高量3-表象理论

1、1 以上我们对有限维矢量空间的情况作了比较完整的讨论。以上我们对有限维矢量空间的情况作了比较完整的讨论。但是在量子力学中更多的是无穷维的矢量空间。这种空间中但是在量子力学中更多的是无穷维的矢量空间。这种空间中厄米算符大体上有两种：厄米算符大体上有两种：3.4 无穷维空间算符的情况（1 1）具有离散的本征值谱，其本征值是可数的无穷多个；）具有离散的本征值谱，其本征值是可数的无穷多个；（2 2）具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和）具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和 相应的本征矢量。相应的本征矢量。一、基矢的选择问题 对于这种厄米算符，只需把前面讨论内容加以推广，把对于这种厄

2、米算符，只需把前面讨论内容加以推广，把取和的上限推到无穷大，而不去仔细考虑由此带来的数学取和的上限推到无穷大，而不去仔细考虑由此带来的数学问题。问题。2), 2 , 1(|iiaiAi正交归一关系为正交归一关系为), 2 , 1,(|jijiij1|iii全部本征矢量全部本征矢量 构成空间的一组基矢，我们直接认为构成空间的一组基矢，我们直接认为这组基矢是完备的，即这组基矢是完备的，即| i完全性关系为完全性关系为1|1iii 是展开系数。是展开系数。| i 对于一个对易的厄米算符完备组对于一个对易的厄米算符完备组A, ,本征矢量用本征矢量用 表示，表示，满足满足i |3这就是所谓的收敛问题。这

3、就是所谓的收敛问题。 在一般情况下，基矢这样安排：当在一般情况下，基矢这样安排：当 i 增大时，增大时， 迅速迅速减小减小。否则按照公式。否则按照公式| i|11|iii12|ii归一化条件就很难满足了。归一化条件就很难满足了。二、连续本征值谱的情况 讨论一个无简并的厄米算符或一组对易厄米算符完备组讨论一个无简并的厄米算符或一组对易厄米算符完备组A. .由于其本征值是连续变化的，无法编号，只好用本征值本身由于其本征值是连续变化的，无法编号，只好用本征值本身来给本征值编号。本征值方程为来给本征值编号。本征值方程为aaaA|其中其中a 取某一区间内的全部实数，是一个连续的实变量。取某一区间内的全部

4、实数，是一个连续的实变量。41.1.连续本征函数的正交归一关系连续本征函数的正交归一关系 设任何归一化的矢量设任何归一化的矢量 都可以展开为这组都可以展开为这组 的的叠加（用积分表示）叠加（用积分表示）|a|d|aaa积分遍及本征值积分遍及本征值a的取值范围。的取值范围。上式实际上利用了完全性关系上式实际上利用了完全性关系1|daaa 可以认为是展开系数，即矢量可以认为是展开系数，即矢量 在基矢在基矢 上的分量。这是一个上的分量。这是一个a的连续函数，可以写出的连续函数，可以写出 ，其函，其函数形式取决于矢量数形式取决于矢量|a|a|)(a|)(|d|aaa5现在用本征左矢现在用本征左矢 作用

5、上式，有作用上式，有| aor)(| d| aaaaa)(|d|aaa)(| d) (aaaaa式中式中 是函数是函数 在在 那一点的函数值。那一点的函数值。)(a) (a aa 将其与将其与函数定义式函数定义式)()(d)(00 xfxxxxf比较，可见应有比较，可见应有函数Dirac) (| aaaa这是一个很重要的关系，对应于连续本征值谱的情况。这是一个很重要的关系，对应于连续本征值谱的情况。6而对于离散本征值谱的情况，其正交归一关系为而对于离散本征值谱的情况，其正交归一关系为函数Kroneckerjiij|可见，在连续情况下，本征值不同的两本征矢量仍可见，在连续情况下，本征值不同的两本

6、征矢量仍然是正交的。但所有本征矢量的模都是由然是正交的。但所有本征矢量的模都是由函数所函数所描写的无穷大。描写的无穷大。尽管如此，我们仍称之为归一化条件，只不过归一尽管如此，我们仍称之为归一化条件，只不过归一化为化为函数。函数。 由于由于 函数的存在，这些连续本征矢量自身的内函数的存在，这些连续本征矢量自身的内积将为积将为 ，但这种本征矢量同，但这种本征矢量同Hilbert空间中所有其空间中所有其它归一化矢量它归一化矢量 的的内积都是有限的内积都是有限的，因为，因为 |7|1在物理上，具有连续本征值谱的算符是绝对需要的，在物理上，具有连续本征值谱的算符是绝对需要的，因而归一化为因而归一化为函数

7、的本征函数也是必不可少的。函数的本征函数也是必不可少的。 为此我们把严格定义的为此我们把严格定义的Hilbert空间加以扩大，把空间加以扩大，把上述那些虽然本身的模并不有限，但与别的矢量的上述那些虽然本身的模并不有限，但与别的矢量的内积为有限这一类矢量包括进来。这样的空间称之内积为有限这一类矢量包括进来。这样的空间称之为物理的或扩大的为物理的或扩大的Hilbert空间。空间。2|aad|aaad82. 离散和连续本征值谱同时存在的情况 在本课中，我们约定，作一般讨论时，使用取和在本课中，我们约定，作一般讨论时，使用取和形式或积分形式随意，正确理解即可。形式或积分形式随意，正确理解即可。 在量子

