理学工程数学PPT课件

1、1111212122212nnmmmnaaaaaaaaa第1页/共107页2第一节 矩阵的概念 数称为矩阵的元.ija111212122212a (1,2,.,;1,2,., )(). 1 由个数排成定个横行 个竖列的阵式称为 行 列矩阵阵义矩ijnnmmmnmnim jnaaamnmaaaaaamnn ABA; (). 阶 表示为 、 、.； 当矩阵的时称为方阵：行数与列数方相等阵m nijm nan第2页/共107页3ij A.2 AAA如果矩阵 的每个元都是实数，矩阵 称为实矩阵；如果 的元是复数， 称为 定义复矩阵a. ()本书只讨论实矩阵 ABAB3相同的行数与相同的如果矩阵 与 有

2、，则、 称为 定义列数同型矩阵.1231 (,)1 3,解析几何中用坐标表示空间三维向量 实矩例阵.aa a a 第3页/共107页411112211211222221122(21 )线性方程组例nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb (1)系数由方程组中未知量的所构成的矩阵.ijamn 111212122212(1)2).(系数 称为方程组的矩阵nnmmmnaaaaaaAaaa 第4页/共107页511112211211222221122(21 )线性方程组例nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 12 (1)1 (3)(1

3、).由右端的常数项 构成的矩阵称为方程组的矩阵常数列mibbbbmb 11121212221212 B=( , ) (4)(1)由构系数和常成的矩阵称为方程组的阵数项增广矩mnnmmmnaaaaaaAaaabbbb 第5页/共107页6线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaAa11121212221122( , )nnmmnmmbbaaaaaaaaabBA b增广矩阵常数列矩阵12mbbbb第6页/共107页7一 些 概 念 矩阵与行列式是两个根本不同的概念.

4、 A=B ，|A|=|B| ? 当A=(aij)是一个n阶矩阵(方阵)时，与它对应的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|. |A|=|B|，A=B ?第7页/共107页8几种特殊形式的矩阵 （2）列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵，也称为列向量。1n （1）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵，也称为行向量。1m ),(21naaaa nbbbb21第8页/共107页9111212122212=nnmmmnaaaaaaAaaa 矩阵 的每一行都是一个 n 维行向量，记作nmA miaaaainiii, 2 , 1,),(21 则矩阵可表示为：12maaa第9页/共107页101112121222

5、12nnmmmnaaaaaaAaaanjaaaAmjjjj,2, 121 矩阵 的每一列都是一个 m 维行向量，记作nmA 则矩阵可表示为：12=(,)nA AA第10页/共107页11 （3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 例如， 的零矩阵可记为Om n000000000m nO第11页/共107页12 （4）方阵 行数和列数都等于 的矩阵，称为 阶矩阵或 阶方阵，记为 ， nnAnn111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa 其中元素 称为 阶方阵的主对角元素，过元素 的直线称为 阶方阵的主对角线1122,nnaaan1122,nnaaan第12页/共107

6、页13 （5） 阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵，即nnn0 (; ,1,2, )ijaij i jn记为12120000diag(,)00nnaaa aaa 或12naaa其中未写出的元素全为零第13页/共107页14 （6） 阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵，即 且 记为 或n1(1,2, )iiain0 (; ,1,2, ),ijaij i jnnn100010001nEE111第14页/共107页15 （7） 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵，称为 阶数量矩阵， 记为 或k000000kkkEkkkknnn|

7、?kE 第15页/共107页16第二节 矩阵的代数运算 矩阵的加法与数乘 1.定义与基本性质 定义1 如果同型矩阵A=(aij)、B=(bij)的对应元都相等，即aij=bij，则称A与B相等，记为A=B. 定义2 两个同型矩阵A=(aij)mn和B=(bij)mn的对应元相加所得的同型矩阵C=(aij+bij)mn称为矩阵A与B之和，记为C=A+B， 即(aij+bij)mn=(aij)mn+(bij)mn第16页/共107页17同型矩阵只有才能相加：1-304312A B= C=25-12-55-1例如：， A+B无意义-304312B+C=+5-12-55-1 0+A=A0+A=A，或者

