误差理论与数据处理第三章误差的合成与分配

1、合肥工业大学误差理论与数据处理合肥工业大学误差理论与数据处理 本章阐述了函数误差、误差合成与本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题取舍、最佳测量方案的确定等问题 。通。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。成和分配。合肥工业大学误差理论与数据处理n函数系统误差函数系统误差n函数随机误差函数随机误差n已定误差的合成已定误差的合成n未定系统误差和随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成n误差分配误差

2、分配n微小误差取舍准则微小误差取舍准则n最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定 合肥工业大学误差理论与数据处理间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差差为函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量系计算出被测量 合肥工业大学误差理论与数据处理一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算间接测量的数学模型间接测量的数学模型 12( ,.,)nyf x xx 与被测量有函数关系的各个直接测量值与被测量

3、有函数关系的各个直接测量值 y y 间接测量值间接测量值12,nx xx求上述函数求上述函数 y y 的全微分，其表达式为的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211合肥工业大学误差理论与数据处理 和和 的量纲或单位不相同，则的量纲或单位不相同，则 起到起到误差单位换算的作用误差单位换算的作用 和和 的量纲或单位相同，则的量纲或单位相同，则 起到误起到误差放大或缩小的作用差放大或缩小的作用由由 y 的全微分，函数系统误差的全微分，函数系统误差 的计算公式的计算公式y1212.nnfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数处的误差传播系

4、数 (1,2, )ifx in12( ,)nx xxixyifxixyifx代数和法代数和法合肥工业大学误差理论与数据处理几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1 1、线性函数、线性函数1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 2 2、三角函数形式、三角函数形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系统误差公式系统误差公式),(tan21nxxxf),(cot21nxxxfniiixxf12cosniiixxf12sin合肥工业大学误差理论与数据处理【例】【例】 用弓高弦长法间接测量大用弓高

5、弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高一把卡尺量得弓高 h h = 50 = 50mmmm ，弦，弦长长l= 500mml= 500mm。已知，弓高的系统已知，弓高的系统误差误差 h h = -0.1= -0.1mm mm , , 弦长的系统误弦长的系统误差差 l l = -1mm = -1mm 。试求该工件直径的试求该工件直径的的最佳估计值。的最佳估计值。 【解】【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型建立间接测量大工件直径的函数模型 24lDhhD2lh 不考虑测量值的系统误差，可求出直径测量值不考虑测量值的系统误差，可求出直径测量值

6、201300mm4lDhh合肥工业大学误差理论与数据处理直径的系统误差直径的系统误差: : 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的直径测量最佳估计值故修正后的直径测量最佳估计值: : 013007.41292.6mmDDD计算结果：计算结果：误差传递系数为误差传递系数为: : 合肥工业大学误差理论与数据处理二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算数学模型数学模型 nxnxxyxfxfxf2121目标：目标：确定确定),(21nxxxyf推导：推导：12111121nxnxxyxfxfxf22212221nxnxxyxfxfxfn

7、NNNNxnxxyxfxfxf2121NNiyyi12合肥工业大学误差理论与数据处理2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 函数标准差计算函数标准差计算 第第i i个直接测得量个直接测得量 的标准差的标准差 xiix 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 ij 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的协方差个测量值之间的协方差 ijijxixjD 第第i i个直接测得量个直接测得量 对间接量对间接量 在该测量点在该测量点 处的误差传播系数处的误差传播系数 ifxixy12( ,)nx xx方和根法

8、方和根法njixjxiijjixnnxyxfxfxfxf122112合肥工业大学误差理论与数据处理22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 iifax令2222221122yxxnxnaaa则 当各个测量值的随机误差都为正态分布,且对应的置信概率都相等时，可得函数的极限误差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i个直接测得量 的极限误差 xiix合肥工业大学误差理论与数据处理三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式2222

9、222121cos1xnnxxxfxfxf1 1） 正弦函数形式为正弦函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： nxxxf,sin212 2） 余弦函数形式为余弦函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： nxxxf,cos21三角函数标准差计算三角函数标准差计算3 3） 正切函数形式为正切函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4 4） 余弦函数形式为余弦函数形式为: : 函数随机误差公式为：函数随机误差公式为： nxxxf,cot2122222221212sinxn

