种相反取向，电通量可正也可负；正也可负

2、； 规定面元的法向单规定面元的法向单位矢量取向外为正。位矢量取向外为正。 电场线穿出，电通量为电场线穿出，电通量为正，反之则为负。正，反之则为负。nnnn 电场强度通量电场强度通量+q2. 高斯定理高斯定理Sd41Sd20 erqESSe Srqd4S2022044rrq0q2.1 2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时SdEr高斯定理高斯定理高斯高斯+q2.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元在闭合曲面上任取一面积元dS，通过面元的电场强度通量，通过面元的电场强度通量r0qSEdSeS S2. 高斯定理高斯定理2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时

3、SEddeSrd420rrqSrqdcos204204rSdqSdE高斯定理高斯定理S S0qSEdSe2. 高斯定理高斯定理2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时SdE+cosddSS 2.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷是是d dS S在垂直于电场方向的投影。在垂直于电场方向的投影。dS对电荷所在点的立体角为对电荷所在点的立体角为d2drSd d4d0qe 高斯定理高斯定理q1q2q3S SSEdSe2. 高斯定理高斯定理2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时SdE+2.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷dd4d0qe Seqd40440 q0q 0q

4、高斯定理高斯定理SEdSe2. 高斯定理高斯定理2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时2.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷0qSEdSe0q2.3 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷SdE+d1S2S闭合曲面可分成两部分闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。角绝对值相等而符号相反。 Seqd400 高斯定理高斯定理SEdSe2. 高斯定理高斯定理2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时2.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷SEdSe0q2.3 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷0qS

5、EdSe0 2.4 闭合曲面闭合曲面S包围多个电荷包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个，同时面外也有多个电荷电荷qk+1-qn由电场叠加原理由电场叠加原理 iiEE nkinkiiEE11SEdSe nkiSikiSiSESE11dd0 内Siq高斯定理高斯定理SEdSe2. 高斯定理高斯定理2.1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时2.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷SEdSe0q2.3 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷0qSEdSe0 2.4 闭合曲面闭合曲面S包围多个电荷包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个，同时面外也有多个电荷电荷qk+1-qn0 内S

6、iqSEdSe高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理: : 高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。面上电场却与面内、面外电荷都有关。注意：注意： VSeSEVd1d0 内SiSeqSE01d 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。空介电常数。点电荷系点电荷系连续分布带电体连续分布带电体高斯定理高斯定理例题例题9

7、-9：点电荷：点电荷q的电场中，有一个半径为的电场中，有一个半径为R的圆平面，的圆平面，q就就在在圆平面的轴线上，求通过圆平面的电通量。圆平面的轴线上，求通过圆平面的电通量。以以q为球心，为球心， 为半径作球冠面为半径作球冠面S1。因。因S1、S间无电荷，所以通过间无电荷，所以通过S1和和S的电通量相等。的电通量相等。22xR 球冠球冠S1的面积：的面积：)xRxxR(2)xxR(xR2S222222221 与与S1对应的球面面积：对应的球面面积：)xR(4S222 通过通过S的电通量：的电通量：)xRx1(2qq1SS220021E S1SRoxAq22xR 3. 高斯定理的应用高斯定理的应

8、用1. 均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场4. 均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场均匀带电圆柱面的电场条件：条件： 电荷分布具有较高的空间对称性电荷分布具有较高的空间对称性 5. 均匀带电球体空腔部分的电场均匀带电球体空腔部分的电场 高斯定理的应用高斯定理的应用rR+q例例9-10 均匀带电球面的电场，球面半径为均匀带电球面的电场，球面半径为R，带电为，带电为q。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r的高斯面。的高斯面。 r R时，高斯面无电荷

9、，时，高斯面无电荷，24drESES0E0q 解：解：20r4qE 高斯定理的应用高斯定理的应用r0ER+R+rqr R时，高斯面包围电荷时，高斯面包围电荷q，204rqEEr 关系曲线关系曲线204Rq均匀带电球面的电场分布均匀带电球面的电场分布2r 高斯定理的应用高斯定理的应用例例9-11 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 。rl作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面，作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面，电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。高为高为l，半径为，半径为r

10、 侧面SSEddEs（1）当）当rR 时，时，lqrE02均匀带电圆柱面的电场分布均匀带电圆柱面的电场分布r0EREr 关系曲线关系曲线R021r 高斯定理的应用高斯定理的应用EE 例例9-12 均匀带电无限大平面的电场。均匀带电无限大平面的电场。电场分布也应有面对称性，电场分布也应有面对称性，方向沿法向。方向沿法向。解：解： 高斯定理的应用高斯定理的应用 作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。，两底面到带电平面距离相同。ESEESEEs2dd 两底SS圆柱形高斯面内电荷圆柱形高斯面内电荷Sq由高斯定理得由高斯定理得0/2

11、SES 02E 高斯定理的应用高斯定理的应用Rr例例9-13 均匀带电球体的电场。球半径为均匀带电球体的电场。球半径为R，体电，体电 荷密度为荷密度为 。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯面24 rESESd0qa. r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷3r34Vqdr3E0b. r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷334Rq20313rRE解：解：204rqE 高斯定理的应用高斯定理的应用EOrRRRrr03RrrR20313E均匀带电球体的电场分布均匀带电球体的电场分布03REr 关系曲线关系曲线2r

12、 高斯定理的应用高斯定理的应用例例9-14 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为在球内挖去一个半径为r（rR）的球体。）的球体。试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。r证明：证明： 用补缺法证明。用补缺法证明。OP03 1cpo在空腔内任取一点在空腔内任取一点p,E设想用一个半径为设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相且体电荷密度与大球相同的小球将空腔补上后，同的小球将空腔补上后，p点场强变为点场强变为1E设该点场强为设该点场强为R1E2E小球单独存在时，小球单独存在时，p点的场

13、强为点的场强为cpE023 高斯定理的应用高斯定理的应用EEE21 21EEEoc03因为因为oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。为常矢量，所以空腔内为匀强电场。)(30cpoprcpoR1E2E 高斯定理的应用高斯定理的应用rbab 1. 静电场力的功静电场力的功q 静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。 9-4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势1.1 点电荷电场中点电荷电场中 试验电荷试验电荷q q0 0从从a点经任意路径到达点经任意路径到达b点。点。q0在路径上任一点附近取元位移在路径上任一点附近取元位移ldrr r+d+d

14、r rlFddAcosd lEq0d drrEq0draAAdlEd0baqlEd0qEld1.2 任意带电体系的电场中任意带电体系的电场中 将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性nEEEE21电场力对试验电荷电场力对试验电荷q0做功为做功为lEqAbad0lEqlEqlEqbanbabaddd000n21AAA总功也与路径无关。总功也与路径无关。 静电场力的功静电场力的功结论：结论： 试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起做的功仅与试验电荷的电量及路径的起

15、点和终点位置有关，而与具体路径无关。点和终点位置有关，而与具体路径无关。 静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场是保守场，静电场力是保守力。 静电场力的功静电场力的功 1.3 静电场的环路定理静电场的环路定理 试验电荷试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对运动一周时，电场力对q0做的功做的功A=？ 静电场力的功静电场力的功安培安培 在闭合路径在闭合路径L上任取两点上任取两点P1、P2，将，将L分分成成L1、L2两段，两段，P2P1L2L1lFALdlEqppd210(L2)(L1)lEqppd210(L1)(L2)电场力做功与路径无关，故电场力做功

16、与路径无关，故0d0lEqAL即即 0dlELlEqLd0lEqppd120)d21lEpp 静电场力的功静电场力的功 静电场的环路定理静电场的环路定理0dlEL 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。分（称为场强的环流）恒为零。 静电场力的功静电场力的功静电力的功，等于静电势能的减少。静电力的功，等于静电势能的减少。2. 电势电势由环路定理知，静电场是保守场。由环路定理知，静电场是保守场。 保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。 选选b为静电势能的零点，用为静电势能的零点，用“0”表示

17、，则表示，则lEd0BAABqABAWWElEd00AAqW2.1 电势能电势能电电 势势某点电势能某点电势能Wa与与q0之比只取决于电场，定义为之比只取决于电场，定义为该点的该点的电势电势2.2 电势电势2.3 电势差电势差 电势零点的选取是任意的。电势零点的选取是任意的。 电场中两点电势之差电场中两点电势之差 沿着电场线方向，电势降低。沿着电场线方向，电势降低。0qWVAABAABVVVABlEdBAlEd0A电电 势势3.电势的计算电势的计算1.1 点电荷的电势点电荷的电势点电荷的电场点电荷的电场1.2 点电荷系的电势点电荷系的电势1.3 连续分布带电体的电势连续分布带电体的电势q3q1