8、m nm nm n-3+30+14+2016=.5-5-1+52-1041第17页/共107页18 AB A+(-B)A4BA-B.矩阵 、 是同型矩阵，则称矩阵为 与的差，记为定义 ABABA-A. A+(-A)=0 . 3 若与 同型的矩阵 的每个元是矩阵 的对应元的相反数，则称矩阵负矩阵为 的，记为定义第18页/共107页19 A=()()AA 5A 是一个数，是矩阵，则同型矩阵称为数 与矩阵 的乘积，记为或，定即义ijm nijm naa2156315 3=0-210-63例如：()矩阵的加 减 法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算.|=(|AA|)行列式？n nn n1112121

9、22212A= ()=() nnijm nijm nmmmnaaaaaaaaaaa 第19页/共107页20矩阵的性质：(1) A+B=B+A,加法交换律(2) (A+B)+C=(A+B)+C,加法结合律(3) (A+B)= A+ B, ( + )A=数乘的分配律AA (4) ( A)=()A,数乘的结合律 (5) 1A=A.第20页/共107页2132 ,15A例 设11127B32X.AXB且，求矩阵111322332715XBA1119627273 1558712712585242X3A32AXB解 在 等式两端同加上 ，得第21页/共107页222 、线性组合12A ,A ,.,A .

10、设给定了若干个同型矩阵m112211212 A +A +.AA()BA ,A ,.,ABA ,A ,.,A经线性运算为常数 得线性组合线到的矩性表出阵 称为的,或称 可经.mmmjjjjmmB 12341212343410010000 M,M,M,M,00001001AM ,M , M ,M.1 设证明任何一个二阶矩阵都是的线性合例组aaaa 第22页/共107页231211221 (,.,),1,2,., ,=.2 设求线性组合例iiiminiinniaaainxxxx 1=解：niiix 211(,.,=)niiiimiaaax 121=(,.,)niiiiimiix ax ax a 12

11、111=,.,.nnniiiiimiiiix ax ax a第23页/共107页24121212 ,.,2(,.,). ,.3,同例 ，又问 可否用线性表出？例nmnb bb 假设能够解：线性表出，1211112= .,=bbb=这个问题就变成了判断线性方程组，是否有解。nininiimiimiiiaaxxxa 21111=,.,.nninimiiiiiiixx aaax 12(,.,)mbbb 112212,.,=.则得存在使，nnnxxxxxx2利用例 的结果，第24页/共107页25矩阵的乘法第25页/共107页26 每个线性方程组由它的系数矩阵 和常数列矩阵 所唯一确定。Ab 1.矩阵

12、乘法的定义 矩阵乘法最初是从线性方程组的研究中产生的121 若引入一个由 个未知量构成的矩阵，则线性方程组可以地记为：形式nxxnnXx 1112111212222212 .或者nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxAXbb 第26页/共107页271112111212222212 .或者nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxAXbb .把线性方程组用它的系数矩阵、常数列向量和未知量列向量简单表示出来，记法与一元一次方程一致axb 第27页/共107页2811 (),()(1)(1,2,.,)() 11 设，则规定矩阵 与 维列向量矩阵相乘的乘积是以为分量的 维列向量矩阵定义，即i

13、jm njnniijjjAaCcmnAnnCACda c immm 11121121222212nnmmmnnaaacaaacACaaac：矩阵 的第 个行向量与列向量 的对应分量相乘与再相乘的相加得规到乘积的第 个分量；则AiCACiAC11 1122121 122221 122.nnnnmmmnna ca ca ca ca ca cacacac 相乘的条件矩阵 与列向量 能够是： 的列数等于 的行数。ACAC第28页/共107页29 (),B()ABAB 2 设, 与 相乘的乘积定义如定义下ijm nijn sAah111211112121222212221212Bnsnsmmmnnnns

