微分方程的求解技巧探究

1、微分方程的求解技巧探究【摘要】：微分方程理论的应用，不断促进着科学应用的发展。本 文通过介绍微分方程的基本概念，总结了些微分方程求解的技巧和 方法，最后通过实际事例阐述了解决不同类型微分方程的一些方法。【关键词】：微分方程求解技巧1. 引言微分方程是数学领域的一个重要分支，它大致与微积分概念同时 产生。通过对现实模型的表述、演绎、推导，分析产生了许多的微分 方程模型。诸如力学、天文学、几何学等领域无不有微分方程的存在, 在研究如今的社会科学中，如对人口发展模型、交通流模型等分析时 也需要对微分方程进行求解【1】。2. 微分方程的基本概念常微分方程就是含有单变量x,未知函数y及其某些阶导数的方

2、程。它的解通常分为通解、特解、全部解，初值问题的解等各种类型。若常微分方程中出现的最高阶导数的阶数为n,则称该方程为n 阶常微分方程，它的一般形式为：全部解是满足常微分方程的所有解得全体，它通常是由通解和不 能包含在通解中的所有特解组合而成。运用各种有效的方法对常微分进行求解，必须抓住不同形式的常 微分方程的特点，运用合理的解题技巧才能做到事半功倍。3. 微分方程的解题方法和技巧一、常微分方程应注意的问题。微分方程中含有未知函数及其导 数，与普通方程不同。普通方程的解是确定的若干常数，而微分方程 的解是一族函数。常微分方程中仅含有一个自变量，其解是一元函数 或。若自变量多于一个，则称为偏微分方

3、程。对于一般求得常微分方 程的通解后应该代入原方程式屮验证，看是否正确，如不正确，需找 出错误的原因所在。二、带有未知函数的变上、下限积分的方程称为积分方程，它通 常可以通过一次或多次求导化为微分方程求解。三、有时候微分方程的通解不能包含方程的全部解。这些解通常 是由于在解微分方程时两边消去某一函数造成，因而最后的通解屮会 丢失某些区域的解，遇到这种情况我们应该把这些丢失的解求出，才 能构成方程的通解。因此，需要注意到微分方程的通解和全部解不是 同一个概念。4. 微分方程解题技巧应用分析一、可分离变量的微分方程求解技巧可分离变量的微分方程是最简单也是最基本的微分方程。在解题 吋,应该注意到在分

4、离变量的同吋,经常在方程两边要同除以某一个 函数，此时常会遗漏该函数的某些特解，往往这些特解并不能从通解 中直接得到，因此需要及时补全；在解题中应做到合理运用变量代换, 根据具体问题尽量简化方程；在解题时不能像求定积分那样最后一步 将任意常数项加上去。可分离变量的微分方程的通用解题方法就是对 方程两边进行积分【4】。二、一阶线性微分方程求解技巧对于一节线性微分方程的求解我们必须了解其解得特点，对于不 同的形式采用不同的求解技巧。对于一阶其次线性微分方程利用可分 离变量的方法求解，对于一阶非齐次线性微分方程利用常数变易法求 解，一阶非齐次线性方程的通解就应该是齐次方程的通解和非齐次方 程的一个特

5、解之和。对于伯努利方程的求解，首先需要判断为伯努利 方程的类型，再利用变量代换把微分方程化为变量可分离的方程或已 知求解步骤的方程，这都是解微分方程的一般技巧。三、全微分方程求解技巧在求解一个微分方程的同时，我们需要判断该方程是何种类型的 微分方程。由于绝大多数一阶常微分方程是无法用初等积分法求出其 解得，只有少数常见几种几类方程才能用初等积分来求解，因此首先 判断所求微分方程的类型是很重耍的。在识别的时候，通常将y视为 函数，x视为自变量，按可分离变量、一阶线性、齐次、贝努力、全 微分的顺序判断，若方程还不是这五中基本类型，则可以将x视为函 数，y视为自变量在进行判断，之后再根据具体的微分方程类型进行 求解。全微分方程通常的解法就包括直接代入法，分项组合法和积分 因子法。四、特殊微分方程求解技巧解微分方程的时候主要是抓住每种类型的微分方程的特征，然后 通过适合特定微分方程的解法去进行求解，因此，面对微分方程的求 解，我们需要做到具体题型具体分析，针对不同的类型灵活应用各种 解题技巧和方法。参考文献：1胡东华