二次函数中寻找等腰三角形问题

1、二次函数中寻找等腰三角形问题1 .如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形 ABCD的边AB在x轴上，且 AB=3 BC=2.3 , 直线y=.,3x 2 3经过点C,交y轴于点G,且/ AGO=30 。(1)点C D的坐标 求顶点在直线y= 3x 2.,3上且经过点 C D的抛物线的解析式; 将 中的抛物线沿直线 y= 3x 2 3平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点 E。平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。3.已知两直线l 1, l 2分别经过点A (1, 0),点B (-3, 0),并且当两直线同时相交于 y正半轴的

2、点C时，恰好有丨1丄丨2，经过点 A B C的抛物线的对称轴与直线 丨2交于点 K如图所示.(1) 求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；(2) 抛物线的对称轴被直线 丨1、抛物线、直线l 2和x轴依次截得三条线段，问这三条 线段有何数量关系？请说明理由；(3) 当直线12绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为 M请找出使厶MCK为等腰三角 形的点M简述理由，并写出点 M的坐标：4 .如图，已知二次函数的图象经过点A ( 3, 3)、B (4, 0)和原点O. P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为 D( m 0),并与直线 OA交于点C.(1) 求出二次函数的解析式；(2)

3、 当点P在直线OA的上方时，用含 m的代数式表示线段 PC的长，并求线段PC的最大值；(3) 当m> 0时，探索是否存在点 P,使得 PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由.5.已知抛物线y = ax2+ bx + c (a>0)的图象经过点 B( 14,0 )和C (0, 8),对称轴 为 x = 4.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 点D在线段AB上且AD= AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从 C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ被直线CD垂直平分？若存在，请

4、求出此时的时间t (秒)和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的结论下，直线 x= 1上是否存在点 M使厶MPQ为等腰三角形？若存在，_ 26.在平面直角坐标系中，二次函数y ax bx 2的图象与x轴交于A (- 3, 0), B(1, 0)两点，与y轴交于点C.(1) 求这个二次函数的关系解析式；(2) 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点只使厶ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3) 在平面直角坐标系中，是否存在点Q使厶BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？右存在，直接写出点 Q的坐标；右不存在，说明理由;7 如图所示，已知抛物线的顶

5、点为坐标原点O,矩形ABCD勺顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2，1 )，点P (a， b)在抛物线上运动.(点P异于点O(1) 求此抛物线的解析式.(2) 过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R, 求证：PF=PR 是否存在点P,使得 PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 延长PF交抛物线于另一点 Q,过Q作BC所在直线的垂线，垂足为 S,试判断 RSF的形状.CFBOE 、AX/DF八8.在平面直角坐标系 xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上,C三点的抛物线解析式；（2）

6、现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中/ EDF=90，/ DEF=60 ）,把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点 C.此时，EF所 在直线与（1 ）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x当x为何值时， OCOA OBC 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使APEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.9.如图 1,在 Rt AOB中，/ AOB=90 , AO=8j3，/ ABO=30 .动点 P 在线段 AB上从点A向终点B以每秒2 3个单位的速度运动， 设运动时间为t秒.在直线0B上取两点M N作等边

7、PMN(1) 求当等边厶PMN的顶点M运动到与点0重合时t的值.(2) 求等边 PMN的边长(用t的代数式表示)；(3) 如果取0B的中点D,以0D为边在Rt AOB内部作如图2所示的矩形 ODCE点C 在线段AB上.设等边厶PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为 S,请求出当0< t < 2秒时 S与t的函数关系式，并求出 S的最大值.(4) 在(3)中，设PN与EC的交点为R,是否存在点 农使厶ODF是等腰三角形？若图21 210 .如图，已知抛物线yx2bxc与y轴相交于C,与x轴相交于AB,点A的2坐标为(2, 0),点C的坐标为(0, -1 ).(1) 求抛物线的解析式；(

8、2) 点E是线段AC上一动点，过点 E作DEI x轴于点D,连结DC,当厶DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3) 在直线BC上是否存在一点 巳使厶ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1.【解析】（1）根据题意可得点 C的纵坐标为3,代入直线解析式可得岀点C的横坐标，继而也可得岀点D的坐标；（2）由题意可得点 C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得岀抛物线的对称轴为，再由抛物线的顶点在直线，可得出顶点坐标为（），设出顶点式，代入点 C的坐标即可得出答案.（3 ）分EF=EG GF=EG GF=EF三种情况分析。解：C（4，），D（1，）；顶点（），