14、aaabbbaaababAaaabbb111211112122211112111 (2)nnnkkkkkkskkknnnkkkkkkskkknnnmkkmkknkkskkka ba ba ba ba ba bDababa b 第29页/共107页301AB=ABm s(1,2,.,;1,2,., )B A 与 相乘所得的矩阵是矩阵，它的元由 的第 行与 的第 列的对应分量相乘再相加。nijikkjkCim jsijca b ABAB: ( ) (B)的列数必须等于矩阵 与 能相乘的，.数件的行条m nk lA 第30页/共107页3131230A=B=AB?BA?201-1 1 2，例， AB

15、无意义；30312936BA=-122011-10但第31页/共107页321212 A=(,.,) B= 2例,则nnbba aab AB=1212BA=(,.,)=nnbba aab ABBAABBA与是的矩不同型阵，显然。 1212(,.,)=nnbba aab 1 122(+.)nna ba ba b111212122212nnnnnnb ab ab ab ab ab ab ab ab a第32页/共107页33111-1A=B=-1- 3 1-11，则例111-100AB=-1-1-1100， 1-11122BA=-11-1-1-2-2，ABBA()一般结论：来说不满足交换律 ABA

16、B=0()与 为非与数零矩阵，却乘不同有AB=AC(A0)B=C()推不能消去律出不成立 ABBAABBA.与是同型矩阵，但 第33页/共107页34 2.矩阵乘法的性质 矩阵乘法符合下列规则： (i)结合律 (AB)C=A(BC) (ii)分配律 A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC (iii) k(AB)=(kA)B=A(kB) 其中A、B、C是使上述矩阵乘法有意义的矩阵。第34页/共107页35121211111221221122221122121211111221221122224 ,.,.,.,(3),.,例 设变量都是变量的线性函数而变量又是变量的线性函数mkkkkk

17、mmmmkkknnnz zzyyyza ya yayza ya yayzayayayyyyxxxyb xb xb xyb xb xb 11221212 (4 ,.,.,.)求变量与的函数关系nnkkkknnmnxyb xb xb xz zzxxx 第35页/共107页36111222 (3)(4)解： 令，则函数关系可表示为nkmxyzxyzXYZxyz ，ZAY ；YBX ()()(3)(4).其中：，分别为的系数矩阵ijm kijk nAaBb()(). ZA BXAB X1()kippjm npABab 第36页/共107页37称为n阶单位矩阵，简记E显然nmnnmAEAmnmnnBBE

18、n阶方阵nn00111nE单位矩阵：第37页/共107页38 对角矩阵其中 aij = 0, i jnn00nnaaa2211特别：称为数量矩阵nkEK00kkk第38页/共107页39结论：0000nnaaa2211nnbbb221100nnnnbababa22221111第39页/共107页40 只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：0()kkEk ，为正数AAAAA方阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：kkkBAABABABAB)()()(k个 (1) Ak Al = Ak+l (2) ( Ak )l= Akl (3) ( AB )k

19、 Ak Bk (A、B皆为方阵，k2)第40页/共107页41 当 为方阵时，称矩阵A1011( ).mmmmf Aa Aa AaAa E A为矩阵 的多项式，1011( ) ( ).也称是普通式当的值.mmmmf Af xa xa xaAxxa 第41页/共107页423. 阶矩阵乘积的行列式n| | 当 、 皆为 阶矩阵时,也是一个 阶矩阵,、的关系？ABnABnABAB| |.若 、方阵，、不存在，但注：不为可能存在ABABAB | |定理若 、 为 阶矩阵：，则ABnABAB1()()().证明:设,其中nijn nijn nijn nijikkjkAaAbABcca b 第42页/共

20、107页43|A|B|=1nijikkjkca b 111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbbbbbbbb (1)()(1)将第 列的倍加到列自己第化jkjjnbnkkn111211112121222212221212100000010000001000nnnnnnnnnnnnaaacccaaacccaaaccc 111212122212( 1)( 1)nnnnnnnn nccccccccc 第43页/共107页44| A 1 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m | 推广：第