10、nxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf合肥工业大学误差理论与数据处理【解】【解】【例】【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高人用一把卡尺量得弓高 h h = 50 = 50mmmm ，弦长，弦长l = 500mml = 500mm。已知，已知，弓高的系统误差弓高的系统误差 h h = -0.1= -0.1mm mm , , 弦长的系统误差弦长的系统误差 l l = -1mm = -1mm 。 , , ,试求该工件直径的测量结果。试求该工件直径的测量结果。0.005mmh0.01m

11、ml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有有修正后的测量结果修正后的测量结果 01292.6mmDDD0.13mmD合肥工业大学误差理论与数据处理【例例】用双球法测量高精度内锥角用双球法测量高精度内锥角 ，如图所示，已知，如图所示，已知 测得尺寸及误差为测得尺寸及误差为 设测量误差相互独立，随机误差均为正态分布，求内锥设测量误差相互独立，随机误差均为正态分布，求内锥 角的测量结果。角的测量结果。12112245.00,0.002,0.00115.00,0.003,0.001DDDmmDmmmmDmmDmmmm 2D1D1l2ll12

12、112293.921,0.0011,0.01820.961,0.0008,0.001lllmmlmmmmlmmlmmmm 合肥工业大学误差理论与数据处理121212( )sin222DDfllDD解：解：1 1）建立内锥角测量数学模型）建立内锥角测量数学模型2 2）若不考虑测得值误差，求内锥角测得值）若不考虑测得值误差，求内锥角测得值0000sin0.2588229 59523 3）内锥角系统误差值）内锥角系统误差值1212012122()23cos2ffffllDDllDD 合肥工业大学误差理论与数据处理4 4）内锥角随机误差）内锥角随机误差121222220121227.7cos2llDD

13、ffffllDD）写出测量结果）写出测量结果00029 5952 23 7.729 5929 7.7合肥工业大学误差理论与数据处理三、三、 误差间的相关关系和相关系数误差间的相关关系和相关系数：反映误差间的：反映误差间的线性依赖线性依赖关系，有强有弱。关系，有强有弱。ij1 11 1正相关正相关负相关负相关0 011 合肥工业大学误差理论与数据处理相关系数的确定相关系数的确定可判断可判断 的情形的情形 0ij 断定断定 与与 两分量之间没有相互依赖关系的影响两分量之间没有相互依赖关系的影响 ixjx 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替

14、变化，反之亦然变化，反之亦然 与与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 ixjx 与与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不 计的弱相关计的弱相关 ixjx1、直接判断法、直接判断法合肥工业大学误差理论与数据处理可判断可判断 或或 的情形的情形 断定断定 与与 两分量间近似呈现正的线性关系或负两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系的线性关系 ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或当一个分量依次增大时，引起另一

15、个分量依次增大或减小，反之亦然减小，反之亦然 与与 属于同一体系的分量，如用属于同一体系的分量，如用1 1m m基准尺测基准尺测2 2m m尺，尺，则各米分量间完全正相关则各米分量间完全正相关 ixjx1ij 1ij 2、试样观察法和简略计算法、试样观察法和简略计算法 （1） 观察法观察法合肥工业大学误差理论与数据处理nnn31cos其中，其中，4321nnnnnn2n3n4n10 22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 根据根据 的多组测量的对应值的多组测量的对应值 ，按如下，按如下统计公式计算相关系数统计公式计算相关系数 ( ,)ijx x,i

16、kjkxx 、 分别为分别为 、 的算术平均值的算术平均值 ixjxikxjkx合肥工业大学误差理论与数据处理 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成误差合成就是就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响地表述这些误差的综合影响。 标准差合成标准差合成 极限误差合成极限误差合成解决解决随机误差的合成问题随机误差的合成问题一般基于一般基于标准差方和根合成标准差方和根合成的方法，其中还要考

17、虑到误差传播系数以及各个误差的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响之间的相关性影响 随机误差的合成形式包括：随机误差的合成形式包括：合肥工业大学误差理论与数据处理一、标准差合成一、标准差合成合成标准差表达式合成标准差表达式: : 211()2qqiiijijijiijaa a q q个单项随机误差，标准差个单项随机误差，标准差 12,q 误差传播系数误差传播系数 12,qa aav 由间接测量的显函数模型求得由间接测量的显函数模型求得 v 根据实际经验给出或实验测出根据实际经验给出或实验测出v 知道影响测量结果的误差因素知道影响测量结果的误差因素 而不而不知道每个知道每

