大学数学微积分课件：第03讲 第二节、数列的极限 第三节、函数的极限

1、苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一1第三讲第三讲 内容内容第二节、数列的极限第二节、数列的极限第三节、函数的极限第三节、函数的极限苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一2第二节、数列的极限第二节、数列的极限苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一3“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一4R正六边形的面积

2、正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一52 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一6例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定义定义:

3、按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项). 数列数列记为记为nx. 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一7注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整数函数数列是整数函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21n

4、nn )1(1nnn ,333,33, 3 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一8.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放数列的极限数列的极限苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一9问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面

5、演示实验的观察通过上面演示实验的观察:苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一10,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一11如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axax

6、nn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一12x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一13数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1

7、)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一14例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关

8、键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一15例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一16例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnN

9、n时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一171.唯一性唯一性 定理定理1 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.二、数列极限的性质二、数列极限的性质苏州大学数学科学学院大学数学部20

10、21年11月15日星期一182.有界性有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一19定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则

11、则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一20证证lim0nnxa设则由定义则由定义,/2a取,/2,nNnNxaa使得当时恒有0nx 即：注：注：同理可证同理可证a0,使得使得:nN 时总有时总有xn 0推论：推论：如果从某个如果从某个N起起xn0则：则：定理定理3(3(收敛数列保号收敛数列保号) ) 则存在则存在N0,0,使得使得:

12、 :n N 时总有时总有xn 0.0.lim0nnxa a设lim0nnxa苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一21注：注：如果数列的如果数列的2 2个子列极限不同，由定理个子列极限不同，由定理4 4断定断定该数列不收敛该数列不收敛定理定理4(4(子列收敛定理子列收敛定理) ) 则它的任一子则它的任一子数列也收敛于数列也收敛于a. .limnnxa设 在一个数列在一个数列xn中任意抽取无限多项并保持它中任意抽取无限多项并保持它们原来的次序，即构成该数列的一个们原来的次序，即构成该数列的一个子数列子数列苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一22例例5.)

13、1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1, 1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一23数列极限的小结数列极限的小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何

14、意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、保号有界性、唯一性、保号性、子列收敛定理性、子列收敛定理.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一24第三节、函数极限课件制作：汪光先 戴中寅 徐聪敏苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一25一、一、自变量趋向有限值自变量趋向有限值时函数的极限时函数的极限( )( );()f xAf xA表示小 由意刻划任000 .()xxxx的过程 由示刻划表苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一26:. 1 定义定义定义定义 000,0,0,lim( )( )xxxxf xAf xA 使当时恒

15、有苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一273.图形上看图形上看:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xyA当 进入 的邻域时 函数图形完全落在以直线为中心线宽为心的带形区域内去注：注：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一28例例1 1).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例2

16、 2.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一29例例2 2. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一30例例3 3.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任

17、给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一312.单侧极限单侧极限:201,0( )1,0lim( )1.xxxf xxxf x设讨论：两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx000,xxxxxx从左侧无限趋近记作000,xxxxxx从右侧无限趋近记作yox1xy 112 xy苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一32左极限左极限.)(,

18、0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当00lim( )(0).xxf xAf xA记作或00lim( )(0).xxf xAf xA记作或左邻域0 0 xxx右邻域00 xxx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一33000lim( )(:0)(0).xxf xAf xf xA定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例4 4证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11l

19、im0 x苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一34sin.xxx 观察函数当时变化趋势的播放播放二、自变量二、自变量趋向无穷大趋向无穷大时函数的极限时函数的极限苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一350,( );(f xAf xA 趋向刻划,.X xXx 刻划过程的. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言如何用数学语言刻划刻划函数函数“无限接近无限接近”.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一36:. 1 定义定义定定义义X

20、0,0,( ).XxXf xA使当时恒有 Axfx)(lim苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一37:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2.另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一38xxysin 3.从图形上看从图形上看: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完

21、全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一39xxysin 例例5. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故lim(:),).xf xcycyf x如果则直线是函数的图形的水平定渐近线义苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一40三、函数极限的性质三、函数极限的性质1lim( )f x定理 ：如果存在，则其极限唯一。2lim( )( )f xf x定理 ：如果存在，则在某时刻后有界。2

22、.有界性有界性1.唯一性唯一性11211lim1.1()11()xxxx例如：，时刻时有界当。苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一41000lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxUxf xf x若且或则存在当时或定理定理3(3(保号性保号性) )000lim( ),0,(, ),( )0( )0),0(0).xxf xAxUxf xf xAA若且存在当时或则或推论推论13.保号性质保号性质苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一420000lim( ),lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxUxf xg x 设且则存在有推论推论3 30000lim( ),lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xAg xBxUxf xg xAB设若存在使当有则推论推论2 2以上以上2个推论称为个推论称为保序性保序性，只要将函数，只要将函数f(x)-g(x)代入定理代入定理3即可得到即可得到下面，我们就下面，我们就 A0来证明定理来证明定理3苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一43000lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxUxf