特殊四边形中常添加的辅助线

1、FC 即 OE OF BF DE图1图2特殊四边形 - 作辅助线 添加辅助线解特殊四边形特殊四边形主要包括平行四边形、 矩形、 菱形、正方形和梯形 .在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线 .下面介绍一些辅助线的添加方法 .知识点一：平行四边形有关的辅助线作法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有 某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的 平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三 角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

2、（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造 线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等 积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 . 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1 、 如图 1，在平行四边形 ABCD中，点 E,F 在对角线 AC上，且 AE CF, 请你以 F 为一个端点， 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段， 猜想并证明 它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 BF BF DE证明：连结 DB,DF ,设DB, AC 交于点 O四边形 ABCD为平行四边

3、形 AO OC,DO OB AE FC AO AE OC 四边形 EBFD 为平行四边形第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例 2、如图 2，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，如果 AC 12，BD 10， AB m，那么 m的取值范围是（ ）A 1 m 11 B2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解：将线段 DB沿DC 方向平移，使得 DB CE,DC BE ,则有四边形 CDBE 为平行四边形 ,在 ACE中, AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即2 2m 22 解得1 m 11 故选 A 第

4、三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形 问题。 BE CFFFA例 3 、已知：如图 3，四边形 ABCD 为平行四边形求证： AC 2 BD2 AB2BC2 CD 2DA2证明：过 A, D分别作 AEBC于点 E，DFBC 的延长线于点 FAC 2 AE2 CE2 AB2BE 2 (BCBE)2AB2 BC 2 2BE BCBD2 DF 2 BF 2 (CD2CF 2)(BCCF)2CD2BC22BCCF则 AC2 BD 2 AB2 BC 2CD2DA22BCCF2BCBE四边形 ABCD 为平行四边形 ABCD且 ABCD, ADBCABC DCF AEBDF

5、C900ABEDCF AC 2 BD 2 AB 2BC 2 CD 2 DA 2第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例 4：已知：如图 4，在正方形 ABCD中，E, F 分别是 CD 、DA的中点， BE与CF 交于 P 点，求证： AP AB证明：延长 CF 交 BA的延长线于点 K ， 四边形 ABCD为正方形 AB CD 且 ABCD , CD AD,BADBCDD9001K又DDAK 900, DFAF CDFKAFAK CDAB CE1CD,DF21AD2 CEDFBCDD 900 BCE CDF 12139023900 CPB900,则KPB900 APAB第

6、五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三 角形。例 5、如图 5，在平行四边形 ABCD中，点 E为边 CD上任一点，请你在该图基 础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长 AE与BC的延长线相交于 F ，则有 AED FEC,FAB FEC,AED FABD第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例 6、已知：如图 6，在平行四边形 ABCD 中， AN BN,BE BC,NE四边形 ABCD 为平行四边形3 交 BD 于 F ，求 BF :BD 解：连结 AC交 BD于点O,连结 ONANBNON 1BC且ON21 BC2 BE ONBFFO

7、1 BF2BEBC BE:ON2:33 FO3BF2 BF : BD1:5BO5 OA OC,OB ODBD2综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。知识点二：和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题 .例 7 、如图 7，在 ABC中， ACB=90°， BAC的平分线交 BC于点 D，E是AB 上一点，且 AE=AC，EF/BC交 AD于点 F，求证：四边形 CDEF是菱形. 分

8、析：要证明四边形 CDEF是菱形，根据已知条件，本题有两种判定方法，一是 证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 . 根据 AD是 BAC的平分线， AE=AC，可通过连接 CE，构造等腰三角形，借助三线 合一证明 AD垂直 CE. 求 AD平分 CE.证明：连结 CE交AD于点 O，由 AC=AE，得 ACE是等腰三角形，因为 AO平分 CAE，所以 AOCE，且 OC=O，E因为 EF/CD，所以 1=2， 又因为 EOF=COD，所以 DOC可以看成由 FOE绕点 O旋转而成，所以 OF=O，D 所以 CE、DF互相垂直平分 . 所以四边形 CDEF是菱形

9、.图7例 8、 如图 8，四边形 ABCD是菱形，E为边 AB上一个定点， F是 AC上一个动点， 求证 EF+BF的最小值等于 DE长.分析：要证明 EF+BF的最小值是 DE的长，可以通过连结菱形的对角线 BD，借助 菱形的对角线互相垂直平分得到 DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解 决问题.证明：连结 BD、 DF.因为 AC、BD是菱形的对角线，所以 AC垂直 BD且平分 BD， 所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DFDE，当且仅当 F运动到 DE与AC的交点 G处时，上式等号成立，所以 EF+BF的最小值 恰好等于 DE的长 .综上所述， 菱形是一种特殊的平行四边形