18、个 和和 iiiyaiaiiiafx 合肥工业大学误差理论与数据处理当误差传播系数当误差传播系数 且各相关系数均可视为且各相关系数均可视为0 0的情形的情形 若各个误差互不相关，即相关系数若各个误差互不相关，即相关系数 21()qiiia21qii0ij1ia 则合成标准差则合成标准差 用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差准差，均可计算出总的标准差 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或视各个误差分量的量纲与总误差

19、量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量的分量 合肥工业大学误差理论与数据处理二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差: : 1,2,.,iiikiq 单项随机误差的标准差单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差: : kiik 合成标准差合成标准差 合成极限误差的置信系数合成极限误差的置信系数 k合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 合肥工业大学误差理论与数据处理 根据已知的各单项极

20、限误差和所选取的各个置信系数，根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成即可进行极限误差的合成 各个置信系数各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关机误差的分布有关 ikk 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同的各个置信系数也不相同 ijij 为第为第i i个和第个和第j j个误差项之间的相关系数，可根据个误差项

21、之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：合肥工业大学误差理论与数据处理211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目的数目q q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布误差接近于正态分布12qkkkk合成极限误差：合成极限误差： 若若和和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布

22、，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式广泛使用的极限误差合成公式 时：时：此时此时合肥工业大学误差理论与数据处理一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：系统误差的分类： 1 1） 已定系统误差已定系统误差2 2） 未定系统误差未定系统误差定义：定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：表示符号： 合成方法：合成方法：按照按照代数和法代数和法进行合成进行合成riiia i i 为第为第i i个系统误差，个系统误差，a ai i为其传递系数为其传递

23、系数 系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除量结果中消除合肥工业大学误差理论与数据处理二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成（一）（一） 未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义：定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精 力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范 围围 e 的系统误差的系统误差特征：特征：1 1） 单项系统误差在重复测量中单项系统误差在重复测量中不具有抵偿性不具有抵偿性。2 2） 随

24、机性随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。随机误差的特性。3) 3) 若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定一定的抵偿作用的抵偿作用。表示符号：表示符号： 极限误差：极限误差：e e 标准差：标准差：u u合肥工业大学误差理论与数据处理1、标准差合成、标准差合成（二）（二） 未定系统误差的合成未定系统误差的合成完全可以采用随机误差的合成公式，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给

25、测量结果的处理这就给测量结果的处理带来很大方便。带来很大方便。式中，式中， ijij 为第为第 i i 个和第个和第 j j 个误差项的相关系数个误差项的相关系数sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12当当 ijij=0 =0 时时则有：则有：合肥工业大学误差理论与数据处理iiiute2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为因为各个单项未定系统误差的极限误差为: :si,2, 1tuei 若总的未定系统误差极限误差表示为：若总的未定系统误差极限误差表示为：则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统则由各单项未定系统误差标准差得到的合

26、成未定系统误差极限误差为：误差极限误差为：sjijijiijsiiiuuaauate1122合肥工业大学误差理论与数据处理2112ssji iiijijiijiijeaeeeta att t siiieatue12或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：误差极限误差为： 当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即立无关，即 ，则上式可简化为：，则上式可简化为：0ij合肥工业大学误差理论与数据处理一、按标准差合成一、按标准差合成 测量过程中，假定有测量过

27、程中，假定有 s s 个单项未定系统误差，个单项未定系统误差，q q 个单项随机个单项随机误差，它们的标准差分别为：误差，它们的标准差分别为：qsuuu,21211、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取若各个误差的传递系数取 1 1，则测量结果的标准差为：，则测量结果的标准差为：式中，式中，R R 为各个误差之间的相关项之和。为各个误差之间的相关项之和。 若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。虑未定系统误差与随机误差的合成。Ruqiisii1212合肥工业大学误差理论与数据处理 当各

28、个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：qiisiiu12122、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n 。qiisiinu12121总极限误差变为：合肥工业大学误差理论与数据处理二、按极限误差合成二、按极限误差合成 测量过程中，假定有测量过程中，假定有 s s 个单项未定系统误差，个单项未定系统误差，q q 个单项随机个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：误差。它们的误差值或极限误差分别为：qseee,2121

