第十章微扰论

1、第十章第十章 微微 扰扰 论论本本 章章 要要 求求1. 原子在外电场中的能级分裂原子在外电场中的能级分裂 斯斯 塔克效应塔克效应(定态微扰理论的应用定态微扰理论的应用) 束缚定态微扰论束缚定态微扰论 非简并定态微扰论非简并定态微扰论简并定态微扰论简并定态微扰论氢原子的氢原子的StarkStark效应效应教教 学学 内内 容容第十章第十章 微微 扰扰 论论1 束缚定态微扰论束缚定态微扰论 （一）（一）引言引言 前几章使用量子力学的基本理论解决了一些简前几章使用量子力学的基本理论解决了一些简单问题。如：单问题。如： （1 1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题； （2 2）线性谐振子问题；

2、）线性谐振子问题； （3 3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题； （4 4）氢原子问题。）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，体系的然而，对于大量的实际物理问题，体系的 Hamilton量通常比较复杂，量通常比较复杂，Schrdinger方程少有方程少有精确解。因此，在处理复杂的实际问题时，往往精确解。因此，在处理复杂的实际问题时，往往采用合适的近似求解方法。采用合适的近似求解方法。 常用的近似方法：常用的近似方法：微扰论微扰论, , 变分法变分法, , 绝热近绝热近似似, , 准经典近似等。准经典近似等。 微扰法不是量

3、子力学所特有的方法，在处理天微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，需要对轨道予以修正。在这由于其它行星的影响，需要对轨道予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道球作为二体系统，求出其轨道( (无视扰动无视扰动，可

4、精确可精确求解求解) )，然后研究这个轨道受其它行星的影响（，然后研究这个轨道受其它行星的影响（视视为小扰动为小扰动）而发生的变化。）而发生的变化。微扰法求问题的近似解分成两类微扰法求问题的近似解分成两类:（1）体系体系Hamilton量不是时间的显函数量不是时间的显函数定态定态问题问题 定态微扰论（第定态微扰论（第10章）章）（2）体系体系Hamilton量显含时间量显含时间状态之间的跃状态之间的跃迁问题迁问题 含时微扰论含时微扰论（第（第11章）章） H0 称为体系的未受扰称为体系的未受扰Hamilton量量，与之相比，与之相比，H 是一个小量，视为加是一个小量，视为加于于H0上的微扰上的

5、微扰（其确切定义见（其确切定义见2分析）分析）。（二）（二）束缚定态微扰体系的基本方程束缚定态微扰体系的基本方程 设体系的设体系的Hamilton量不显含时间量不显含时间t，则能量本征，则能量本征值方程值方程 (1)nnnHE 若若H 可以分成两部分：可以分成两部分：0 (2)HHH其中其中H0所描写的体系可以精确求解，即其本征方程所描写的体系可以精确求解，即其本征方程(0)(0)(0)0 (3)nnnEH 可精确求解或已有已知解。可精确求解或已有已知解。1E2E3E4E 若没有微扰（若没有微扰（ H =0），则），则H就是就是H0，能量本征，能量本征值值En和本征态和本征态 就是就是 ；(0

6、)(0) nnE 、 n (0)1E(0)2E(0)3E(0)4E图图1：受微扰后能级的移动：受微扰后能级的移动 微扰论的目的就是利用受扰前的微扰论的目的就是利用受扰前的 （精（精确解）求微扰后体系的确解）求微扰后体系的 （近似解）。（近似解）。(0)(0) nnE 、 nnE 、 微扰的引入使得微扰的引入使得体系的能级由体系的能级由 变为变为En，即能级发生移动，即能级发生移动（如图）（如图）(0)nE为了明显表示出微扰的微小程度，暂时将其写为：为了明显表示出微扰的微小程度，暂时将其写为：(1 ) (4)HH 其中其中是很小的实数，表征微扰程度的参量是很小的实数，表征微扰程度的参量因为因为

7、En 、 |n 都与微扰有关，可以把它们看成是都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展开成的函数而将其展开成的幂级数的幂级数(微扰级数微扰级数)：(0 )(1)2( 2)(0 )(1)2( 2)nnnnnnnnEEEE 得到得到E和和 的级数展开后，为简单计再将的级数展开后，为简单计再将 抹去：抹去：n (0 )(1)( 2) (5)nnnnEEEE (0 )(1)( 2) (6)nnnn (0 )nE体系能量的零级近似（未受扰体系能量的零级近似（未受扰时的能量）时的能量）(1)nE体系能量的一级近似体系能量的一级近似( 2)nE体系能量的二级近似体系能量的二级近似 ，等等，等等(0 )n

