北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题（数学理）word版

1、北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题 数学（理） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量，且，则实数的值为 （ ）A B C D 2.设集合，若，则实数的值为 ( )A B C D 3. 设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和等于 （ ）A B C D4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B C D

2、1 / 165.已知函数，设，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D.6.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A B C D AADABANAMAOACA7. 已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且.设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（ ） A BC D8.已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.O9.已知有

3、若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有 辆.主视图俯视图32222侧视图10某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11. 在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9,则实数的值为 . 12. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则

4、扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本题满分13分）在锐角中，分别为内角，所对的边，且满足（）求角的大小；（）若，且，求的值16. （本题满分13分）553232A如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的在一次

5、家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）（）求某个家庭得分为的概率？（）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品请问某个家庭获奖的概率为多少？（）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动在（）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望17. （本题满分13分）如图，在四棱锥中，平面平面底面为矩形， ，（）求证：；（）求二面角的大小.18. （本题满分13分）已知函数（，为正实数）.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函

6、数的最小值为，求的取值范围.19. （本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：；当时，与满足：当时，,；当时，.（）若，写出，并求数列的通项公式； （）在数列中，若(,且)，试用表示；（）在（）的条件下，设数列满足，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有. 参考答案 2012.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CBADBCBA二、填空题： 题号（9）（1

7、0）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（）因为， 所以， 2分因为，所以. 3分 又为锐角， 则. 5分（）由（）可知，因为， 根据余弦定理，得 ，7分整理，得 由已知 ，则 又，可得 ， 9分于是， 11分所以 13分（16）（本小题满分13分）解：（）记事件A：某个家庭得分情况为 所以某个家庭得分情况为的概率为 4分 （）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括 共3类情况 所以 所以某个家庭获奖的概率为 8分 （）由（）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以 ， ，. 11分 所以分布列为：012345 所以所以的数学期望为 13

8、分（17）（本小题满分13分）证明：（）因为平面平面， ，且面面， 所以平面. 又因为平面 所以 6分 （）由（）可知，. 在中， 所以， 所以平面. 即，, 所以为二面角的平面角 在中， ， 所以二面角的大小 13分法二：取的中点, 的中点 在中，为的中点，所以， 又因为平面平面，且平面平面 所以，平面显然，有 1分 如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则， 3分（）易知 因为， 所以 6分（）设为平面的一个法向量，则有， 即，所以 7分 显然，平面，所以为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量 9分 所以 ， 所以二面角的大小为 13分 （18）（

9、本小题满分13分）解：（）当时，则. 2分 所以.又，因此所求的切线方程为. 4分（）. 5分 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增. 6分 （2）当，即时，令，则（）， 所以. 因此，当时，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 10分（）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意. 11分 当时，由（）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是. 13分（19）（本小题满分14分）解: （）由题得过两点，直线的方程为. 1分 因为，所以，. 设椭圆方程为, 由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以,解得. 所以椭圆方程为. 5分（）易知直线的斜率存在,设直线的方程为， 6分 由消去，整理得. 7分 由题意知， 解得. 8分 设，则，. 9分又直线与椭圆相切， 由解得，所以. 10分 则. 所以. 又 所以，解得.经检验成立. 13分 所以直线的方程为. 14分（20）（本小题满分14分） （）解：因为，所以,.因为,所以,.因为,所以,.所以. 2分由此猜想，当时,，则，. 3分下面用数学归纳法证明：当时，已证成立. 假设当（，且）猜想成立， 即，. 当时，由， 得，则，. 综上所述，猜想成立.所以.故. 6分（）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立， 7分