恰当方程与积分因子

1、2.5 2.5 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuu dyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu定义定义1使得若有函数),(yxu( , )( , )( , )du x yP x y dxQ x y dy则称微分方程( , )( , )0,(1)P x y dxQ x y dy是恰当方程.),() 1 (cyxu的通解为此时如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程

2、.)(xyd32()d x yxy)()(ydygxdxfd1、恰当方程的定义、恰当方程的定义需考虑的问题1) 方程(1)是否为恰当方程?2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 2、方程为恰当方程的充要条件方程为恰当方程的充要条件定理定理1 1( , )( , ),P x yQ x yR设设函函数数和和在在一一个个矩矩形形区区域域中中连连续续且且有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数 则则方方程程( , )( , )0,(1)P x y dxQ x y dy为恰当方程的充要条件是( , )( , )(2)P x yQ x yyx( , )(

3、 , )0(1)P x y dxQ x y dy证明 “必要性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),(yxudyyudxxuyxdu),( , )( , )P x y dxQ x y dy故有( , ),uP x yx( , )uQ x yy从而2,Puyy x 2.Quxx y 从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故( , )( , ).P x yQ x yyx“充分性”( , )( , )P x yQ x yyx若若解这个方程得看作参数把出发从,)5(y满足则需构造函数),(yxu( , )( , )( , ),(4)du x yP x y dxQ x y dy即应满

4、足( , ),(5)uP x yx( , ),(6)uQ x yy( , )( , )( ).u x yP x y dxy,)(的任意可微函数是这里yyyu因此( )( , )(7)dyQP x y dxdyy(7),x下下面面证证明明的的右右端端与与 无无关关x即即对对 的的偏偏导导数数常常等等于于零零, ,事实上( , )QP x y dxxy( , )QP x y dxxxy( , ),(6)uQ x yy即同时满足使下面选择),6(),(uy( )( , )dyP x y dxydyQ( , )( , )( ).u x yP x y dxy( , )QP x y dxxyxQPxy.

5、0积分之得右端的确只含有于是,)7( ,y( )( , ),yQP x y dx dyy故( , )( , )u x yP x y dx( , ),QP x y dx dyy(8)( , ),(1)u x y即即存存在在 从从而而为为恰恰当当方方程程( )( , )(7)dyQP x y dxdyy注:若(1)为恰当方程,则其通解为( , )( , ),P x y dxQP x y dx dyccy为为任任常常数数二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1、不定积分法1)( , )( , )0.P x y dxQ x y dy判判断断是是否否为为恰恰当当方方程程若若是是进进入入下下一一步步2)(

6、, )( , )( )u x yP x y dxy求求3)( , )( ).uQ x yyy由由求求例例1 1 验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.解解: :( , ),( , )2sin .xP x yey Q x yxy这里( , )1P x yy所以故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu, yexux,sin2yxyu,xyeyx由由偏偏导导数数的的定定义义 只只要要将将看看作作常常数数 将将对对积积分分得得)()(),(ydxyeyxux).(yyxex( , ),Q x yx).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,

7、),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex 在判断微分方程是全微分方程以后，也可以在判断微分方程是全微分方程以后，也可以采用所谓采用所谓“分项组合分项组合”的方法来求解。先把那些的方法来求解。先把那些本身构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全本身构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分。这样需要熟记一些简单二元函数的全微分，微分。这样需要熟记一些简单二元函数的全微分，如如2、分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟

8、记一些简单二元函数的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例例2 2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解解:2223( , )36,( , )64M x yxxyN x yx yy这里( , )12M x yxyy所以故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故

9、通解为:34223,xyx ycc为为任任常常数数. .,),(xyxN例例3 3 验证方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解解:22( , )cos sin,( , )(1)M x yxxxyN x yyx这这里里yyxM),(故所给方程是恰当方程. 方程重新“分项组合”得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件, 2)0(y, 4c故所求的初值问题

10、的解为:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3、线积分法定理1 充分性的证明也可用如下方法:( , )( , ),P x yQ x yyx由由于于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:( , )( , )( , )P x y dxQ x y dyu x y为为某某函函数数的的全全微微分分使即有函数),(yxu( , )( , )( , ),du x yP x y dxQ x y dy(1)从从而而为为恰恰当当方方程程则取这时,),(,00Ryx00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x y dxQ x y dy00( ,)xx

11、P x y dx0( , ),yyQ x y dy从而(1)的通解为000( ,)( , ),xyxyP x y dxQ x y dycc为为任任常常数数. .例例4 4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解解:2( , )cos2,( , )sin2yyM x yyxxeN x yxx eyyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.,),(),(全平面上连续在由于yxNyxM则故取),0 , 0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2s

12、in2为任常数ccyexxyy故通解为:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM0122dyyxydxyxy解解 xNyyM21故为恰当（全微分）方程。 例例 根据公式，（选取) 1, 000yxCdyyydxyxyyx120012Cyyxxln2通解为练习练习 1 10 ) 1 (22yxydxxdyydyxdx0324 )2(23222dyyxyedxxeyxyxy0 ) 1 (22yxydxxdyydyxdx解解 方程可写为012121222xyxydydxd 显见，此为恰当

13、方程，积分之，得通解 22tan22xyyarcCx0324 )2(23222dyyxyedxxeyxyxy解解23232,4,22yxyeyxNxeyyxMxyxyxNexyyeyMxyxy22322故为恰当方程，根据（2.3.4）式得通解为Cdyyxyedxxyxyx020332402即 Cyexxy342三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10)(对一阶线性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰当方程.( ),P x dxe方方程程两两

