专升本资料7(无穷级数)

1、四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“

2、会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数积分学六 无穷级数（成2013年:3+8分；2014年:8分）（攀2013年:3+5分；2014年:3+6分）（一）数项级数1. 理解级数收敛、发散的概念掌握级数收敛的必要条件，了解级数基本性质。（1）级数： （2）级数的收敛、发散概念部分和数列： 存在收敛， 且。 不存在 发散。 （3）级数收敛的必要条件若级数收敛，则应用： 不存在 发散。 发散。（4）级数的性质 当时， 与具有相同的收敛性。且 与都收敛 收敛。且 = 在级数中

3、，添加或去掉有限项，级数的敛散性不变；但会改变收敛级数的和。例1 （攀枝花学院：理科选择3分）下面说法正确的是（ ）.A、已知则级数一定收敛B、若级数收敛，则级数一定收敛C、如果级数发散，则 D、若级数和都收敛，则级数收敛例2 （攀枝花学院：文科填空3分）若收敛，则的敛散性为_例3 判别下列级数的收敛性：（1） ；（2）2. 掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法。（1）比较判别法如果两个正项级数与满足 ，那么当 收敛时， 也收敛。 当 发散时， 也发散。（2）比值判别法设有正项级数，如果极限 存在，那么 当时，级数收敛； 当时，级数发散； 当时，级数的收敛性不确定。（3）根值判别法

4、设有正项级数，如果极限 存在，那么 当时，级数收敛； 当时，级数发散； 当时，级数的收敛性不确定。3. 掌握几何级数、调和级数与p-级数的敛散性。（1） 几何级数的敛散性 当时，收敛。且 当时，发散。（2） p-级数的敛散性 当时，收敛。 当时，发散。当时，p-级数称为调和级数，它是发散的。例1 级数收敛，则满足（ ）.（A） （B） （C） （D）例2 判断下列级数的敛散性 ； ； 例3 判别下列级数的敛散性 ； 例3 讨论级数的收敛性。 （） （）4. 会使用莱布尼茨判别法。莱布尼茨 判别法：如果交错级数满足以下两个条件：（1）unun+1 （n=1，2，3），（2），那么 级数收敛，并且

5、级数的和例1 讨判别下列级数的收敛性。 ； 5. 理解绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛的方法。定理 ： 级数收敛，则必定收敛。绝对收敛 ： 收敛 为绝对收敛。条件收敛 ： 发散而收敛为条件收敛。 当 时， 级数 绝对收敛。 当 时， 条件收敛。 当 时， 发散。例1 讨判别下列级数的收敛性。 ； ； 例2 （成都理工：理科、文科选择3分）级数 中发散的级数有：【 】 (A) (B) (C) (D)例3 （攀枝花学院2014：理科解答6分）判定级数的敛散性。（二）幂级数1. 了解幂级数的概念。（1）在处的幂级数： （2）在处的幂级数：2. 掌握幂级数的收敛半径、收敛

6、区间（不要求讨论端点）的方法。收敛半径： 的收敛区间：； 的收敛区间：例1 （攀枝花学院2013：理科解答5分）求幂级数的收敛半径和收敛域. 例2 （攀枝花学院2013：文科解答5分）求幂级数的收敛域.例3 求下列级数的收敛半径和收敛区间 ； ； 。3. 掌握幂级数在收敛区间内的逐项求导与逐项积分的性质与方法。（1）逐项求导性设幂级数的收敛半径为，则在和函数为可导，且有， 所得幂级数的收敛半径为仍为（2）逐项积分性 设幂级数的收敛半径为，则和函数为在内可积，且有 所得幂级数的收敛半径仍为 例1 （成都理工：理、文科解答8分）求级数 的和函数；例2（成都理工2014：理科选择3分） 18求级数的收敛域与和函数。例3 求 的收敛区间及和函数解 这里 ，当时，级数为，它是交错级数，由莱布尼茨定理知此级数收敛。当时，级数为，它是调和级数，此级数发散。所以，级数收敛区间为令 ，因此 例4 求幂级数的和函数。解 幂级数的收敛半径，收敛区间为令则 ，在收敛区间内： 所以，例5 求下列级数的收收敛区间与和函数。 ； ； ； 4. 会运用 、的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数式展开为或的幂级数。 ， ， ， ， ， 例1（攀枝花学院2014：理科填空3分） 1、函数在区间上关于的幂级数为_例2利用间接展开法，将下列