8、力学中，还有这样的算符，它的本征值谱在量子力学中，还有这样的算符，它的本征值谱在一个区间是连续的，在另一个区间是离散的（如在一个区间是连续的，在另一个区间是离散的（如能量本征值谱）。这种情况下完全性关系是能量本征值谱）。这种情况下完全性关系是正交归一条件是正交归一条件是1|d|aaaaaiii0|),(| ,|aaaaaaaaiijji94 4 表象理论表象理论4.1 矢量和算符的矩阵表示矢量和算符的矩阵表示引言引言 在前面我们一直用符号在前面我们一直用符号 和和 表示矢量，表示矢量，A, B表示算符，用表示算符，用 一类公式表示算符与矢量之一类公式表示算符与矢量之间的关系。这种表示方法虽然简

9、洁、明确，适于理间的关系。这种表示方法虽然简洁、明确，适于理论推导，但是不够具体。论推导，但是不够具体。|A 在这一节我们讨论如何用一组数字来具体表示矢在这一节我们讨论如何用一组数字来具体表示矢量和算符。这种方法与在三维物理中取一组直角坐量和算符。这种方法与在三维物理中取一组直角坐标系，把各点的位置矢量用三个数字（标系，把各点的位置矢量用三个数字（x,y,z）表示）表示出来类似。出来类似。10一、表象的概念一、表象的概念 首先在矢量空间中选定一组基矢首先在矢量空间中选定一组基矢 或者简写或者简写为为 ，n是空间的维数，可以是无穷是空间的维数，可以是无穷大。在物理上总是取大。在物理上总是取n个有

10、物理意义的厄米算符构个有物理意义的厄米算符构成对易完备组成对易完备组K，用它们的共同本征矢量作为基矢：，用它们的共同本征矢量作为基矢：|inii, 2 , 1,|ikiKi| 在量子力学中，取定这样一组基矢称为取一个表在量子力学中，取定这样一组基矢称为取一个表象。这个表象就用算符完备组象。这个表象就用算符完备组K命名，称为命名，称为K表象。表象。 空间中任意矢量空间中任意矢量 （通常是归一化的）都可（通常是归一化的）都可以用这组基矢来展开，如以用这组基矢来展开，如| ,|11iii|式中式中 分别称为矢量分别称为矢量 在基在基 上的上的分量分量（标量，复数）（标量，复数）ji,| ,|ji|

11、,|而而 分别称为矢量分别称为矢量 在基矢在基矢 上的上的投影投影。jiji| ,|ji| ,| ,| 两个矢量的内积也可以用分量来表示：两个矢量的内积也可以用分量来表示：iiiiii*| 为了具体表示一个矢量为了具体表示一个矢量 ，指出它在选定的这，指出它在选定的这组基上的全部分量组基上的全部分量 就可以了。就可以了。|i|,|jjjjjjjj| ii,|iii12二、矢量和算符的矩阵表示二、矢量和算符的矩阵表示设设A是一个确定的算符，且是一个确定的算符，且|A用基矢用基矢 做内积，并利用完全性关系，有做内积，并利用完全性关系，有| jiijiiAiiAjj|其中其中 。已知算符。已知算符A

12、和矢量和矢量 ，就可，就可以算出以算出 。iAjAji| 实际上，实际上， 是算符是算符A在在K表象中的矩阵元。如果左表象中的矩阵元。如果左右矢及算符都写成矩阵的形式，即右矢及算符都写成矩阵的形式，即jiA13) 1 . 4(|2121nn)2 . 4()(|),(|*2*1*2*1nn)3 . 4(212222111211nnnnnnAAAAAAAAAA14则矢量的相加、数乘和内积，算符的相加和相乘以及则矢量的相加、数乘和内积，算符的相加和相乘以及算符对矢量的作用等所有的公式，都可以用具体的矩算符对矢量的作用等所有的公式，都可以用具体的矩阵表示出来，如阵表示出来，如Tnn)(|21*2*1)

13、4 . 4(|2121222211121121nnnnnnnnAAAAAAAAAA)5 . 4()()(|212222111211*2*1*2*1nnnnnnnnAAAAAAAAAA15对于两个算符的乘积对于两个算符的乘积C=AB, 有有iABjiCj|于是有于是有nnnnnnnnnnnnnnnnnnBBBBBBBBBAAAAAAAAACCCCCCCCC212222111211212222111211212222111211iBkkAjk|利用完备性关系，有利用完备性关系，有16 这样，通过矢量空间中建立基矢，找到了一种用矩这样，通过矢量空间中建立基矢，找到了一种用矩阵具体表示矢量、算符和它们