8、 体系状态的零级近似（未受扰体系状态的零级近似（未受扰时的状态）时的状态）(1)n 体系状态的一级近似体系状态的一级近似体系状态的二级近似，等等体系状态的二级近似，等等( 2 )n 将将(2)、(5)、(6)式代入式代入(1)式，比较两边的同级项相等，式，比较两边的同级项相等，可得各级近似下的方程：可得各级近似下的方程：(0)(0)0 (7)()0nnHE (0)(1)(1)(0)0()( (8)nnnnHEEH(0)(2)(1)(1)(2)(0)0 (9()()+)nnnnnnHEEHE其中其中(7)式和式和(3)式一样，代表零级近似下式一样，代表零级近似下(未受扰未受扰)体体系的能量本征方

9、程，可以精确求解。系的能量本征方程，可以精确求解。 (7) (9)式是束缚定态微扰体系的基本方程，是微式是束缚定态微扰体系的基本方程，是微扰法的基础。扰法的基础。(0)(1)(1)(0)(0)0nnnnnHEH以下约定：以下约定：波函数的各高级近似和零级近似均正交波函数的各高级近似和零级近似均正交(0)( )0, 1,2,. (10)snns以以 左乘左乘(8)式，并利用式，并利用(10)式得式得 (0)n (0)(1)(1)(0)(0)0nnnnnHEH (0)(0)(1)(1)(0)(0)nnnnnnEEH (0)(0)(1)(1)(0)(0)nnnnnnEEH (0)0nH (1)(0)

10、(0) (11)nnnEH 类似地，以类似地，以 左乘左乘(9)式，并利用式，并利用(10)式得式得 (0)n (2)(0)(1) (12)nnnEH 再次使用再次使用(10)式，得到式，得到束缚定态微扰法的一般步骤束缚定态微扰法的一般步骤(0)(0)nnE 、求解求解(7)式得到式得到代入代入(11)式，式，计算计算(1)nE解解(8)式，式，得到得到(1)n 代入代入(12)式，式，得到得到(2)nE解解(9)式，式，得到得到(2)n (0)(1)(2) (5)nnnnEEEE (0)(1)(2) (6)nnnn 2 非简并定态微扰论非简并定态微扰论 下面计算能量和波函数的各级微扰近似。下

11、面计算能量和波函数的各级微扰近似。（一）（一）1级近似级近似 假设未受微扰时，体系的能级假设未受微扰时，体系的能级 不简并，取定某一能级不简并，取定某一能级 进行计算，则与之相进行计算，则与之相应的本征态唯一确定：应的本征态唯一确定： (0) (1,2,.)nEn (0)kE(0)k （式（式(7) 解出或已有结果）解出或已有结果）根据根据(11)式，能级式，能级k的的1级微扰近似为：级微扰近似为：(1)(0)(0) (13)kkkEH H 的平均值的平均值下面计算波函数的一级近似。下面计算波函数的一级近似。因为因为H0厄米，其本征函数厄米，其本征函数 正交、归一、完备，正交、归一、完备，故可

12、将一级微扰近似波函数故可将一级微扰近似波函数 按按 展开展开(0)n (1)k (0)n (1)(1)(0) (14)knnna （H0表象）表象）(1)(0)(1)(0)0)0()() nnnkkkaHEEH (14)式代入式代入(8)式式（先将其中的脚标（先将其中的脚标nk）以以 左乘上式，得左乘上式，得 (0)m (0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)0(0)(1)(0)(0)(0) mnnmknnnnmkkmkHaEaEH (1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)0(1)(0)(0)(0)(0) nmnknmnnnkmkmkaHEaEH利用利用H0本征态的正交归一性，得本征态的正

13、交归一性，得 (1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0) nnmnknmnnnkmkmkaEEaEH(0)(0)(1)(1)() (15)mkmkmkmkEEaEH (0)(0) = (16)mkmkHH其中其中微扰矩阵元微扰矩阵元H 在在H0表象的矩阵表示表象的矩阵表示(0)(0)(1)(1)() (15)mkmkmkmkEEaEH u 若若m k，则，则(1)(0)(0) kkkkkEHH 此即为此即为(13)式。式。u 若若m k，则，则(1)(0)(0), (17)mkmkmHamkEE 根据根据(10)式的约定，式的约定，(0)(1)(0)(1)(

