大学物理课件：12-10,11 光栅衍射

1、dksin 0 1 2 3k ， ，12-10 12-10 光栅光栅衍射衍射双缝衍射双缝衍射-单缝衍射对双缝干涉的影响单缝衍射对双缝干涉的影响不考虑衍射时不考虑衍射时, , 双缝干涉的干涉情况：双缝干涉的干涉情况：d1S2SO1r2rxDEM图 14-3PB明纹条件明纹条件不考虑衍射时不考虑衍射时, , 双缝干涉的光强分布图：双缝干涉的光强分布图：I0032d2d2dd32dsinId设双缝的每个缝宽均为设双缝的每个缝宽均为 a a，在夫琅禾费衍射下，每个缝，在夫琅禾费衍射下，每个缝的衍射图样位置是相重叠的。的衍射图样位置是相重叠的。ad f透透镜镜I衍射光相干叠加衍射光相干叠加 考虑单缝衍射

2、后，考虑单缝衍射后，双缝干涉条纹各级主极大的双缝干涉条纹各级主极大的强度强度不再相等，而不再相等，而是是受到了衍射的调制受到了衍射的调制，但是主极大的位置，但是主极大的位置没有变化。没有变化。下图给出下图给出 时，时，双缝干涉光强受衍射调制后的图样双缝干涉光强受衍射调制后的图样3da光栅：光栅：由大量等宽等间距的平行狭缝构成的光学器件由大量等宽等间距的平行狭缝构成的光学器件透射光栅透射光栅-透射光衍射；透射光衍射；反射光栅反射光栅-反射光衍射反射光衍射透光区缝宽为透光区缝宽为a，不透光区的缝宽为不透光区的缝宽为b, 光栅常数光栅常数d=a+bd透射光栅透射光栅光栅光栅每个缝每个缝形成各自的形成

3、各自的单缝衍射图样单缝衍射图样，N个缝的个缝的N套衍射套衍射条纹通过条纹通过透镜完全重合透镜完全重合。光栅。光栅缝与缝之间要发生干涉缝与缝之间要发生干涉. . 衍射条纹是衍射条纹是单缝衍射与多光束干涉的总效果单缝衍射与多光束干涉的总效果, , 即多光束即多光束干涉条纹受到单缝衍射的调制干涉条纹受到单缝衍射的调制反射光栅反射光栅d048-4-8sin ( /d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线0光栅干涉的光强要受光栅干涉的光强要受到单缝衍射的调制。到单缝衍射的调制。sin 0I-2-112单缝衍射光强曲线单缝衍射光强曲线( /a)sin 4-8-48多光束干涉光强曲

4、线多光束干涉光强曲线( /d)PO (a+b)sin ab光栅衍射装置光栅衍射装置 (1) (1) 光栅衍射主明纹条件光栅衍射主明纹条件2 ()sin2, k=0, 1, 2, a bk 光栅方程光栅方程若相邻两缝发出的光束间若相邻两缝发出的光束间的相位差为零或的相位差为零或2 2的整数的整数倍倍, ,则则N N个缝的光束在个缝的光束在P P点干点干涉加强涉加强, , 产生明纹。此时产生明纹。此时各个单缝的光矢量同向，各个单缝的光矢量同向，首尾相接首尾相接. . ()sin abk或：或：明纹的条件：明纹的条件：.0 0 ( )a( )b 相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差相邻两缝的入射

5、光在入射到光栅前已有光程差(a+b)sin 0，则明纹主极大的条件为：则明纹主极大的条件为：(a) (a+b)(sin + sin 0 )=k , k=0,1, 2, 3 (b) (a+b)(sin - sin 0 )=k , k=0,1, 2, 3 单色平行光单色平行光倾斜地倾斜地射到光栅上时的主极大条件射到光栅上时的主极大条件或统一为或统一为(a+b)(sin - sin 0 )=k , 规定从法线开始沿顺规定从法线开始沿顺时针旋转的角度为正时针旋转的角度为正. .(2) (2) 暗纹条件暗纹条件( (以光栅缝数以光栅缝数N=6为例来说明为例来说明) ) /332 =2 /62x2 /63

6、x2 /64x2 /65x2 /64 /35 /3 暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。此时，各单缝光振动矢量应组成一闭合相消形成的。此时，各单缝光振动矢量应组成一闭合多边形，合振动的振幅等于零。多边形，合振动的振幅等于零。即当相邻两缝间的相位差满足下面条件时出现暗条纹：即当相邻两缝间的相位差满足下面条件时出现暗条纹：abkk2 ()sin2, =1,2,3, 4,57,6 ,7,kk6推广到推广到N N条缝的情形条缝的情形, ,产生暗纹的条件是：产生暗纹的条件是：其中其中kkN, 即不等于狭缝数目即不等于狭缝数目N的整数倍，因为的整数倍，因为k=0，