14、之间关系的一个方法。阵具体表示矢量、算符和它们之间关系的一个方法。有了这种方法，便于进行具体的运算和求出具体的结有了这种方法，便于进行具体的运算和求出具体的结果。特别是在果。特别是在科学研究中进行数值运算科学研究中进行数值运算时。时。*2*121|nn 此外，我们知道此外，我们知道 是一个算符，这个关系也是一个算符，这个关系也能写成矩阵的形式能写成矩阵的形式|*2*1*2*22*12*1*21*11nnnnnn174.2 表象变换表象变换 一个空间中有许多不同的基，因此矢量和算符有一个空间中有许多不同的基，因此矢量和算符有不同的表象。如果已知一个表象中矢量和算符的矩不同的表象。如果已知一个表象

15、中矢量和算符的矩阵表示，如何求它们在另一个表象中的表示？阵表示，如何求它们在另一个表象中的表示？一、矢量的表象变换一、矢量的表象变换设有两个表象设有两个表象|ini, 2 , 1,K表象表象:|L表象表象:完全性关系为完全性关系为1|, 1|iii18U: 表示表示LK的表象变换的表象变换两组基元之间的关系为两组基元之间的关系为1|iiiiiiiiiUU式中式中iiiiUU|1 是一个幺正矩阵的矩阵元，此矩阵的行按照是一个幺正矩阵的矩阵元，此矩阵的行按照的序号编号，列则按照的序号编号，列则按照 的序号编号；的序号编号； 是这个幺是这个幺正矩阵的逆矩阵元，其行列编号与正矩阵的逆矩阵元，其行列编号

16、与 U相反，它们满足相反，它们满足iUi|1iU19 注意：矩阵注意：矩阵U,U-1的行和列是按照不同的基编号的，的行和列是按照不同的基编号的，因此它与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有所因此它与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有所不同。不同。iiiijjiUUUU11,现在设现在设 在在K表象和表象和L表象中的矩阵表示分别为表象中的矩阵表示分别为|ii|即即|iiiiii表象变换就是由一组表象变换就是由一组 求求 或相反的过程。或相反的过程。i20设已知一组设已知一组 ，则，则iiii|即即iiiU1或写成矩阵的形式或写成矩阵的形式iiU1同样有相反的关系同样有相反的关系iiU以上两式就是矢

17、量的表象变换。以上两式就是矢量的表象变换。21二、算符的表象变换二、算符的表象变换设算符设算符A在在K与与L表象中的矩阵分别为表象中的矩阵分别为AAij,|,|AAAAjiij于是于是ijjjiiAA|即即ijjijiUAUA1右边是三个矩阵相乘。相反的关系是右边是三个矩阵相乘。相反的关系是1jiijUAUA 容易看出，表象变换虽改变矢量与算符矩阵表示，容易看出，表象变换虽改变矢量与算符矩阵表示，但不改变二矢量内积但不改变二矢量内积 以及以及 的数值。的数值。| A|22定义：设定义：设A是一个方阵，则是一个方阵，则A的迹定义为其对角元的迹定义为其对角元 之和，用之和，用trA表示表示4.3

18、若干矩阵运算若干矩阵运算迹的主要性质：迹的主要性质：一、矩阵的迹和行列式一、矩阵的迹和行列式1.矩阵的迹（矩阵的迹（trace）iiiAAtr)tr()tr(BAAB 定义：定义：A 的行列式是将矩阵的行列式是将矩阵A 的各元看成是一的各元看成是一 个行列式的相应各元时这个行列式的值，个行列式的相应各元时这个行列式的值， 用用detA表示。表示。2.行列式行列式23321原序321132则偶置换次置换2321123而奇置换次置换3nabcnNcbanabcAAAAA321detnabcNncbanabcAAAA321N是矩阵的阶。式中是矩阵的阶。式中 的定义为的定义为nabcnabc若abcn

19、是123N的偶置换若abcn是123N的奇置换其它情况110124nabcnNbanabcABABABAB)()()()det(21证2 1 ncbaNnbanabcnnbbaanabcBBBAAA2 1 detncbaNnbancbaBBBA 根据这个定义可知，取根据这个定义可知，取 N个属于不同行和列元素个属于不同行和列元素乘在一起并冠以适当的正负号，将所有可能的这种乘在一起并冠以适当的正负号，将所有可能的这种乘积加起来就是行列式的值。乘积加起来就是行列式的值。行列式最重要的性质：行列式最重要的性质：)det()det()det(BAABnabcanNnnnbbbbaaanabcBABAB

20、A2 1 2 1 detncbaNnbancbaBBBABA detdet将将 按照从小按照从小到大的次序置换排列，有到大的次序置换排列，有, , , cba25二、矩阵的相似变换二、矩阵的相似变换1. 定义：定义：方阵方阵A用幺正矩阵用幺正矩阵U所作的如下变换所作的如下变换AUUA1称为相似变换。称为相似变换。有两矩阵有两矩阵A,B，若有，若有U存在，使得存在，使得则称则称A,B相似。算符的表象变换就是相似变换。相似。算符的表象变换就是相似变换。AUUB12. 相似变换的性质：相似变换的性质：若若A,B二矩阵相似，则二矩阵相似，则BAtrtr)det()det(BA 26 由于算符的表象变换