29、1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取若各个误差的传递系数取 1 1，则测量结果总的极限误差为：，则测量结果总的极限误差为：式中，式中，R R 为各个误差之间的相关项之和。为各个误差之间的相关项之和。sisiiiiiRttet1122总合肥工业大学误差理论与数据处理 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机量结果测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的方和根值，即：误差的方和根值，即：qiisiie1212总2、n 次重复测量情况次重复测量情况

30、 当每项误差都进行当每项误差都进行 n n 次重复测量时，由于随机误差间具有抵次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n n 。总极限误差为：总极限误差为：qiisiine12121总合肥工业大学误差理论与数据处理【例】【例】 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为度共两次，测得结果分别为 ， ，已，已知工件的和高度为知工件的和高度为

31、，求测量结果及其极限误差。，求测量结果及其极限误差。150.026mml 250.025mml 80mmH 序号序号123456误差因素误差因素极限误差极限误差/m随机误差随机误差 未定系统误差未定系统误差备注备注阿贝误差阿贝误差光学刻尺刻度误差光学刻尺刻度误差温度误差温度误差读数误差读数误差瞄准误差瞄准误差光学刻尺检定误差光学刻尺检定误差0.810.50.351.251未修正时计入未修正时计入总误差总误差修正时计入总修正时计入总误差误差合肥工业大学误差理论与数据处理【解】【解】两次测量结果的平均值为两次测量结果的平均值为: :01211()(50.02650.025)mm50.0255mm2

32、2Lll 根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在 50mm 50mm 范围内的误差范围内的误差 =0.0008mm=0.0008mm ，此项误差为已定系统误差，应，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：予修正。则测量结果为：050.0255mm0.0008mm50.0247mmLL 在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：分析如下：1 1、随机误差、随机误差 由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为合肥工业大学误差理论与数据处

33、理 1 1）读数误差：）读数误差： 2 2）瞄准误差：）瞄准误差：m8 . 01m0 . 122 2、未定系统误差、未定系统误差 由阿贝误差等引起，其极限误差分别为由阿贝误差等引起，其极限误差分别为 1 1）阿贝误差：）阿贝误差： 2 2）光学刻尺误差：）光学刻尺误差：mmHLe0 . 14000508040001mmme25. 1)200501 ()20011 (2 3 3）温度误差：）温度误差：mmmLe35. 070050770073 4 4）光学刻度尺的检定误差：）光学刻度尺的检定误差：me5 . 04合肥工业大学误差理论与数据处理3 3、计算测量值及其误差、计算测量值及其误差（两种情

34、况）（两种情况）未修正光学刻尺刻度误差时：未修正光学刻尺刻度误差时：23221122222121(10.8 )(11.250.35 )21.870.0019mmijije m测量结果可表示为：测量结果可表示为： 050.0255mm0.0019mmL 已修正光学刻尺刻度误差时：已修正光学刻尺刻度误差时： 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 测量结果可表示为：测量结果可表示为： 合肥工业大学误差理论与数据处理【例例】 TC328B TC328B型天平，三等标准砝码，称钢球质量，一次称型天平，

35、三等标准砝码，称钢球质量，一次称量量 ，求测量结果的标准差。，求测量结果的标准差。14.004gM (1)(1)随机误差随机误差: : 天平示值变动性所引起的误差：天平示值变动性所引起的误差： 10.05mg(2)(2)未定系统误差未定系统误差: : 砝码误差砝码误差: : )2(2 . 0, )10(4 . 01211gmgugmgummuuu5 . 02 . 024 . 02222122111 天平示值误差天平示值误差: :mgu03. 02合肥工业大学误差理论与数据处理 三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1 1，因，因此误差合成后可得到测量结

36、果的总标准差为此误差合成后可得到测量结果的总标准差为 最后测量结果应表示为（倍标准差）：最后测量结果应表示为（倍标准差）： 14.004g0.0005gM 222121uu 22203. 05 . 005. 0)( 5 . 0mg合肥工业大学误差理论与数据处理误差分配误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。 在误差分配时，在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待随机误差和未定系统误差同等看待。 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：y 若已经给定若已经给定 ，如何确定，如何确