10、， 和菱形的有关证明题或计算题作辅助 线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（ 1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线 .知识点三：与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种： （1）计算型题， 一般通过作辅助线构造直角三角 形借助勾股定理解决问题； （2）证明或探索题， 一般连结矩形的对角线借助对角 线相等这一性质解决问题 . 和矩形有关的试题的辅助线的作法较少 .例 9、如图 9，已知矩形 ABCD内一点， PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 分析：要利用已知条件，因为矩形 ABCD，可过 P 分别作两组对边的平行线，构 造直角三角形借助勾股定理解决问题 .解：过点 P分别

11、作两组对边的平行线 EF、GH交AB于E，交 CD于 F，交 BC于点 H，交 AD于 G.因为四边形 ABCD是矩形，所以 PF2=CH2=PC2-PH2， DF2=AE2=AP2-EP2， PH2+PE2=BP2，所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以 PD=3 2 .图9说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角， 通过作平行线构造四个小矩形， 然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到 PD 与 PA、PB、PC之间的 关系，进而求到 PD 的长 .知识点四：与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形， 它既是轴对称

12、图形， 又是中心对称图形， 有关 正方形的试题较多 . 解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解 决正方形问题的常用辅助线 .例 10、如图 10 ，过正方形 ABCD的顶点 B 作 BE/AC，且 AE=AC，又 CF/AE. 求1 证： BCF=2 AEB.分析：由 BE/AC，CF/AE，AE=AC，可知四边形 AEFC是菱形，作 AHBE于 H，1 根据正方形的性质可知四边形 AHBO是正方形，从 AH=OB=2 AC，可算出 E= ACF=30°， BCF=15°. 证明：连接 BD交 AC于 O，作 AHBE交 BE于 H. 在正方形 ABCD中，A

13、CBD，AO=B，O 又 BE/AC，AHBE，所以 BOAC，1 所以四边形 AOBH为正方形，所以 AH=AO=2 AC，因为 AE=AC，所以 AEH=30°， 因为 BE/AC，AE/CF，所以 ACFE是菱形，所以 AEF= ACF=30°，因为 AC是1 正方形的对角线，所以 ACB=45°，所以 BCF=15°，所以 BCF=2 AEB.说明： 本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质 .通过连 接正方形的对角线构造正方形 AHBO ，进一步得到菱形， 借助菱形的性质解决题 . 知识点五：与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的

14、辅助线的作法是较多的 . 主要涉及以下几种类型： （1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形； （2）作梯形的高，构造矩 形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线， 构造直角三角形和平行四边形； （4） 延长两腰构成三角形； （5）作两腰的平行线等 .例 11 、已知如图 11，在梯形 ABCD中， AD/BC，AB=AC， BAC=90°， BD=BC， BD交 AC于点 0. 求证： CO=CD.分析：要证明 CO=C，D可证明 COD= CDO，由于已知 BAC=90°，所以可通过 作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题 .证明：过点 A、D 分别作 AE

15、 BC，DFBC，垂足分别是 E、F，则四边形 AEFD 为矩形，因为 AE=DF，AB=AC， AEBC， BAC=90°，11 所以 AE=BE=CE2=BC， ACB=45°，所以 AE=DF=2 ， 又 DFBC，所以在 RtDFB中， DBC=3°0 ，75180 DBC又 BD=BC，所以 BDC= BCD=2所以 DOC= DBC+ACB=30°+45°=75°.所以 BDC=DOC，所以 C0=CD.图 11图 12说明： 在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯 形转化为矩形和直角三角形，进而根

16、据直角三角形知识解决 .例 12 、如图 12，在等腰梯形 ABCD中， AD/BC，ACBD，AD+BC=1，0 DEBC 于 E.求 DE的长 .分析：根据本题的已知条件， 可通过平移一条对角线， 把梯形转化为平行四边形 和直角三角形，借助勾股定理解决 .解：过点 D作DF/AC，交 BC的延长线于 F，则四边形 ACFD为平行四边形，所以 AC=D，F AD=C，F 因为四边形 ABCD为等腰梯形，所以 AC=D，B BD=FD ，因为1 1 1 1DEBC，所以 BE=EF=2 BF=2 (BC+CF)=2 (BC+AD) =2 ×10=5.因为 AC/DF,BDAC,所以 BDDF,因为 BE=FE,所以 DE=BE=EF=5即, DE的长为 5.说明: 当有对角线或垂直成梯形时 ,常作梯形对角线的平行线 ,构造平行四边形 , 等腰三角形或直角三角形来解决 .知识点六：和中位线有关辅助线的作法例 13、 如图 13，在四边形 ABCD中，AC 于 BD交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、