7、N， 2N， kN时时 属于主明纹情形；属于主明纹情形； 即即k=0对应对应0级主极大级主极大， k= N对应对应 1 1级主极大，级主极大， 可可推断推断相邻两个主极大之间共有相邻两个主极大之间共有N1条暗纹。条暗纹。abkkkkNN()sin, = 1, 2, 3, 且且或者相邻两缝间的光程差为：或者相邻两缝间的光程差为：abkk()sin, =1,2,3, 4,57,6 (3) (3) 次明纹次明纹由于光栅缝数由于光栅缝数N N很多很多, ,两相邻两相邻主极大主极大间布满了间布满了暗纹和光强暗纹和光强极弱的次明纹极弱的次明纹, ,因此光栅主极大条纹很窄。因此光栅主极大条纹很窄。光栅衍射图

8、光栅衍射图样主要特点样主要特点: :主明纹细而明亮主明纹细而明亮, ,且相邻主明纹间暗区较宽且相邻主明纹间暗区较宽. . 相邻两主明纹间有相邻两主明纹间有N-1N-1条暗纹，说明暗纹条暗纹，说明暗纹间还存在次明纹。间还存在次明纹。相邻主极大之间出现的次明纹可推相邻主极大之间出现的次明纹可推知为知为N-2N-2条。条。次明纹的光强极弱。次明纹的光强极弱。N=2N=6主极大的宽度主极大的宽度1 N 光栅衍射图样的光强分布光栅衍射图样的光强分布如果如果N很大很大, 则每条缝的宽度则每条缝的宽度a很小很小, 单缝衍射中央明纹单缝衍射中央明纹区域很宽区域很宽 ( x=2f /a), 则通常观察到的光栅衍

9、射图样为则通常观察到的光栅衍射图样为单缝衍射中央明纹内的干涉条纹单缝衍射中央明纹内的干涉条纹产生缺级的条件产生缺级的条件: k /k 为整数。例如：为整数。例如：a+b=3a, 则与则与k=3k=3，6，9，对应的各主极大缺级。对应的各主极大缺级。则缺级的级次则缺级的级次k为：为：缺级现象：缺级现象： ()sinsinabkak 单缝衍射极小单缝衍射极小 光栅主极大光栅主极大缺级时缺级时, 衍射衍射角角 同时满足同时满足:abkka 1, 2, 3,k 如果衍射角为如果衍射角为 的入射光既满足光栅方程的主明纹的入射光既满足光栅方程的主明纹条件，又满足单缝衍射的暗纹条件，这些主明纹将消条件，又满

10、足单缝衍射的暗纹条件，这些主明纹将消失，这一现象称为缺级。失，这一现象称为缺级。k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=63abkkka k=-6缺级：缺级：k = 3, 6, 9,.光栅衍射光栅衍射第三级极第三级极大值位置大值位置单缝衍射单缝衍射第一级极第一级极小值位置小值位置N=? 5缺级缺级?aba3048-4-8sin ( /d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线0sin 0I-2-112单缝衍射光强曲线单缝衍射光强曲线( /a)sin 4-8-48多光束干涉光强曲线多光束干涉光强曲线( /d)根据根据 N=4, a+

11、b=4a, 画出的光强分布画出的光强分布由光栅方程由光栅方程: 可见不同波长可见不同波长(颜色颜色)的光，的光， 除去中央明纹外，主极除去中央明纹外，主极大的角位置不同。大的角位置不同。 每一级次都有一组按照波长由短到每一级次都有一组按照波长由短到长的次序依次分开排列的谱线。光栅衍射产生的这种按长的次序依次分开排列的谱线。光栅衍射产生的这种按波长排列的谱线称为波长排列的谱线称为光栅光谱光栅光谱。2. 2. 光栅光谱光栅光谱白光的光栅光谱如下白光的光栅光谱如下:()sin, k=0, 1, 2, a bk 0级级1级级2级级-2级级-1级级3级级-3级级白光的光栅光谱白光的光栅光谱3. 3. 光

12、栅的分辨本领光栅的分辨本领 光栅的分辨本领是指把波长靠光栅的分辨本领是指把波长靠得很近的两条谱线分辨清楚的本领。定义光栅的色分得很近的两条谱线分辨清楚的本领。定义光栅的色分辨本领为：辨本领为：R 由瑞利准则可知要分辨第由瑞利准则可知要分辨第k k 级光谱中波长为级光谱中波长为 和和 + + 的两条谱线，就要满足波长为的两条谱线，就要满足波长为 + + 第第k k级主级大恰好级主级大恰好与与最邻近最邻近的的波长为波长为 的的第第k =kN+1级级极小相重合。极小相重合。可推得：可推得：()sin()abk RkN 波长为波长为 + 第第k 级主级大：级主级大：波长为波长为 的的第第kN+1级级极