14、0)0kkknnna (1) 0 (18)ka(17)、(18)两式代入两式代入(14)式，得到波函数的一级近似：式，得到波函数的一级近似：(1)(0)(0)(0) (19)nkknnknHEE 上式中上式中 表示对表示对n求和时，求和时，n=k的项必须摒弃的项必须摒弃。n 综上，在一级近似下的综上，在一级近似下的k能级本征值和本征态分别为：能级本征值和本征态分别为：(0 ) (20) kkkkEEH (0)(0)(0)(0) (2 1 )nkkknnknHEE (0)(0) =nknkHH其中其中微扰矩阵元微扰矩阵元（二）（二）2级近似级近似(2)(0)(1)kkkEH 根据根据(12)式，

15、能级式，能级k的的2级微扰近似：级微扰近似：(0)(0)(0)(0)nkknnknHHEE (0)(0)(0)(0)nkknnknHHEE (0)(0)=knknHH*nknkHH 利用微扰算符的厄米性：利用微扰算符的厄米性： (0)(0)nkH (2)(0)(0)(2)(2)(0) (23)knnknnnna 2(2)(0)(0) (22)nkknknHEEE 最后得到最后得到态矢量的二级近似态矢量的二级近似 仿照其一级近似的推导，仿照其一级近似的推导，即令即令(2)k H0表象基矢的封闭性表象基矢的封闭性将将(23)式代入式代入(9)式，并利用式，并利用(13)、(19)、(22)式，可式

16、，可得结果：得结果：(2)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) 22(0)(0)(0) 2 1 (24)2njjknkkkknnjknkjknnkknknH HH HEEEEEEHEE 综上，在二级近似下的综上，在二级近似下的k能级能级本征值和本征态分别为：本征值和本征态分别为：(0)(1)(2)2(0)(0)(0) (2. .5) kkkknkkkknknEEEEHEHEE 带带 的求和表示求和时，的求和表示求和时，n=k及及j=k的项须摒弃。的项须摒弃。(0)(1)(2)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) 22(0)(0)(0) 2.1 . + (26

17、)2kkkknkknnknnjjknkkknnjknkjknnkknknHEEH HH HEEEEEEHEE (25)、(26)式中的微扰矩阵元式中的微扰矩阵元 均可由均可由(16)式计算。式计算。kknknjjkHHHH、（三）（三）微扰理论适用条件微扰理论适用条件(25)、(26)两式的级数展开式必须收敛，为此需：两式的级数展开式必须收敛，为此需：(0)(0)1, (27 )nkknHnkEE 这就是这就是1开始时提到的关于开始时提到的关于H 视为小量的明确表视为小量的明确表示式。当这一条件被满足时，示式。当这一条件被满足时，(25)、(26)两式通常可两式通常可给出相当精确的结果。给出相

18、当精确的结果。微扰适用条件微扰适用条件(27)式表明：式表明：（2）|Ek(0) En(0)| 要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。（1）微扰矩阵元）微扰矩阵元 要小要小 ；(0)(0) =nknkHH 例如：氢原子体系能量（能级）与量子数例如：氢原子体系能量（能级）与量子数n2成成反比，即反比，即 En = -e4 /2 2n2 ( n = 1, 2, 3, .) 若计及电子自旋和轨道相互作用，可将其视为若计及电子自旋和轨道相互作用，可将其视为微扰，此时就需要计算体系能级微扰，此时就需要计算体系能级En的微扰修正的微扰修正（即各级近似等）。由上式可见，当（即各级近似等）。由上式可见，

19、当n大时，能大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。小）的修正。（四）（四）讨论讨论 在一级近似下，能级在一级近似下，能级k的本征态：的本征态：(0)(0)(0)(0) nkkknnknHEE 其展开系数其展开系数 反比于未受扰体系的反比于未受扰体系的能级间隔，因此计算一级近似时只需取靠近能级间隔，因此计算一级近似时只需取靠近 的几项即可，无需计算无限多项。的几项即可，无需计算无限多项。(0)(0)nkknHEE (0)kE 对满足适用条件对满足适用条件(