9、解析式；EF=EGGF=EGGF=EF3.解：由勾股定理，得（ oC+oB）+（ oC+oA）=b6+aC=aB，又 0B=3 OA=1, AB=4, °C =曲，.点 C的坐标是 2' 闪由题意可设抛物线的函数解析式为y=a （x- 1） （x+3），把C （0，、彳）代入fl =，函数解析式得3y =- 仪 1 /广上丰3丿所以，抛物线的函数解析式为3（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF理由如下：可求得直麓1】的解析式再y =+ 直建1：的解析式丸y二乜；抛韧無的对称轴为直线EU由此可求得豈K的坐标酋（7 洛）, 点D的坐标为（-1,坯），点E的坐标为（-1,

10、点F的坐标肯【70）KD=DE=EF.屮C -（ - It （3）当点M的坐标分别为时， MCK为等腰三角形.M的坐标为（-2PC=P CD= m+3m,=-（i ）连接BK交抛物线于点 G,易知点G的坐标为（-2,又点C的坐标为（0, 可求得 AB=BK=4且/ ABK=60，即 ABK为正三角形, CGK为正三角形当12与抛物线交于点 G,即12 / AB时，符合题意，此时点2x3（ii ）连接CD由KD=h, CK=CG=2 / CKD=30，易知 KDC为等腰三角形,当12过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（-1,）,（iii ）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点 M与点A重

11、合时，满足 CM=CK但点A C K在同一直线上，不能构成三角形，宀（-2, J3）, （ -1,埠）综上所述，当点 M的坐标分别为' 时， MCK为等腰三角形.4. （1）设 y=ax （x- 4）,把 A点坐标（3, 3）代入得：a=- 1,函数的解析式为 y= - x2+4x,(2) 0<3,（3）P 的坐标是（3- . :, 1+2.）或（3+ 】:,1-2敖|）或（5, - 5 ）或（4, 0）.12分（3）简单解答过程如下:当 Ov m< 3 时，仅有 OC=PC.厂-,，解得；'， W.|当 m>3 时，PC=CD- PD=m 3m OC颌口，由

12、勾股定理得： Op=oD+Dp=m+m ( m- 4) 2, 当 OC=PC寸，-.,解得： 当 OC=O时，一 -''.T- 1解得：m=5, m=3 (舍去)，二 P ( 5, - 5)； 当 PC=OP寸，m2 (m- 3) 2=m2+m2 ( m- 4) 2,解得：m=4 二 P ( 4, 0),存在 P 的坐标是（3- . :, 1+2. 一：）或（3+ 二，1-2 .二）或（5, - 5）或（4, 0）.（2）存在，理由如下:-X1-垂直平分 珀'.'AD-ACt -'-ZADC = ACD,' dCCL0?在取曲C 中，dC= 70

13、 +CC2- -10> AP=1Q.又肌尸&，：QDN,卩卫在寸称轴上 根据对称性可知ALFDi Z.A8DQ* &Q为EC的中在RtABOC中，胆"X 4朋=2屈，二笑二届，TD、Q为ABr M的中点，-'.型=*卫52DFQMDQF、-皿=匹=门4尸二jW-M：工=罕=亍二卩=字=寧，4(d)设F陋=./l +ir -D)=血 yj五 +0 X) = & 斗卩+刃,尸鸟=M1° 当F0FH时，诈&+3二±2逅，二M(l,20-2西)2胪 当 F4QM时，勒5土 & 十旳卄比，j = Y±2T, /

14、. M (lT-4-F2jT>JiJ.(W-2jT)-3* 当 PI=QM 时，$ = -6, /- if (1,-6)卫帧(1+2厲少口7-2航).-外 综上所述：存在 5个M点，即6.【解析】 解：(1由抛物线过 A (- 3, 0), B (1 , 0),贝9，解得。二次函数的关系解析式为。(2)设点P坐标为(m n),贝0。连接PO,作PML x轴于 M PN丄y轴于N。PM = , A0=3当时，所以OC=2111tv 0,函数有最大值，当时，有最大值。此时。存在点，使 ACP的面积最大。(3)存在。点7.【解析】 解：(1)v抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对

15、称/ E是AB的中点， O是矩形ABCD寸角线的交点又 B (2, 1),二 A ( 2, 1)、D (- 2, 1 )。2抛物线的顶点为(0, 0),二可设其解析式为：y=ax，则有：4a= 1, a=抛物线的解析式为：y=- x2。(2)证明：由抛物线的解析式知：2P (a, a)，而 R (a, 1)、F (0, 1),则：PF=PR=, PF=PR RF=,.若厶PFR为等边三角形，则由得RF=PF=PR得:=，即：a4 8a2 48=0，得：a2= 4 (舍去)，a2=12。, 2 a=± 2, a = 3。存在符合条件的 P点，坐标为(2, 3)、(- 2, 3)。同可证