21、44页/共107页45第三节 逆矩阵与矩阵的初等变换第45页/共107页46逆矩阵 一、逆矩阵的定义 除法对任意给定矩阵A、B，当A0时，是否有唯一的矩阵X使AX=B(或XA=B)成立？ 定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = E 则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。 显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。第46页/共107页47 定理1：若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B、C，则 B= BE = B(AC) = (BA)C =EC =CA的逆矩阵唯一，可记为A-1，即AA-1=E.(A-1)-1=A第47页/共

22、107页48矩阵1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A 的伴随矩阵定义设 A = (aij)nn , Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n );矩阵可逆的条件第48页/共107页49 ()| .2 0ijn nAaA矩阵可逆的充分必要条件是定理 证明：必要性-1 . .AAst设 是可逆矩阵，存在逆矩阵，11.A AAAE111| | | | 1A AAAAAE于是| 0.A 所以第49页/共107页50 充分性11121112112122212222122*1.nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAa

23、aaAAAAAMMAAA O*| 0(), ().11AAAAAAEAE由假设得同理可得成立 11211-1*1222212. .1.nnnnnnAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA于是， 可逆且其逆矩阵为 L111A O|.A E第50页/共107页51求逆矩阵的第一种方法：*1|1AAA方阵 A满足 |A |0时， 可逆矩阵也称为非奇异矩阵或者满秩矩阵第51页/共107页52112 3-11 2 3 A= -1 3-3B = 2 2 11 15 -113 4 3 B1.A已知，例求=0A,A解：因为| |故 无逆矩阵；1|B|=|2B|BB因为532222

24、22111 第52页/共107页53 推论：设A、B为n阶矩阵，若AB=E(或BA=E)成立，则B=A1. 证明：由AB=E知|A|B|=|E|=1，则| A|0，故A有逆矩阵A1, 但B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1 .第53页/共107页54定理3：若A、B均n阶可逆矩阵，则AB也可逆，且 (AB)1B1A111111211().mmmA AAA AALL证明： A、B均可逆， A1，B1存在且为n阶矩阵，因此 (AB)(B-1A-1) A(BB1)A1=AA1E (A)1=1A1 推论：若A1,A2,Am皆为n阶可逆矩阵，则乘积A1A2Am也是一个n阶可逆矩阵且第54页/共10

25、7页55定理4 设A是n阶可逆矩阵，那么对任意的B=Bnm(或者B=Bmn)，矩阵方程 AX=B(或者XA=B) 有唯一解X=A-1B(或者X=BA-1).证明：由于A可逆，用其逆矩阵A-1左乘方程AX=B的两端得A-1(AX)=A-1B=X，X=A-1B是方程的解。 若方程还有另一解C，即AC=B，则C=EC=(A-1A)C =A-1(AC)=A-1B.第55页/共107页5611 1122121 122221 122111,11211,1121. (). . . .| det().1.5(5).|nnnnnnnnnijjjnjna xa xa xa xa xa xna xa xa xAaa

26、aaaaAbbxbb克莱姆法则 元线性方程组当其系数行列式零时，存在定理不等于唯解一：2,12,121,1,12. . . . (1,.|2,., ).jjnnjjn jnnnnDbAbaaaaaaajn说明当|A|0时，方程组有唯一解：xj=把系数行列式|A|中第j 列的元素换成方程组的常数项所得的行列式(Dj)/系数行列式|A|Dj第56页/共107页57(5)AXb证明：首先方程组可表为矩阵形式，-11A0,XA=A=|bA bA由于| |知 是可逆矩阵，有唯一解11122111122112111122222222111222.1.|.1. . . . . .|.nnnnnnnnnnnn