20、27)式的式的微扰问题，通常只求一微扰问题，通常只求一级近似其精度就足够了。如果一级能量近似级近似其精度就足够了。如果一级能量近似Hkk=0 就需要求二级近似，但态矢求到一级近似即可。就需要求二级近似，但态矢求到一级近似即可。 用微扰论处理问题时用微扰论处理问题时, 要恰当地选取要恰当地选取H0, 在有的在有的问题中问题中H0与与H 的划分是很显然的的划分是很显然的, 但在有的问题中但在有的问题中要根据如何使计算简化来决定要根据如何使计算简化来决定H0与与H 的划分，同的划分，同时还要兼顾计算结果的可靠性。时还要兼顾计算结果的可靠性。 如能级简并，微扰公式如能级简并，微扰公式 (25)、(26

21、)式不再适用式不再适用, 需要用另外的办法来处理（需要用另外的办法来处理（3简并定态微扰论简并定态微扰论）。）。因为微扰适用条件因为微扰适用条件(27)式无穷大式无穷大(0)(0)nkknHEE 将将Hamilton量分成量分成H0 + H 两部分，只要电场两部分，只要电场 不太不太大，上式最后一项很小，可看成微扰。大，上式最后一项很小，可看成微扰。例例1：电介质的极化：电介质的极化 在没有外加电场时，各项在没有外加电场时，各项同性介质中的荷电粒子（电荷同性介质中的荷电粒子（电荷q）在平衡位置附近）在平衡位置附近振动，可视为简谐振动。当沿振动，可视为简谐振动。当沿+x方向施加一均匀电方向施加一

22、均匀电场场 ，则介质将在电场作用下产生极化现象。，则介质将在电场作用下产生极化现象。（五）非简并微扰论的应用举例（五）非简并微扰论的应用举例1. 有外场时荷电粒子（电谐振子）的有外场时荷电粒子（电谐振子）的Hamilton量：量：222221 22dHxq xdx （x 谐振子偏离平衡位置的位移）谐振子偏离平衡位置的位移）222202122dHxdxHq x 微扰微扰未受扰未受扰Hamilton2. H0 的本征值和本征函数的本征值和本征函数 Ek(0)、 k(0)22(0)/2(0)12()2!()xkkkkkkN eHxNkEk 以下计算外加电场对谐振子能级以下计算外加电场对谐振子能级Ek

23、(0)的影响。的影响。3. 计算计算 Ek(1)(1)(0)(0)*kkkkkEHHdx (0)*(0)0kkqxdx 积分等于积分等于 0 是因为被积函数为奇函数是因为被积函数为奇函数4. 计算能量二级修正计算能量二级修正Ek(2)欲计算能量二级修正，首先应计算欲计算能量二级修正，首先应计算 Hnk 矩阵元矩阵元(0)(0)(0)(0)*nknknkHHdxqxdx . . nknki eHq x 22(0)(0)* ()()nknkxnknkxxdxN NxeHx Hx dx 22( )( )nknkN NHHed 11( )( ) 2( )nnnHHnH 利用厄米多项式的递推公式：利用厄

24、米多项式的递推公式：有有2112( ) 2( )( )nknknnkN NxHnHHed 2112( ) 2( )( )nknknnkN NxHnHHed 221211( )( )2 ( )( )nknknknkN NxHHednHHed (0)(0)1(0)(0)111( )( )2 ( )( )2nknknknxxx dxnxx dx 1,1,1 (29)22nknknknnx 1,1,122nnkknknkHqqnnx 2(2)(0)(0)nkknknHEEE 222nknxqkn 22221,1,kkkkqxx 2222q 22(0)(2)122()2kkkqEEEk 能级下移能级下移

25、5. 计算波函数的一级修正计算波函数的一级修正(1)(0)(0)(0)( )( )nkknnknHxxEE (0)(0)111( )( )22kkqkkxx (0)(1)( )( )( )kkkxxx (0)(0)(0)111( )( )( )22kkkqkkxxx （30）6. 计算极化率计算极化率未加外电场时，荷电粒子的平均位置：未加外电场时，荷电粒子的平均位置：(0)(0)(,)kkxx (0)(0)=0kkkkxx 加外电场后，荷电粒子的平均位置将发生移动：加外电场后，荷电粒子的平均位置将发生移动：2(, )kkqxx 利用了利用了(29)、(30)两式。结果说明正电荷沿电场方向两式。