21、是相似变换，我们定义：由于算符的表象变换是相似变换，我们定义： 一个算符一个算符A的迹和行列式为的迹和行列式为A在任何表象中的矩阵在任何表象中的矩阵的迹和行列式。的迹和行列式。3. 关于相似变换的一个定理关于相似变换的一个定理定理：任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际定理：任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际 上是幺正变换）成为对角矩阵。上是幺正变换）成为对角矩阵。证证设在设在 n维空间中取定一个确定的表象后，厄米维空间中取定一个确定的表象后，厄米 矩阵矩阵A便成为某一厄米算符便成为某一厄米算符A 的表示矩阵，而的表示矩阵，而 算符算符A肯定有肯定有 n 个互相正交的归一化本征矢量个互相正交的

22、归一化本征矢量 ), 2 , 1(|)(nii即即27,)()(2)(1)()2()2(2)2(1)2()1()1(2)1(1)1(nnnnnnn现在用这些来构造一个幺正矩阵现在用这些来构造一个幺正矩阵U。取取 ，即，即)(ijjiU)()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(1nnnnnnU这个幺正矩阵这个幺正矩阵U就可以把厄米算符就可以把厄米算符A对角化。对角化。28首先证明首先证明U是幺正矩阵。是幺正矩阵。由于由于 彼此正交，即彼此正交，即)(iijkjkikji)()*()()(|所以有所以有kkjikijUUUU)()(从而证明了从而证明了IUU同理可证明同理可证明IU

23、U所以所以U是幺正的，即是幺正的，即.1UUkjkik)()*(kkjkiUU*ij29 证明变换后的矩阵证明变换后的矩阵 是一对角矩阵，其对角元即是是一对角矩阵，其对角元即是A的本征值。若本征值的本征值。若本征值 是是m重简并的，则重简并的，则 在对角在对角元中出现元中出现m次。次。 AjajakljkllkiUAU*其次证明厄米矩阵其次证明厄米矩阵A经过经过U的变换后确是对角矩阵的变换后确是对角矩阵 实际上，在证明中所给的幺正矩阵实际上，在证明中所给的幺正矩阵U，正是由原来，正是由原来的表象变换到的表象变换到A表象的表象变换矩阵，而厄米算符在表象的表象变换矩阵，而厄米算符在自身表象中的表示

24、就是对角矩阵。自身表象中的表示就是对角矩阵。 )()()()(|jkjljlkljjjaAaA或但ijjkjkjikijaaA)()*(所以ijijAUUA1kjlkllikA)()*(304.4 连续本征值的情况连续本征值的情况一、完备性关系和矢量的表示一、完备性关系和矢量的表示 而对于表象基矢为连续分布的情况，只能作一些而对于表象基矢为连续分布的情况，只能作一些形式上的推广。形式上的推广。 设在无穷维空间中取设在无穷维空间中取K表象，而厄米算符（或完表象，而厄米算符（或完备组）备组）K具有在某一区间内的连续本征值谱，即具有在某一区间内的连续本征值谱，即kkkK|在这种情况下，仍取全部本征矢

25、量的完全性关系在这种情况下，仍取全部本征矢量的完全性关系Ikdkk| 对于无穷维空间，若表象基矢是离散的，只要把对于无穷维空间，若表象基矢是离散的，只要把上面讨论的公式中的取和上限推到无穷大就可以了。上面讨论的公式中的取和上限推到无穷大就可以了。以上对有限维空间的情况作了分析。以上对有限维空间的情况作了分析。31式中式中 仍称为矢量仍称为矢量 在基矢在基矢 上的分上的分量。这时它们是量。这时它们是k的连续复函数，称为的连续复函数，称为 在在k 表表象中的函数形式。函数形式与矢量本身是等价的。象中的函数形式。函数形式与矢量本身是等价的。例如，此二矢量的内积可以用函数形式表示出：例如，此二矢量的内

26、积可以用函数形式表示出：| ,| ,|)(),(kkk|此时，对空间任意矢量此时，对空间任意矢量 和和 ，有，有|dkkk)(|kdkkdkkk)(|kdkk|kdkkdkkk)()(*32二、算符的表示二、算符的表示算符算符A作用于作用于 上得出上得出|:|A 在在K表象中，我们希望找到与算符表象中，我们希望找到与算符A对应的，把对应的，把 直接变为直接变为 的办法。的办法。)(k)(k 用左矢用左矢 与上述两边作内积，并利用完备性关与上述两边作内积，并利用完备性关系，有系，有|k| d|kkkAkk即即d) () ,()(kkkkAk 可见，算符可见，算符A在在K表象中是变量表象中是变量

27、和和 的双变量的双变量函数，同离散的表象比较很类似。函数，同离散的表象比较很类似。k k33三、连续表象下矢量和算符的记法三、连续表象下矢量和算符的记法 连续表象下函数连续表象下函数 可理解为下标连续改变的可理解为下标连续改变的列矩阵列矩阵, 而而 可看成下标连续改变的方阵可看成下标连续改变的方阵, 即即)(k) ,(kkAkkk)(*)(kkk) ,(kkkkAAkkA34 这样就把离散表象和连续表象的记法做到了完全这样就把离散表象和连续表象的记法做到了完全的一一对应。的一一对应。 今后为书写方便，约定今后为书写方便，约定 和和 两种写法是完全两种写法是完全无区别而任意使用。这样当讨论表象变

