高数4.4几种特殊类型函数的积分

1、第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 第四章第四章 基本积分法基本积分法 : 直接积分法直接积分法 ; 换元积分法换元积分法 ;分部积分法分部积分法 初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分（见本节第一段）（见本节第一段）一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例本节内容本节内容: 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(有理函数的定义：有理函数的定义：假定分子与分母之间没有公因式假定分子与

2、分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1）利用多项式除法）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和一个真分式之和.例如，例如，我们可将我们可将1123 xxx.112 xx化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和kaxA)( 2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式;)(kqpxxBAx 2042 qpk，为正整数（

3、1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()( 为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系待定系数法数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,3

4、2 xBxA , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1)3)(2()2()3( xxxBxA)3)(2()23()( xxBAxBA2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxAAxCABxCA)2()(12.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2通分以后比较分子得：通分以后比较分子得： 1020ACABCA1, 1, 1 CBA)()(1112 xCxBxxA 我们也可以用我们也可以用赋值法赋值法来得到最简分式，比来得到最简分式，比如前面的如前面的例例2，两端去分母后得到，两端去分母后得到 :值代入特殊的x; 11Bx令.11)1(112 xxx2)

5、1(1 xx; 10Ax令; 12Cx令例例3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 求积分求积分 .2123dxxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.| 1|ln11|lnCxxx解：解： dxxxx2321例例2例例5 求积分求积分 解：解：.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(

6、21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例3dxxxx2151522154.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同变形方法同例例6, 并利用并利用 第三节第三节 例例9 . 例例6 求注意：注意：有理函数的积分就是对下列有理函数的积分就是对下列三类函数三类函数的积分：的积分：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA

7、;)()3(2nqpxxNMx 主要讨论（主要讨论（3）积分）积分, 1)1 n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab ,422pqa ,2MpNb 其中其中,222atqpxx , bMtNMx 并记并记令令tpx 2,42222pqpxqpxx , 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22第三节第三节 例例9结论：结论： 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx.d

8、4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构被积函数的结构寻求简便的方法. 例例7（补充题）（补充题） 求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题

9、技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁例例8 （补充题）（补充题） 求点击看点击看“常规解法常规解法”1d4xx第一步第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步第三步 分项积分 .此解法较繁此解法较繁 !按常规方法解按常规方法解:二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,

10、(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则2cos2sin2cos2sin2sin 22xxxxx这是因为2tan12tan22xx xcos2tan12tan122xx 22tan2tan 1tan2xxx2122tanuuxu 22112tanuuxu 2122tanuuxu 令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 例例9 （课本例（课本例5）求求.)cos1(sinsin1 dxxx

11、x解：解：令,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx duuuu 12212 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan2,2tanxu 则例例10（补充题）（补充题） 求.sin1cos dxxx解：解：22221211211uduuuuu dxxxsin1cosduuuu )1)(1()1(22 一直做下去，一定可以积出来，只是一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦太麻烦。 dxxxsin1cos xxdsin1)sin1(Cx )sin1ln( 由此可以看出，万能代换法不是最简方法，由此可以看出，万能

12、代换法不是最简方法，能不用尽量不用。能不用尽量不用。,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分.21d3xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例11（课本课本 例例7）求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根

13、指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例12 求（自学课本（自学课本 例例8）.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln例例13 求（自学课本（自学课本 例例9）本节小结本节小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单

14、无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , 简便计算简便计算 .简便简便 , 作业作业习题习题4-4 2，3，6，7思考与练习思考与练习1. 如何求下列积分更简便如何求下列积分更简便 ?)0(d1662axxax）（xxxcossind23）（解解: （1）23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln61（2） 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos2. 求xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222