27、nnnnb AAAAb Ab Ab Ab AbbAAAbAbAAAAAb Ab Ab A 比较等式两端第57页/共107页58Dj11122111122222112212.1. . . . . .|.X=nnnnnnnnnnb Ab Ab Ab Ab Ab AxxxAb Ab Ab AM比较等式两端得jx 11221(|.)|.jjnnjAb Ab Ab A1111,11,11212,12,121112,. . .1.|.jjnjjnnjnnnnn jaaaaaaaabbaaAaab (1,2,. ., ).|.jDAjn第58页/共107页59123412423412342 -5 8 -3

28、-69 2- 2-52 4-760.xxxxxxxxxxxxxx，例 解线性方程组2 1 -5 11 -3 0 -6 |2700 2 -1 21 4 -7 6A 解 因为系数行列式，.可用克莱姆法则求方程组的解11 -5 1-3 0 -681,2 -1 24 -89-57 60D 计算出2342-5 12 112 1 -510 -61 -3-61 -3 0-108,-2888999-7,27.0-1 20 220 2 -11-7 65-5-501 4601 4 -70DDD12341234,3,-4,-1,1| | | |DDDDx x x xAAAA方程组的解为第59页/共107页60第60

29、页/共107页61矩阵的初等变换 另一种求逆矩阵的方法 定义 对矩阵的行(列)施行下列三种变换都称为矩阵的初等行(列)变换： (1) 互换矩阵两行(列)的位置-(rirj); (2)用非0常数 乘矩阵的某行(列)-(ri); (3)将矩阵某行(列)的r倍加到矩阵的另一行(列)上-(ri+rj)第61页/共107页62 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。 AB表示A经初等变换得到B，则必可经同一种初等变换使B还原为A第62页/共107页63 初等矩阵： 对n阶单位矩阵E分别实施上述三种初等变换后，所得的矩阵称为初等矩阵。 相应的三种初等矩阵分别为：第63页/共107页64(1)

30、互换E的i,j两行(列)所得的矩阵ri rj110.111.011ijE第i行第j行i列j列第64页/共107页65(2) 乘E的第i行(列) 所得矩阵11( )11iiE00i行 i列第65页/共107页66(3) 将E的j行(i列)的r倍加到i行(j列)上去所得矩阵 11.( )11ijrEri行j行 j列 i列第66页/共107页67 ()()()().ijm nAaAmn对矩阵施行某一列，其结果等于对右一个相初等行应的 阶 阶变换左乘初引等矩阵理1112111121121212( )1. . 1 . . . . . . . 1 . . . . .1.ijnniiinjjjnnnnnE

31、r Aaaaaaaaaaraaaaaa： 仅以第三种初等行变换为例进证明行验证LLLLLLLLOOO11221212.ijijinjnjjjnnnnnaraaraaraaaaAaaa等式右端恰好为对 施行第三种初等行变换之结果LL第67页/共107页68 可以把矩阵的初等变换归结为左乘或用某些右乘初等矩阵该矩阵， 由于初等变换对应初等矩阵，而初等变换是可逆的，所以初等矩阵也可逆，且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵。1ijEijE1 ( )iikE1( )iikE1( )ijkE()ijkE第68页/共107页69 用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法：行12 ,mnAnAF FFAE相若

32、 是 阶可逆矩阵，必可经将 化成单位矩阵。这就用一系列初等矩一系列初等行变阵左乘 后得到单位矩阵即当于换，L21 . (1)mnFF F AEL-121 (2)nmFF FAE 由此式知L-1(1)(2)nnnAEAEEAA比较知，若对 和进行完全相同的一系列，则当初等行变换原化成化成单位矩阵时，单的逆矩阵位矩阵就：-1()().nnAEEA 初等行变换，第69页/共107页70-1()().nnAEEA 初变换行等，第70页/共107页71-10 1 2 1 A= 1 1 4A =?2 -1 0例，求(1)(2)1 1 4 0 1 00 1 2 1 0 02 -1 0 0 0 1换行互-2(