28、换，且无区别而任意使用。这样当讨论表象变换，且K和和L中的一方或双方是连续表象时，讨论同样适用。中的一方或双方是连续表象时，讨论同样适用。i)(k而所有的运算都是矩阵的乘法。对于连续表象，原而所有的运算都是矩阵的乘法。对于连续表象，原来对来对i的取和改为对的取和改为对k的积分。的积分。355.1 空间的直和一、定义现在由此构造直和空间设矢量空间R1中的矢量是 ,算符是,| ,|,BA矢量空间R2中的矢量是 ,算符是,| ,|,ML5 5 矢量空间的直和与直积矢量空间的直和与直积空间的直和空间的直和 有时需要由两个已知的矢量空间有时需要由两个已知的矢量空间 和和 构造一个更构造一个更大的矢量空间

29、大的矢量空间R。这里我们讨论两种构造方法：。这里我们讨论两种构造方法：1R2R空间的直积空间的直积361. 矢量的直和矢量的直和 考虑一种考虑一种“双矢量双矢量”作为数学对象，即取作为数学对象，即取 空间空间中中的一个矢量与的一个矢量与 空间中一个矢量放在一起，记作空间中一个矢量放在一起，记作1R2R|,|分别称为矢量分别称为矢量 的直和或的直和或 的直和。的直和。| ,| ,|这一类矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。这一类矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。2. 直和空间直和空间定义这个空间中的三种运算定义这个空间中的三种运算1）加法）加法)|(|)|(|)|(|)|(|37在直和空间

30、中加法单位元（在直和空间中加法单位元（0矢量）为矢量）为)2()1(|OOO2）数乘）数乘aaa|)|(|3）内积）内积|)|)(|( 如果认定不同空间中矢量的内积为如果认定不同空间中矢量的内积为0，则上述定，则上述定义说明内积可按分配律来展开。义说明内积可按分配律来展开。 很容易证明上述定义满足矢量空间的很容易证明上述定义满足矢量空间的12个条件。个条件。于是构造出来了一个新的矢量空间于是构造出来了一个新的矢量空间R，并称之为，并称之为和和 的直和空间，表为的直和空间，表为1R2R21RRR383. 算符的直和算符的直和 用用 中的算符中的算符A,B, 和和 中的算符中的算符L,M, 去构去

31、构造直和空间中的算符造直和空间中的算符 ，称为，称为A, L两算符的直两算符的直和。其作用为和。其作用为1R2RLA|)|)(|(LALA 如果认定一个空间的算符作用到另一个空间的矢如果认定一个空间的算符作用到另一个空间的矢量时得量时得0矢量，则上式可按分配律来展开。矢量，则上式可按分配律来展开。算符的加法和乘法可以按照上述定义得出。算符的加法和乘法可以按照上述定义得出。)()()()(MLBAMBLALMABMBLA)(证明第二式。证明第二式。39LMABMBLA)(将其从左边作用于直和空间中任一矢量将其从左边作用于直和空间中任一矢量 上上|)|)(|)(MBLA)|()|)(MBLA|LM

32、AB)|)(|(LMAB)|(|)|(|LMAB一个空间的算符一个空间的算符作用到另一个空作用到另一个空间的矢量时得间的矢量时得0矢矢量量40二、直和空间的维数 设设 为为 维，维， 为为 维。维。1R2R1n2n现在，在现在，在 中取一组基矢中取一组基矢 ， K表象表象 在在 中取一组基矢中取一组基矢 ，P表象表象1R2R1, 2 , 1,|nii2, 2 , 1,|nmm那么直和空间中的任意矢量那么直和空间中的任意矢量 都可写成都可写成|mmmiii| 根据直和空间加法的定义，直和空间中任意两个根据直和空间加法的定义，直和空间中任意两个双矢量形式的矢量的叠加仍可写成双矢量的形式。双矢量形式

33、的矢量的叠加仍可写成双矢量的形式。41注意：不能写为 的形式，否 则没法表示只有一个空间基矢的 情况。|mi若取直和空间的基矢为若取直和空间的基矢为21)1()2(, 2 , 1, 2 , 1|0| ,0|nmnimi则任意矢量则任意矢量 都可以写成上述都可以写成上述 个基矢个基矢的叠加，于是得出，直和空间的维数是两个空间维的叠加，于是得出，直和空间的维数是两个空间维数之和，即数之和，即|21nn 21nnn42取取 为为3维，基矢为维，基矢为2R若取若取 为为2维，基矢为维，基矢为1R| ,|21| ,| ,|321这时直和空间为这时直和空间为5维，其基矢为维，其基矢为32121|0| ,|