37、定 D Di i 或相应的或相应的 i i , ,使其满足使其满足22221nyDDD式中，式中， 称为称为部分误差部分误差，或，或局部误差局部误差iiiiiaxfDynDDD22221合肥工业大学误差理论与数据处理一、按等作用原则分配误差一、按等作用原则分配误差 等作用原则：等作用原则： 各分项误差对函数误差的作用相等，即各分项误差对函数误差的作用相等，即 由此可得：由此可得： 11/yyiiifxann或用极限误差表示：或用极限误差表示： 11/iiifxann 函数的总极限误差函数的总极限误差 各单项误差的极限误差各单项误差的极限误差 i 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：进行误差分配

38、时，一般应按照下述步骤：nDDDyn21合肥工业大学误差理论与数据处理二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 (1) (1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等作用原则分配误差的不合理性按等作用原则分配误差的不合理性 (2) (2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值

39、的误差与其传播当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。差并不相等，有时可能相差较大。 在等作用原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当在等作用原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小项尽可能缩小，其余误差项不予调整。，其余误差项不予调整。 合肥工业大学误差理论与数据处理 测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径测量一圆柱体的体积时，可间接测

40、量圆柱直径 D D 及高及高度度 h h，根据函数式，根据函数式 三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超误差确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。 【例】【例】24DVh求得体积求得体积 V V ，若要求测量体积的相对误差

41、为，若要求测量体积的相对误差为1 1，已知直径，已知直径和高度的公称值分别为和高度的公称值分别为 ， 试确定直径试确定直径 D D 及高度及高度 h h 的准确度。的准确度。 020mmD 050mmh 合肥工业大学误差理论与数据处理一、按等作用分配原则分配误差一、按等作用分配原则分配误差得到测量直径得到测量直径 D D 与高度与高度 h h 的极限误差的极限误差: : 120.071mmVVDVDhnnD2140.351mmVVhVDnnh【解】【解】 计算体积计算体积 0V2230003.1416 205015708mm44DVh体积的绝对误差体积的绝对误差: : 3301%15708mm

42、1%157.08mmVV合肥工业大学误差理论与数据处理 用这两种量具测量的体积极限误差为用这两种量具测量的体积极限误差为 222278.54VDhVVmmDh因为因为 3378.54157.08Vmmmm 查资料，可用分度值为查资料，可用分度值为0.10.1mmmm的游标卡尺测高的游标卡尺测高 ，在在5050mmmm测量范围内的极限误差为，用测量范围内的极限误差为，用0.020.02mmmm的游标的游标卡尺测直径，在卡尺测直径，在2020mmmm范围内的极限误差为范围内的极限误差为 。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm二、调整后的测量极限误差二、调整后的测量极限误差 显然采用

43、的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为若改用分度值为0.050.05mmmm的游标卡尺来测量直径和高度，在的游标卡尺来测量直径和高度，在5050mmmm测量范围内的极限误差为测量范围内的极限误差为 。此时测量直径的极限误差虽。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。的多余部分得到补偿。 0.08mm合肥工业大学误差理论与数据处理三、验算三、验算调整后的实际测量极限误差为调整后的实际测量极限误差为 22222128

44、.1524VDhDhDmm因为因为 33128.15157.08Vmmmm 因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。量准确度。 合肥工业大学误差理论与数据处理微小误差微小误差 测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以差的影响，可以忽略不计的误差忽略不计的误差。已知测量结果的标准差：已知测量结果的标准差： 若将其中的部分误差取出后，则得若将其中的部分误差取出后，则得 如果如果 ，yy则称则称为微小误差为微小误差。 2212212221nkkkyDDDDDDk

45、DkD221212221nkkyDDDDDD Di i为函数的部分误差，为函数的部分误差， iiiaD合肥工业大学误差理论与数据处理对比较精密的测量：对比较精密的测量： 对于随机误差和未定系统误差，微小误差取舍准则是被舍去对于随机误差和未定系统误差，微小误差取舍准则是被舍去的误差必须的误差必须小于或等于测量结果总标准差的小于或等于测量结果总标准差的1/31/101/31/10。对于已定。对于已定系统误差，按系统误差，按1/101/1001/101/100的原则取舍。的原则取舍。对一般精度的测量：对一般精度的测量： yyy)05. 01 . 0(ykD31yyy)005. 001. 0(ykD101合肥工业大学误差理论与数据处理 应用：应用： 计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不 考虑该项误差对总误差的影响。考虑该项误差对总误差的影响。