18、r1r2Vr+rE3041rqlEdrViiirqV041rqVd410rq041q2q4r3r4Prrqrd4120电势的计算电势的计算电势的计算例题电势的计算例题例例9-15. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势例例9-16. 均匀带电球面的电势均匀带电球面的电势例例9-17. 电偶极子的电势电偶极子的电势电势的计算例题电势的计算例题例例9-18. 均匀带电线的电势均匀带电线的电势例例9-15. 半径为半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解：解：以以O为圆心，取半径为为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，带电的薄圆环，带电dq= ds

19、= 2 L dL到到P点距离点距离P点电势：点电势：OLdL22LxrrqUd041 RLxLL0220241d )(xxR2202 pxR电势的计算例题电势的计算例题 由高斯定理知，电场分布为由高斯定理知，电场分布为R解：解： 例例9-16. 求一均匀带电球面的电势分布。求一均匀带电球面的电势分布。P.ERr 0Rrrqo241 1.当当r R 时时rVrEdrq041VRrRq041Rrrqo41rRq041电势的计算例题电势的计算例题电势分布曲线电势分布曲线场强分布曲线场强分布曲线EVRRrrOO结论：结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电

20、势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。204RqRq04电势的计算例题电势的计算例题2 r1 r例例9-17 计算电偶极子电场中任一点的电势。计算电偶极子电场中任一点的电势。 rqrqVP0044式中式中r+与与r-分别为分别为+q和和-q到到P点的距离，由图可知点的距离，由图可知yPx+q q re/2re/2Or+r r解解 ：设电偶极子如图放置，电偶设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点极子的电场中任一点P P的电势为的电势为电势的计算例题电势的计算例题302044cosrrPrqrVeeP 由于由于r re ，所以，所以

21、P点的电势可写为点的电势可写为2200cos2cos4cos21cos214 eeeePrrrqrrrrqV因此因此 cos2errr cos2errr 电势的计算例题电势的计算例题 解：解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为 。计算在计算在x轴上距直线为的任一点轴上距直线为的任一点P处的电势。处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势公式来计算电势V V，否则必得出无，否则必得出无限大

22、的结果，显然是没有意义的。限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。电势值为无限大的结果。例例9-18 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。电势的计算例题电势的计算例题 为了能求得为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上强的关系式，求出在轴上P点点P1和点的电势差。无和点的电势差。无限长均匀带电直线在限长均匀带电直线在X轴上的场强为轴上的场强为rE02 于是，过于是，过P点沿点沿X轴积

23、分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点P1的电势差的电势差 rrrrrEVVrrrrPP100ln2d2d111 由于由于ln1=0，所以本题中若选离直线为，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为点的电势为 电势的计算例题电势的计算例题 mPrVln20 由上式可知，在由上式可知，在r1 m处处,VP为负值；在为负值；在r0 等势面等势面1上上P1点的单位法向矢量为点的单位法向矢量为 n 与等势面与等势面2 2正交于正交于P P2 2 点。点。 在等势面在等势面2 2任取一点任取一点P P3 3 ，设，设nppd21lpp

24、d31 则则 cosdd ln cosddddnUlU场强与电势的关系场强与电势的关系 电势梯度电势梯度U+dU1U2P1P2P3 定义电势梯度定义电势梯度nnUUddgrad 方向与等势面垂直，并方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。指向电势升高的方向。 其量值为该点电势增其量值为该点电势增加率的最大值。加率的最大值。场强与电势的关系场强与电势的关系 电势梯度电势梯度nEE 场强也与等势面垂直，但指场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。向电势降低的方向。 电荷电荷q从等势面从等势面1移动到等势面移动到等势面2，电场力做功，电场力做功lEdd qA 电场力做功等于电势能的减少量电场力做功

25、等于电势能的减少量UqAddnUEdd 写成矢量形式写成矢量形式UnUgradddnE 在直角坐标系中在直角坐标系中)(kjiEzUyUxU1U2P1P2P3 U+dUnE cosd lqEnqE d 2.2 2.2 电势梯度与电场强度的关系电势梯度与电场强度的关系 场强与电势的关系场强与电势的关系 电势梯度电势梯度 2.3 2.3 场强与电势梯度的关系的应用场强与电势梯度的关系的应用 电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再应用场强与电势梯度的关系算出场强。应用场强与电势梯度的关系算出场强。例例9-19 9-19 电偶极子较远处的电场电偶极子较远处的电场例例9-20 9-20 均匀带电圆环