14、边边同同乘乘以以得得, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则( )( )( )0P x dxP x dxd eyQ x edx或左边是恰当方程.可见,一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.( )( )( )P x dxP x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy1 1定义定义( , )0,x y如如果果存存在在连连续续可可微微函函数数使使得得( , ) ( , )( , ) ( , )0 x y P x y dxx y Q x y dy.) 1 (),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx例例5 5.,0)32()43()

15、,(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdxxyyyxyx解解: :对方程有( , ) ( , )x y P x y( , ) ( , )x y Q x y332243yxyx24332yxyx( , )( , )0,(1)P x y dxQ x y dy由于( , ) ( , )x y P x yy( , ) ( , )x y Q x yx222126yxyx( , )x y故故所所给给方方程程乘乘于于后后为为恰恰当当方方程程.),(是其积分因子所以yx后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)3

16、4()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:。ccyxyx为任常数,34232、积分因子的确定( , )( , )( , )0:x yP x y dxQ x y是是方方程程的的积积分分因因子子的的充充要要条条件件是是( , ) ( , )( , ) ( , )x y P x yx y Q x yyx即()PQQPxyyx()PQQPxyyx( , ),( , ),( , )( , )0.x yx yP x y dxQ x y dy上上面面方方程程是是以以为为未未知知函函数数的的偏偏微微分分方方程程要要想想从从

17、以以上上方方程程求求出出一一般般来来说说比比直直接接解解微微分分方方程程更更困困难难尽管如此,方程()PQQPxyyx还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.( , )( , )0( , )( ),P x y dxQ x yxx yx如如果果方方程程存存在在仅仅与与 有有关关的的积积分分因因子子则则0,y这这时时方方程程()PQQPxyyx变成()PQdyxdxQ()dPQQdxyx即,有关由于上式左侧仅与 x,的函数的微分所以上式右侧只能是x( , )( , )0P x y dxQ x yx从从而而微微分分方方程程有有一一个个仅仅依依赖赖于于 的的积积分分因因子子的的必必要要条条件件是是()(

18、10)PQyxQ此时求得积分因子()( )PQyxxQ这这里里,)()(dxxex( ),.xxy只只是是 的的函函数数而而与与 无无关关.),()10(无关而与的函数只是若yxx( )( ),x dxxe则则( , )( , )0P x y dxQ x y dy是是方方程程一一个个积积分分因因子子()( )PQyxxQ这这里里dxxd)( ) ( , )x Q x yx( )( , )( , )( )dxQN x yQ x yxdxx( )( , )( )x dxQ x y ex( , )( )Q x yxx( , )( , )() ( )P x yQ x yxyx( , )( )Q x y

19、xx( , )( )P x yxy( ) ( , )x P x yy)( , )( , )0 xP x y dxQ x y dy故 (是方程一个积分因子.3 3 定理定理 微分方程( , )( , )0,(1)P x y dxQ x yx有有一一个个仅仅依依赖赖于于 的的积积分分因因子子的的充充要要条条件件是是(),PQyxQ,(1)x仅仅与与 有有关关 这这时时的的积积分分因因子子为为,)()(dxxex()( )PQyxxQ这这里里,(1)y同同理理 微微分分方方程程有有一一个个仅仅依依赖赖于于 的的积积分分因因子子的的充充要要条条件件是是(),PQyxP,(1)y仅仅与与 有有关关 这这

20、时时的的积积分分因因子子为为,)()(dyyey()( ).PQyxyP这这里里例例6 6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解解:2( , )2,( , ),2xxyP x yyeQ x yye这这里里由于( , )P x yy( , )Q x yxxey2,xe故它不是恰当方程,又由于()PQyxQxxeyey1,yx与与 无无关关 故故方方程程有有一一个个仅仅与与 有有关关的的积积分分因因子子)(x( )1( )x dxdxxxeee( )xxe对对方方程程两两边边同同乘乘以以后后得得0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为.,2

21、22为任意常数ccyeeyxx 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.()( )1PQyxxQ例例7 7 求解方程21 ( )(0).dyxxydxyy 解解: : 方程改写为:22xdxydyxy dx或:22221()2d xyxy dx易看出,此方程有积分因子221( , )x yxy( , ):x y以以乘乘改改写写后后的的方方程程两两边边得得2222()2d xydxxy即2222()2d xydxxy,22dxy

22、xd故方程的通解为:22(xyxcc为为任任常常数数) )例例8 8 求解方程()0ydxyx dy解解: :,),(,),(xyyxNyyxM这里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰当方程,方法方法1:1:()2( )MNyxyMy 因因为为y仅仅与与 有有关关y故故方方程程有有一一个个仅仅依依赖赖于于的的积积分分因因子子2( )21( )dyy dyyyeey21:y乘乘方方程程两两边边得得20ydxxdydyyy即2110 xdxdydyyyy故方程的通解为:.lncyyx方法方法2:2: 方程改写为:ydxxdyydy 容易看出方程左侧有积分因子:22221111,yxxyxyy但但方方程程右右侧侧仅仅与与 有有关关21,y故故取取为为方方程程的的积积分分因因子子 由由此此得得2ydxxdydyyy 故方程的通解为:.lncyyx方法方法3:3: 方程改写为:1ydyyxydxxyx这是齐次方程,yux令令代代入入方方程程得得1duuxudxu即211ududxux故通解为:1lnlnuxcu变量