13、小：极小：abkkNNN()sin(1) 增大主极大级次增大主极大级次 k 和总缝数和总缝数 N ，可提高光栅的分辨率。，可提高光栅的分辨率。( 光栅的色分辨本领光栅的色分辨本领 )k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6k=-6光栅极小的级次对应：光栅极小的级次对应： ()sin, = 1, 2, (N-1), (1), ;abkNkNkkN (a+b)/a? N ?(a+b)/a =2 N=5(a+b)/a=5 N=5N越大越大,即光栅的缝数越即光栅的缝数越多多,明纹将越亮明纹将越亮, 越细越细例例1、波长为、波长为6000的单色光垂直入射在一光栅

14、上，第二的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在级明纹出现在sin =0.2处，第处，第4级为第一次出现的缺级。级为第一次出现的缺级。求求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？光栅上相邻两缝的距离是多少？(2)狭缝的宽度是多狭缝的宽度是多少？少？(3)按上述选定的按上述选定的d、b值，实际上能观察到的全部明值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？纹数是多少？解解: (1)sindk 2 0.66sin0.2kdmm 14,ddkkaa 61.544 damm (3)sin110dk 光栅方程中的 ， 即在在-900 900范围内可观察到的明纹级数为范围内可观察到的明纹级数为 k=0, 1, 2,

15、 3, 5, 6, 7, 9, 共共15条明纹。条明纹。(2) k=4 为第一次出现的缺级，则为第一次出现的缺级，则 k=1例例2、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长种波长 1=4400, 2=6600。实验发现，两种波长的谱实验发现，两种波长的谱线线(不计中央明纹不计中央明纹)第二次重合于衍射角第二次重合于衍射角 =600的方向上，的方向上，求此光栅的光栅常数求此光栅的光栅常数d。解：解：111sin,dk 222sindk 1111122222sin44002sin66003kkkkkk 11223624kk 两两谱谱线线重重合合，

16、所所以以第二次重合第二次重合 k1=6, k2=4 0316063 05 10sin,.ddmmk1, k2为整数为整数例例3 3 一光栅每厘米刻痕一光栅每厘米刻痕500500条条, ,观察钠光谱线观察钠光谱线 =589.3nm=589.3nm问问(1)(1)垂直照射可以看到几级谱线垂直照射可以看到几级谱线? ? 共几条共几条? ?(2)(2)平行光平行光3030角入射可以看到几级谱线角入射可以看到几级谱线, , 共几条共几条? ?解解:(1) :(1) 根据光栅方程，根据光栅方程，012dkksin, | | 0)选逆时针方向为正选逆时针方向为正i CABD说明向上最大可见说明向上最大可见1

17、级级, 向下最大可见向下最大可见5级级, 共共7级级。斜入斜入射使得级次分布不对称，但总级数不变射使得级次分布不对称，但总级数不变对于下方的平行光束对于下方的平行光束( 0)09. 5103 .589500) 5 . 01(1030sin)90sin(92mindk例题例题4. 已知光栅已知光栅6500条条/cm，白光垂直入射，缝宽，白光垂直入射，缝宽77.7 10am 求：求：(1). 第三级谱线的衍射角？第三级谱线的衍射角？(2). 对于对于 光入射光入射, 能看到衍射条纹的级数？能看到衍射条纹的级数？04300 A 解：解：(1). 白光波长范围白光波长范围004000A 7000A61

18、1.54 106500abcmm 3k 3sinab 04000 A 紫紫光光7163410sin0.77921.5410 0151.19 07000 A红光7263 7 10sin1.3611.54 10 对于红光对于红光k=3级不存在。那么，对于白光级不存在。那么，对于白光k=3能看能看到的光谱的波长为到的光谱的波长为 ：)90(时不存在不存在60()sin()1.54 1051333ababAkk 在绿光附近在绿光附近(2). 对于对于 光入射光入射, 能看到衍射条纹的级数能看到衍射条纹的级数04300 A 明纹条件：明纹条件：()sinabk ()sinabk 能看到最多级时能看到最多级时: sin1 681.54 103.643 10abk 3kk取整数，又又 缺级缺级2 abkkka 故故2,4,6缺级缺级所以实际看到所以实际看到 -3，-1， 0, 1, 3级共级共5级级1895年伦琴发现年伦琴发现X 射线。射线。X 射线是波长很短的电磁波。射线是波长很短的电磁波。X 射线的波长：射线的波长： 0.01 10n