34、0| ,|0| ,0| ,0|这里省去了零矢量的空间编号。这里省去了零矢量的空间编号。 在直和空间中，以上述基矢组为基矢的表象可以在直和空间中，以上述基矢组为基矢的表象可以称为称为KP表象或表象或 表象。因为它们是算符表象。因为它们是算符 的的本征矢量。容易证明其正交归一性。本征矢量。容易证明其正交归一性。PK PK 43如双态模型中波函数的表示：如双态模型中波函数的表示：不同电子态的波函数所取格不同电子态的波函数所取格点基矢的维数不一样点基矢的维数不一样二、矢量和算符的矩阵表示 1. 设在设在 和和 空间中，空间中， 和和 的矩阵为（分别为的矩阵为（分别为K和和P表象）表象）1R2R|321

35、21|,|式中式中.|,|mmii而在直和空间中，矢量而在直和空间中，矢量 的的KP表象的矩阵表象的矩阵形式为形式为|32121.|442. 算符的矩阵形式也可以同样讨论。算符的矩阵形式也可以同样讨论。在在 中，算符中，算符A, L的矩阵形式分别为的矩阵形式分别为21,RR33323123222113121122211211,LLLLLLLLLLAAAAA在直和空间中，算符在直和空间中，算符 的矩阵形式成为的矩阵形式成为LALOOALA|上式中，上式中，nmmnjiijLLAA|,|33323123222113121122211211000000000000LLLLLLLLLAAAA45有时在

36、直和空间中说算符有时在直和空间中说算符A，实际上是指，实际上是指.)2(OA 若若R1,R2是大空间的两子空间是大空间的两子空间，则只有当，则只有当R1,R2除除外不含公共矢量时才可以谈二者的直和外不含公共矢量时才可以谈二者的直和. 这是因为大这是因为大空间的加法适用于所有矢量。空间的加法适用于所有矢量。0| 从从R1,R2中各取一矢量构成的双矢量中各取一矢量构成的双矢量 与二与二者之和者之和 是等价的，是等价的，“ ”可以写成可以写成“+”。| 直和空间不只包含直和空间不只包含R1,R2中所有矢量，比如中所有矢量，比如3D空间空间中，若中，若R1是是xy平面矢量，平面矢量，R2是沿是沿z轴矢

37、量，则轴矢量，则 包含包含3D空间中的全部矢量。空间中的全部矢量。21RR 由于算符在整个大空间都有定义，所以一切算符在由于算符在整个大空间都有定义，所以一切算符在R1,R2中是通用的。这时没有算符直和这一概念。中是通用的。这时没有算符直和这一概念。465.2 空间的直积一、直积空间的概念1. 直积：直积： 是由两个已知空间是由两个已知空间构造一个较大空间的另一种方法。构造一个较大空间的另一种方法。,| ,|:,| ,|:21RR的直积可以写成的直积可以写成| ,|“ ”在很多情况下可以省略。在很多情况下可以省略。472. 直积空间：直积空间： 直积空间中的数学对象也是双矢量及其叠加。双直积空

38、间中的数学对象也是双矢量及其叠加。双矢量也是从矢量也是从 中各取一个矢量不计次序放在一起。中各取一个矢量不计次序放在一起。21,RR与直和空间的区别在于三种运算规则不同。与直和空间的区别在于三种运算规则不同。直积空间直积空间 中运算规则如下中运算规则如下21RR 1）加法：）加法： 是一个新矢量，一般不能表是一个新矢量，一般不能表为双矢量的形式。这与直和空间的加法不同。为双矢量的形式。这与直和空间的加法不同。|加法的单位元是加法的单位元是)2()1(0|0|0|直和空间中任意两个双直和空间中任意两个双矢量形式的矢量的叠加矢量形式的矢量的叠加仍可写成双矢量的形式。仍可写成双矢量的形式。)|(|)

39、|(|)|(|)|(|48另有直积分配律另有直积分配律2）数乘：）数乘：)(| )(|aaa3）内积：）内积：|)|)(|(| )|(| 上式坐标的上式坐标的“+”是是 中的加法，右边的中的加法，右边的“+”是直积空间的加法。这与就构成了新的矢量空间是直积空间的加法。这与就构成了新的矢量空间,称为称为 的直积空间。的直积空间。21,RR1R49二、直积空间中的算符1. 定义：定义：设设 中的算符为中的算符为A,B, ，1R|)|)(|(LALA2. 运算规则：运算规则：LMABMBLALBLALBA)()(上式第二式中两个上式第二式中两个“( )”没有写符号，是因为直积没有写符号，是因为直积空

40、间内部的算符乘法。空间内部的算符乘法。中的算符为中的算符为L,M, ，2R那么直积空间的算符为那么直积空间的算符为 其定义为其定义为 ,LA50LILIAA)1()2(且且LIIALA)1 ()2( 有时在直积空间中也说算符有时在直积空间中也说算符A或或L，这时并不是指，这时并不是指 或或 中的算符。此时中的算符。此时2R1R上式左方的上式左方的“+”仍是直积空间的仍是直积空间的“+”，因为，因为A( ( 中中) )和和L( ( 中中) )是没有加法的。是没有加法的。1R2R51三、直积空间中的表象KP表象1. 定义：定义：在在 中取中取K表象，基矢是表象，基矢是 ，1R|i在在 中取中取P表