33、1)+(3)1 1 4 0 1 00 1 2 1 0 00 -3 -8 0 -2 1 行行-1(2)+(1)3(2)+(3)1 0 2 -1 1 00 1 2 1 0 00 0 -2 3 -2 1 行行行行1(3)+(1)1(3)+(2)1-(3)212 -1 14 -20 00 1 0=0 0131-1 -221 行行行行行-1( ,).E A-12 -1 14 -2 131-1 -22A0 1 2 1 0 0 ( ,)1 1 4 0 1 02 -1 0 0 0 1A E解：第71页/共107页722-1-2-311 .1. . . . .21.nnnanAaaaaaa求 阶矩阵的逆矩阵例

34、| 1,A 解 因： 为可逆；.a从最后一行起减去前一行的 倍，即可化成单位矩阵-11-1-1-1aAaaO O2-1-2-3111111. . . .1.1nnnaaaaaaa因此111-11-11-1aaaOO O第72页/共107页73同样，也可以利用初等列变换来求可逆矩阵的逆矩阵：AE定理：可逆矩阵必可表为若干个初等矩阵的乘积.-1EA 列初等变换-121nmFFEFAL21 .mnFF F AEL-1 -1-1-1-1-12112()mnmEAAFF FF FFLL第73页/共107页74 第四节 转置矩阵与一些重要方阵第74页/共107页752.4.1 转置矩阵 .设 是一个矩阵，

35、若将 的，所得到的矩阵称为 的转置矩阵，记为定义行顺序改成列AmnAnmAA 111212122212 nnmmmnaaaaaaAaaa 112111222212mmnnmnaaaaaaAaaa 如果分别用与表与 中第 行第 列处的元，则有ijijaaAAij (1,2,., ;1,2,.,).ijjiaain jm 第75页/共107页76转置矩阵满足下面的运算规律：( ) ()iAA ( ) ();iiABAB() () ()为数iiiAA ()() ABvBiA -1-1 A()()=(若 是可逆矩阵，则 AAv第76页/共107页77() ()ivABB A ()().(1)证： 证明

36、同型： 设,则ijm nijn sAaBb()于是为矩阵,也是矩阵。ABsmB Asm )2)(证明与对应相：元等ABB A ().用表中第 行第 列处的元，则中第 行第 列处的元应记为ijijcABijABijc 111 . (1,2,., ;1,2,.,)于是中第 行第 列处的元 nnnijjijkkjkikjiikkkkkcca ba bijin jmB Ab a () 故 ABB A 第77页/共107页78-1-1 (A ) =(A )至于：-1AA =E()由于和知ABB A -1(AA ) -1-1A(A )因此，() =-1(A ) A = ,E =E 第78页/共107页79

37、几个重要的方阵第79页/共107页801. 对称矩阵1 若实矩阵 满足条件，则定义称为对称矩阵。AAAA .由定义可知，对称矩阵为 阶方阵n (),( ,1,2,., )一个 阶矩阵是对称矩阵的充要条件是jiijjianAai jan 是一个实矩阵，则是一个 阶的对称矩阵：例如 BmnBBm ()()BBBBBB ,.设都是 阶对称矩阵，则都是对称矩阵，但一般对称矩阵不是A BnABAAB 第80页/共107页812. 反对称矩阵 2-若矩阵 满足条件，则 称为反对称阵定义矩。AAAA 充一要个 阶条矩阵件是反对称矩阵的是它的元满足条件：n- 0, . 0 反号， 对角线两侧对称的元，的元全为

38、 。 主对角线上jiijaijaij 0奇数阶反对称矩阵的行列式必为 ： -| | |-| (-1) |,有nAAAAAA| -| 0.当 为奇数时得到nAAA第81页/共107页823. 对角形矩阵123 形为的 阶矩阵称为对角形矩阵。定义nddDnd 12-1naaAa结论：0000nnaaa2211nnbbb221100nnnnbababa22221111-11-12-1naaa第82页/共107页834. 正交矩阵 4 若 阶实矩阵 满足，则 称为正交矩阵。定义nAA AEA 正交矩阵是可逆矩阵，并且具有下列性质：-1(1) 充分 阶矩阵 为正交矩阵的条件是必要nAAA (2) ()充

