量子力学期中考试试题

1、学习必备欢迎下载量子力学期中考试试题物理常数：光速：c2.998108 m s 1 ；普朗克常数：h6.62610 34 J s ；玻尔兹曼常数：kB1.381 10 23 J / K ；电子质量： me9.10910 31 kg ；碳原子质量： mC12u2.00710 26 kg ；电子电荷： e1.60210 19 C一、填空题：1、 量子力学的基本特征是。2、 波函数的性质是。3、 1924 年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子， 满足德布洛意关系：； 假设电子由静止被150 伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：

2、（保留 1 位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1 K 时， C60 团簇（由 60 个 C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_（保留 2 位有效数字） 。4.一粒子用波函数(rt,) 描写 ,则在某个区域 dV 内找到粒子的几率为。5、线性谐振子的零点能为。6、厄密算符的本征值必为。7、氢原子能级 n5的简并度为。8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是。9、测不准关系反映了微观粒子的。10.等人的实验验证了德布罗意波的存在。11.通

3、常把称为束缚态。12.波函数满足的三个基本条件是：。13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为：14两力学量对易的说明：15. 坐标与动量的不确定关系是：16. 氢原子的本征函数一般可以写为：17. 何谓定态：1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。2. 简并、简并度。3. 用球坐标表示，粒子波函数表为4. 用球坐标表示，粒子波函数表为r , ,r , ,。，写出粒子在立体角d中被测到的几率。，写出粒子在球壳r , rdr中被测到的几率。5. 一粒子的波函数为rx, y, z ，写出粒子位于x xdx 间的几率。6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。7. 写出三维无限深势阱

4、0 , 0xa , 0yb , 0zcV (x, y, z), 其余区域中粒子的能级和波函数。学习必备欢迎下载8. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。0,0x2aV ( x),x0,x2a9. 何谓几率流密度？写出几率流密度j （r , t）的表达式。10. 写出在 z 表象中的泡利矩阵。11. 电子自旋假设的两个要点。12. （ L 2 , L z） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？13. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。y , p y?z , p x?L y , L z?L 2 , L x?s x , sy?z ,y?14.

5、给出如下对易关系：( r , s z)( r ,/ 2)( r ,/2) ，16. 完全描述电子运动的旋量波函数为( r , / 2)2d3 r ( r ,/ 2)2准确叙述及分别表示什么样的物理意义。18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。23.量子力学中，体系的任意态( x) 可用一组力学量完全集的共同本征态n ( x) 展开：( x)cn n ( x)n，写出展开式系数cn 的表达式。HpV ( x)，求 x , H? p , H?24.

6、一维运动中，哈密顿量m25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标?x 和动量 px 之间的测不准关系。28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题：1、利用玻尔索末菲量子化条件，求：（ 1）一维谐振子的能量。（ 2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场 B10T ，玻尔磁子B 0.92310 23 J T 1 ，求动能的量子化间隔E，并与 T 4K及 T 100K 的热运动能量相比较。2. .证

7、明在定态中，几率流与时间无关。， x03. 一粒子在一维势场U ( x )0， 0xa 中运动， xa学习必备欢迎下载（ 1）求粒子的能级和对应的波函数。（ 2）若已知 t 0 时，该粒子状态为：x,01(x)2(x) ，求 t 时刻该粒子的波函数；12（ 3）求 t 时刻测量到粒子的能量分别为E1 和 E2 的几率是多少？（ 4）求 t 时刻粒子的平均能量 E 和平均位置 x 。L24.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H，L 为角动量，求与此对应的量子体系2I在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一固定点转动：5.设 t=0 时，粒子的状态为

8、( x) Asin2 kx21 coskx求此时粒子的平均动量和平均动能。6.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数( x ) Ax( ax)描写， A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。7. 设氢原子处于状态13(r , , )2 R21 ( r )Y10 ( , )2R21 (r )Y1 1 ( , )求氢原子能量、 角动量平方及角动量Z 分量的可能值， 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。? ?2?2? ?（一） .已知厄密算符 A, B ，满足 AB1，且 ABBA 0，求?1、在 A 表象中算符 A、 B 的矩阵表示；?2、在 B 表

9、象中算符 A 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵S。（二） . 设氢原子在 t 0 时处于状态(r ,0)1 R2 1(r )Y1 0(,)1 R3 1( r )Y1 0( , )1 R2 1(r )Y1 1 ( ,)222，求1、 t0 时氢原子的 E 、?2?L和 Lz 的取值几率和平均值；2、 t0 时体系的波函数，并给出此时体系的（六）、当为一小量时，利用微扰论求矩阵一次项。?2?z的取值几率和平均值。E 、 L和 L1202230332的本征值至的二次项，本征矢至的学习必备欢迎下载?cos ,cos , cos 方向投影算符（十）、在 Sz 表象中，求自旋算符S 在 n?SnS nSx c