26、结果说明正电荷沿电场方向移动移动q /2，负电荷则，负电荷则沿反方向移动沿反方向移动q /2。因此。因此外电场诱导所产生的电偶极矩大小为：外电场诱导所产生的电偶极矩大小为：i.e.平衡位置平衡位置22222qqPq极化率极化率222Pq 其中其中 是振子质量；是振子质量； 是振动角频率是振动角频率q-q2 x 例例2. 设设Hamilton量的矩阵形式为：量的矩阵形式为： 2000301cccH（1）设）设c 1，应用微扰，应用微扰论求论求H本征值到二级近似；本征值到二级近似； （2）求）求H 的精确本征值；的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面）在怎样条件下，上面二结果一致。二结果一致。解

27、：解：（1）c 1，可取，可取H0和微扰和微扰 Hamilton 分别为分别为： cccHH0000002000300010H0 是对角矩阵，是是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形在自身表象中的形式。所以能量的式。所以能量的 0 级近似为：级近似为：E1(0) = 1; E2(0) = 3; E3(0) = - 2由非简并微扰公式由非简并微扰公式(1)2(2)(0)(0)|kkknkknknEHHEEE 得能量一级修正：得能量一级修正：(1 )111(1 )222(1 )33300EHEHEHc 222(2)2113121(0)(0)(0)(0)(0)(0)11213|12nn

28、nHHHEcEEEEEE 222(2)2223212(0)(0)(0)(0)(0)(0)22123|12nnnHHHEcEEEEEE 222(2)331323(0)(0)(0)(0)(0)(0)33132|0knnHHHEEEEEEE 准确到二级近似的准确到二级近似的能量本征值为能量本征值为： cEcEcE231322122211设设H 的本征值是的本征值是E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：02000301 EcEccE22. . (2)(43)0i ecEEEc(2) 精确解精确解解得：解得： cEcEcE2121232221微扰法微扰法: :212231121322EcEcEc c

29、EcEcE2121232221精确解：精确解：(3) 将精确解按将精确解按 c ( 1)展开：展开：224122423112112811213282EcccEcccEc 可见，微扰论二可见，微扰论二级近似结果与精级近似结果与精确解展开式在不确解展开式在不计计c4及以后高阶及以后高阶项时结果相同。项时结果相同。3 简并定态微扰论简并定态微扰论 当涉及体系能级简并时，微扰论须作特别处理，当涉及体系能级简并时，微扰论须作特别处理，理由有二：理由有二： 2的的非简并定态微扰公式非简并定态微扰公式 (25)、(26)式不再适用，式不再适用，因为微扰使用条件因为微扰使用条件(27)式无穷大式无穷大(0)(

30、0)nkknHEE 零级能量零级能量Ek(0)给定后，相应的零级近似波函数给定后，相应的零级近似波函数 k(0)不确定不确定(简并简并)，导致，导致(11)、(12)两式两式的不确定，的不确定，最后导致微扰法的基本方程最后导致微扰法的基本方程(8)和和(9)式式求解困难。求解困难。 假设不考虑微扰时，体系处于假设不考虑微扰时，体系处于某简并能级某简并能级Ek(0)，与之相应的简并波函数：与之相应的简并波函数：(0) 1,2,.,kiif 面临的问题：面临的问题：如何从如何从 f 个简并波函数中挑出体系的个简并波函数中挑出体系的零级近似波函数（即体系此时所处具体状态）？零级近似波函数（即体系此时

31、所处具体状态）？（简并度简并度 f）体系的零级近似波函数总是可以表为：体系的零级近似波函数总是可以表为：(0)(0)1 (31)fkikiia 展开系数展开系数ai可按下列方法定出：可按下列方法定出：因为因为0级波级波函数总是函数总是要在要在f个简个简并波函数并波函数中挑选中挑选作为体系的零级近似波函数，它必须使得作为体系的零级近似波函数，它必须使得方程方程(8)式有解，因此将式有解，因此将(31)式代入式代入(8)式：式：(0)(1)(1)(0)0()()kkkkHEEH(1)(0)1() (32)fkikiiEHa 以以 左乘上式两端，并利用左乘上式两端，并利用(10)式的约定，得式的约定