39、分必要阶矩阵是正交矩阵的条件是ijn nnAa 111, ( ,1,2,., )0, 1, ( ,1,2,., ) 0, 等式中有一个至少成立nikjkknkikjkija ai jnijija ai jnij ()1;()0.每行 列个元的平方和等于 不同行 列的对应元乘积之和等于n第83页/共107页84-1(3)AA =A为正交矩阵，则也是正交矩阵。 (4)AA1为正交矩阵，则 的行列式必为： (5)ABnAB(BA).若 、 均为 阶正交矩阵，则乘积也是正交矩阵：有限多个同阶正交矩阵的乘积仍推广是正交矩阵。A+B不是一般正交矩阵。| A|=1 第84页/共107页85第五节 分块矩阵第

40、85页/共107页861. 分块矩阵 1212和，nmaaAAAAABAba 水平直线和竖直一般地,对于任意一个矩阵 ,可以用若干条按某种需要把 划分成若干个行数与列数的矩阵,称为线较少子阵或子块。的mnAAA ()被划分了的矩阵 称为矩阵,此时矩阵 的元可能,而是一些小矩分块阵不数块再是的子AAA第86页/共107页873 4例如，把下列矩阵 分成四块：A 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111111221314则，aaaAAa21222322122431323334， 是矩阵 的子块，aaaaAaaaaAA 11111221221221222 2

41、 A. 而 可记为:以子块为元的分块矩阵，ijAAAAAAAAAAA 第87页/共107页882. 分块矩阵的运算可像普通矩阵一样进行运算分块时要矩阵注意的运算规则：(1)分块矩阵的加法：.的分块形式必须对 、 采用完全相同方块式的分ABAB 若,且与都是矩阵，则同型ijijijijl kl kijijl kAABBABABAB (),设 、 是两个矩阵型要到同矩阵得A Bm n 第88页/共107页89,ijijAB其中与的行数相同 列数相同 那末，11111111.rrsssrsrABABABABAB11111111,rrssrssrAABBABAABB 加法设A、B 都是mn矩阵，将A、

42、B按同样的方法进行适当分块，利用分块相加时，A、B的分法必须完全相同第89页/共107页90(2) 分块矩阵的数乘： ijijl kl kAAA1111.rssrAAAAA ,数乘分块矩阵对于数乘矩阵的所得之个子块矩阵每即第90页/共107页91(3) 分块矩阵的转置矩阵.A111rAA1srsAA则11,srAAArA11sA设 分块矩阵的转置矩阵是将 中子块构成的，然后再将每个子块转置即得转置矩行顺次改为列阵 。ijl kAAAA 第91页/共107页92112111121312222122232 313233 2：分块矩阵 例如AAAAAAAAAAAAAA ,例，矩阵按分如块行ijijm

43、 nm nAaBb1122，mmababABab 12.,， ，maaaA 111222，mmmabaabaabABAa 第92页/共107页93(4) 分块矩阵的乘法 矩阵 、 要能做出分块形式的乘积，不仅要求 的列数等于 的行数，而且还必须要求 关于的分块方式与 关于的分列行块方式要完全一致。ABABABAB1112112122221221. . ssllllssAAAmAAAmAmAAnnAn 1211112212122212.kkksssksnnnpppBBBBBBBBBB 第93页/共107页941111212222112122. .于是有，其中kklllkklCCCCCCCABCC

44、pmmCppm11221 . ( 1,2,.,1,2,., )，sijijijissjimmjmCA BA BA BA Bilqk 第94页/共107页95 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵（或分块对角矩阵）。120 . 00. 0. . . .00 .sAAAA准对角矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式第95页/共107页9611220 . 00 . 00. 00. 0. . . . . . .00 .00 .ssABABABAB则：11220.00.0.00.ssABABABAB11220.00.0.00.ssABA BABA B 对