16、得：QF=QS在等腰 SQF中，/ 1= (180°-/ SQF)。同理，在等腰 RPF中，/ 2= ( 180°/ RPF)。/ QSL BC PR! BC, QS/ PR, / SQP/ RPF=180°。 / 1 + / 2= ( 360°/ SQF- / RPF) =90° / SFR=180°/ 1 / 2=90 °，即 SFR是直角三角形。(1) 根据题意能判断岀点 O是矩形ABCD的对角线交点，因此 D B关于原点对称，A、B关于x 轴对称，得到 A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。(2) 首先

17、根据抛物线的解析式，用一个未知数表示岀点P的坐标，然后表示岀 PF、RF的长， 两者进行比较即可得证。 首先表示 RF的长，若 PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR列式求解即可。 根据的思路，不难看岀QF=QS若连接 SF、RF,那么 QSF PRF都是等腰三角形，先用/ SQF / RPF表示岀/ DFS/ RFP的和，用180°减去这个和值即可判断岀 RSF的形状8【解析】 解：（ 1）B（3，0），C（0，）。 A （ 1, 0） B （ 3 , 0）可设过A、B、C三点的抛物线为。又 C （ 0,）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式即。（2）当 OC0A

18、 OBC时，则。/ OC= OE=AE AO=x 1, OB=3 ,.。二 x=2。当 x=2 时， OCEA OBC存在点 P。由可知x=2， OE=1 E （1，0）。此时， CAE为等边三角形。/ AEC=Z A=60°。又/ CEM=60，/ MEB=60。点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C （ 0 ,）, M（ 2,）。过M作MNL x轴于点N （ 2，0）， MN=。 EN=1 。若厶PEM为等腰三角形，则：i ）当 EP=EM寸,/ EM=2 且点 P在直线 x=1 上， P（1，2）或 P （1， 2）。ii）当EM=PM寸，点 M在EP的垂直平分线上，P（1，2

19、）。iii） 当PE=PM寸，点P是线段EM的垂直平分线与直线 x=1的交点， P（1，）综上所述，存在 P点坐标为（1，2 ）或（1， 2）或（1，2）或（1,）时， EPM为等腰三角形。（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求岀OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解求得EM的长，分EP=EM EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。9解：（1当等边 PMN勺顶点M运动到与点0重合时,MPL AB,vZ A=60°,. AP=4.3 , a t 2。（ 2 分）(2)T

20、AP=2.3t ,. BP=16 . 32、3t又/ B=30°,Z PMB=600 ,BPM=90,/a PM tan / B=PBPM316.3 2 3t 3 PM 162t，即等边厶PMN的边长为16 2t.(4 分)（3）当0t 1 时，如图 AP=2.3t , AG4 . 3tO Q n DB OG 8、3 4 3t , MO 8 4t, ON 8 2t.过 F 作 FQL OB 于 Q 贝U QN=4 EF=OQ=l 2t .等边 PMN和矩形ODC重叠部分的面积为四边形EFNO勺面积，设为S, §丄(4 2t 82t)4.38.、3t 24 32/ 8.3 &

21、gt; 0, S随t的增大而增大， t=1时， S1的最大值为32.3. (7分)当1 v t v2时，如图A在厶 EGK中，GE=4 . 3t 4、3 ,二 EK=4t 4 ,Sagek=8、3(t1) 2 .等边 PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO勺面积与 EGK的面积差，设为S2, S2 8 . 3t 24、3 8. 3(t 1)28、3t2 24.3t 16、3.a 8 30，对称轴为t 3 ,2 t 3时，S2的最大值为34,3. (9分)2当 t 2 时，S 32、3。综上可知：当t 时，S的最大值为34.3 . (10分)2(4 )过 R作 RHL OB于 H,

22、RH=4.3 , HN=4,OH=4 2t , OD=12 DH=8 2t , OR=OD=12寸，OH 2 RH2 OR2,2 厂22寸964 (4 2t)(4 3)12 , t 0 , t> 2,不合题意舍去。2 DR=OD=1 时，DH 2 RH2 DR2,2: 228 v 968 J 96 (8 2t) (4 3)12 , t>2，或tv 0,都不合题意舍去。2 2OR=DR寸，H 为 CD中点，0H=6 二 4 2t 6 ,二 t 1。综上所述，t 1时， ODR是等腰三角形。(12分)10.【解析】(I)：二次函数的图像经过点A (2, 0) C(0, 1)解得：b= c= 1 (2 分)二次函数的解析式为(1分)(2) 设点D的坐标为(m 0),( 0v m< 2) OD=m AD=2-m 由厶 ADEA AOC得， DE= (1 分) CDE的面积=xx m= (2 分)当m=1时，