32、，得(0)kj (0)(1)(1)(0)(0)011ffkjkkiijikjkiiiHEaaH(1)(0)(0)110ffkiijikjkiiiEaaH(1)1 1,2,. (,3)(3 )0fjikijiiHEajf (0)(0) (34) jikjkiHH 其中其中线性方程组线性方程组(33)有非零解的条件是有非零解的条件是(1)11121(1)21222(1)120kfkfffffkHEHHHHEHHHHE 久期方程久期方程f 个简并态所个简并态所张子空间中的张子空间中的微扰矩阵元微扰矩阵元求解久期方程，可得到求解久期方程，可得到Ek(1)的的f 个根，记为：个根，记为：(1), 1,2

33、,.,kEf 则一级近似下的则一级近似下的k能级的能量本征值能级的能量本征值(0)(1), 1,2,., (35)kkkfEEE 将每个根将每个根Ek (1)代入方程代入方程(33)，可解出与之相应的展，可解出与之相应的展开系数，记为：开系数，记为：, 1, 2,.,iaif 于是得到于是得到新的零级近似波函数新的零级近似波函数：(0)(0)1, 1,2,., (34)fkikiiaf u 若若Ek(1)的的f 个根均不等，则个根均不等，则f 度能级简并完全消除；度能级简并完全消除；相应的零级波函数和能量本征值有相应的零级波函数和能量本征值有(34)和和(35)式给式给出。出。u 若若Ek(1

34、)的的f 个根有部分重根，则个根有部分重根，则f 度能级简并部度能级简并部分解除，必须进一步考虑能级的二级近似，才有分解除，必须进一步考虑能级的二级近似，才有可能将简并能级完全分裂开来；未解除简并的能可能将简并能级完全分裂开来；未解除简并的能级，其零级近似波函数仍然不确定。级，其零级近似波函数仍然不确定。(0)(1), 1,2,.,kkkEEEf 4 简并定态微扰论的应用简并定态微扰论的应用氢原子氢原子Stark效应效应（一）（一）Stark效应效应 原子在外电场作用下，原本简并的能级分裂导原子在外电场作用下，原本简并的能级分裂导致光谱线分裂的现象称为致光谱线分裂的现象称为 Stark 效应。

35、效应。加电场加电场0h 0()h 能级分裂能级分裂Stark效应示意图效应示意图 电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第第n个能级个能级 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。氢原子的消除。氢原子的Stark效应可以用简并情况下的微效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。扰理论予以解释。（二）外电场下氢原子（二）外电场下氢原子Hamilton量量H0是未加外电场时，氢原子是未加外电场时，氢原子Hamilton算符算符2220

36、(37)2eHr 0 (36)HHH 在外场中，氢原子在外场中，氢原子Hamilton量包括两部分：量包括两部分：cos (38)Here ze r H 是外电场中的附加势能时，设外电场是外电场中的附加势能时，设外电场 均匀且均匀且沿沿z方向，则方向，则通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如如, 强外电场强外电场 107 伏伏/米，米， 而原子内部电场而原子内部电场 1011 伏伏/米，二者相差米，二者相差 4个量级。所以可以把外电个量级。所以可以把外电场的影响作为微扰处理。场的影响作为微扰处理。（三）（三）H0的本征值和本征函数的本征值和本征函

37、数),()(),( lmnlnlmYrRr 2212neEa n 1,2,3.0,1,.,1,1,.,nlnml ll 氢原子基态不简并，只讨论氢原子基态不简并，只讨论 第一激发态第一激发态(n = 2) 的的情况，这时简并度情况，这时简并度 n2 = 4。228eEa 属于该能级的属于该能级的4个简并态是：个简并态是：3/2/2120020003/2/2221021103/2/2321121113/2/2421 1211 111( )(2)4 211( )( )cos4 211( )( )sin811( )( )sin8rararairairR YeaarR YeaarR YeeaarR Y

38、eeaa （四）计算微扰矩阵元（四）计算微扰矩阵元Hji 由简并微扰理论知，核心是求解久期方程，为由简并微扰理论知，核心是求解久期方程，为此须先计算出微扰此须先计算出微扰H 在以上各简并态下的矩阵元。在以上各简并态下的矩阵元。(0)(0) jikjkiHH 计算依据是公式计算依据是公式(34)其中其中 ki(0)或或 kj(0)取取 1 4121220210010212121201000coscosHHeRr RYYHHeRr RYY (39)角积分角积分需利用如下公式需利用如下公式(A4-33)：22221,1,(1)cos(21)(23)(21)(21)lmlmlmlmlmYYYllll 2222(1)1