41、象，基矢为表象，基矢为 ,2R|m则则 中的任意矢量中的任意矢量 和和 中的任意矢量中的任意矢量 可可以写成以写成1R|2R|,|,|mmmmmiiiii这时这时|imimimE)(|imimmi)|(|52|imimimE)(|可见，若在直积空间中取全部形如可见，若在直积空间中取全部形如 的矢的矢量为基矢，则可以叠加出所有的矢量。这些基矢是量为基矢，则可以叠加出所有的矢量。这些基矢是用两个下标用两个下标i和和m编号的：编号的：mi|mimiimE| 若若 空间是空间是 维的，维的， 空间是空间是 维的，则维的，则 共共有有 个。个。1R2R1n2nimE|21nn 注意注意 正是直积算符正是

42、直积算符 的本征矢量，的本征矢量，所以所以 为基矢的表象是为基矢的表象是 表象或简称表象或简称KP表象。表象。miimE|PK imE|PK 53比如同时处理振动和平动的波函数比如同时处理振动和平动的波函数取取n1=2,n2=3,则则KP表象中表象中 的矩阵形式为的矩阵形式为|32121|2. KP表象中矢量和算符直积的矩阵形式表象中矢量和算符直积的矩阵形式1） 矢量的直积矢量的直积32221231211154 比如直积算符比如直积算符 矩阵的第矩阵的第1.3行第行第2.1列的元是列的元是 ，写成矩阵是，写成矩阵是LA3112LA2） 算符的直积算符的直积在在KP表象中的矩阵形式是表象中的矩阵

43、形式是LAmnijnjmijnimLALALA| )( |)(,33323123222113121122211211LLLLLLLLLAAAALA332232223122332132213121232222222122232122212121132212221122132112211121331232123112331132113111231222122112231122112111131212121112131112111111LALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALA55或写成一种便于记忆

44、的方式或写成一种便于记忆的方式LALALALALA22211211同样，矢量的直积也可写成同样，矢量的直积也可写成21|在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积。在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积。 以上对两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也以上对两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也可以用同样方法讨论两个以上空间的直积。可以用同样方法讨论两个以上空间的直积。566 6 量子力学的基本原理量子力学的基本原理6.1 引言引言量子力学：是研究微观粒子系统运动规律的科学。量子力学：是研究微观粒子系统运动规律的科学。两种解释两种解释狭义的量子力学：狭义的量子力学： 研究对象是低能的，无衰变

45、研究对象是低能的，无衰变(即长寿命即长寿命)的粒子以的粒子以及这样的粒子所构成的系统及这样的粒子所构成的系统, 理论是非相对论的。理论是非相对论的。第二章第二章 量子力学的理论结构量子力学的理论结构但是由于目前相关实验手段极为精细但是由于目前相关实验手段极为精细, 测量十分准测量十分准确确, 理论在不少情况下需要考虑相对论的微小影响。理论在不少情况下需要考虑相对论的微小影响。57广义的量子力学：广义的量子力学： 能量可以很高，粒子可以产生、湮灭和互相转能量可以很高，粒子可以产生、湮灭和互相转化。系统的粒子数可以不守恒。这时研究对象是化。系统的粒子数可以不守恒。这时研究对象是无穷多自由度的场。这

46、一领域常称为量子场论。无穷多自由度的场。这一领域常称为量子场论。 本课程只讨论狭义的量子力学，并采用公理化本课程只讨论狭义的量子力学，并采用公理化的理论体系，将量子力学的出发点归纳为五个基的理论体系，将量子力学的出发点归纳为五个基本原理。在此基础上建立量子力学的理论体系。本原理。在此基础上建立量子力学的理论体系。586.2 基本原理基本原理一、原理一、原理1： 描写微观系统的状态的数学量是描写微观系统的状态的数学量是Hilbert空间中的空间中的矢量。相差复数因子的两个矢量描写同一状态。矢量。相差复数因子的两个矢量描写同一状态。 我们用归一化的右矢我们用归一化的右矢 或左矢或左矢 描写系统的描

47、写系统的状态状态, 称此态为状态称此态为状态 ，而矢量，而矢量 或或 称为态矢称为态矢量。与此相应，这个量。与此相应，这个Hilbert空间称为态空间。空间称为态空间。|二、原理二、原理2：（1）描写微观系统的状态的物理量是）描写微观系统的状态的物理量是Hilbert空间空间 中的算符；中的算符；59（2）物理量所能取的值是相应算符的本征值；）物理量所能取的值是相应算符的本征值；（3）物理量）物理量A在状态在状态 中取各值中取各值 的概率，与态的概率，与态 矢量矢量 按按A的归一化本征矢量的归一化本征矢量 的展开的展开 式中式中 的系数的复平方成正比，即与下式的系数的复平方成正比，即与下式 中

48、中 的复平方成正比：的复平方成正比：|ia|iaia|ic|,|iiiiiacca 如果本征值如果本征值 有简并，即有几个相互正交的本征有简并，即有几个相互正交的本征矢量与之对应，则物理量矢量与之对应，则物理量A取值取值 的概率与这几个的概率与这几个本征矢量的系数的复平方和成正比。本征矢量的系数的复平方和成正比。iaia60 原理原理2表明，量子力学所掌握的关于微观系统的规表明，量子力学所掌握的关于微观系统的规律是一种统计规律。它只能告诉我们，在某一时刻，律是一种统计规律。它只能告诉我们，在某一时刻，一个微观系统的各物理量取不同值的概率一个微观系统的各物理量取不同值的概率. 至于为何至于为何不

49、能取确定值，一般有两种解释：不能取确定值，一般有两种解释：（1）本来有确定值，但还没有掌握方法；）本来有确定值，但还没有掌握方法；由原理由原理1、2所给出的结论：所给出的结论：（1）一个厄米算符）一个厄米算符A的本征矢量的本征矢量 所描写的状态所描写的状态称为这一算符的本征态。在一个物理量称为这一算符的本征态。在一个物理量A 的本征态的本征态 中，中，A取取 值的概率为值的概率为1，取其它值的概率为，取其它值的概率为0. ia|ia|ia（2）根本就没有确定值，按统计规律取值是微观）根本就没有确定值，按统计规律取值是微观 系统的根本特点。系统的根本特点。61所以一个物理量在自己本征态中的取值是

50、确定的，所以一个物理量在自己本征态中的取值是确定的，即相应的本征值。即相应的本征值。（2）既然在一个状态）既然在一个状态 中，物理量中，物理量A取各值有确取各值有确定的概率，那么就可以求出定的概率，那么就可以求出A在这一态中的平均值，在这一态中的平均值，用用 或或 表示，有时也叫期望值：表示，有时也叫期望值： | AAiiiiicacA22|注意：如无特别说明，所有矢量都是归一化的，即注意：如无特别说明，所有矢量都是归一化的，即1|2iiciiiiaaa| AiiiaaA|1|iiiiaaa622px其中其中: 表示测量涨落表示测量涨落三、原理三、原理3：ijjijijiiPXPPXX, 0,

51、 0,而不同粒子间的所有算符均相互对易。而不同粒子间的所有算符均相互对易。 微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符 与相应的正则动量算符与相应的正则动量算符 有下列对易关系有下列对易关系)3 , 2 , 1( iiXiP 物理量所对应的算符，两两之间有些是不可对易物理量所对应的算符，两两之间有些是不可对易的，这一点是量子力学的特点。的，这一点是量子力学的特点。 对易关系中普朗克常量的出现导致某些物理量，对易关系中普朗克常量的出现导致某些物理量，如轨道角动量及束缚态哈密顿的对角化，即只能取如轨道角动量及束缚态哈密顿的对角化，即只能取某些离散的数值。某些离

52、散的数值。63,),(,),(iiiiqpqHtpppqHtqdddd中，当正则坐标中，当正则坐标 取直角坐标取直角坐标 x,y,z 时时, 与经典正则动与经典正则动量量 相对应的算符。相对应的算符。ipiq 在经典力学中，在经典力学中， 是最基本的量，其余物理量都是最基本的量，其余物理量都是它们的函数。是它们的函数。iipq , 原理原理 3 中所说在直角坐标下的正则动量算符，是指中所说在直角坐标下的正则动量算符，是指在粒子的经典哈密顿正则方程在粒子的经典哈密顿正则方程64 在量子力学中也是这样。位置在量子力学中也是这样。位置 和（正则）动量和（正则）动量 是最基本的算符。其余有经典对应的物

53、理量，其算符是最基本的算符。其余有经典对应的物理量，其算符也是表为也是表为 和和 的函数，其函数关系与经典关系相同。的函数，其函数关系与经典关系相同。而这些物理量之间的对易关系，都可以从而这些物理量之间的对易关系，都可以从 间的基间的基本对易关系式推出。本对易关系式推出。iXiPiPiXiiPX ,四、原理四、原理4： 微观系统的状态微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定谔随时间的变化规律是薛定谔方程方程)(|t)(|)(|tHtti式中式中 是系统的哈密顿算符。是系统的哈密顿算符。),(tPXHH 65 系统的哈密顿算符是系统的哈密顿算符是X、P的函数，有时还是的函数，有时还是 t 的函的函

54、数，其函数形式与经典哈密顿相同，数，其函数形式与经典哈密顿相同， 即取决于系统本即取决于系统本身的情况和系统所处外部环境的情况。身的情况和系统所处外部环境的情况。本身情况：系统中的粒子数、各粒子的质量、电荷本身情况：系统中的粒子数、各粒子的质量、电荷 以及粒子之间的相互作用；以及粒子之间的相互作用；外部环境：粒子所在的外部电磁场等；若电磁场是随外部环境：粒子所在的外部电磁场等；若电磁场是随 时间变化的，则哈密顿明显地包含时间。时间变化的，则哈密顿明显地包含时间。 一般地说，如果我们所研究的系统只是一个更大的一般地说，如果我们所研究的系统只是一个更大的系统的一部分，在这个系统和更大系统的其余部分之系统的一部分，在这个系统和更大系统的其余部分之间存在着能量交换，则所研究的这