刚性圆锥压头与弹塑性半空间相互作用

1、刚性圆锥压头与弹塑性半空间相互作用摘要：弹性接触问题在实际工程应用过程中比较显著，特别是在钻探石油工程中的岩石破碎理论。为了更好学习接触理论，开展研究刚性圆锥体压头作用于弹性半空间体时所产生的内部应力和位移的变化，及时判断材料本身的弹性到塑性的变化过程。利用弹塑性的相关理论，得出圆锥体压头在弹性半空间体上的压入深度H、接触半径a和集中力F的相互关系，圆锥形刚性压头受竖向静载荷作用于弹塑性半空间时，压头下各点的应力随压入深度的增加而增大，在锥尖处应力最大。关键词：刚性圆锥压头，弹性半空间体，接触理论，应力分布第一章 研究背景刚性压头作用于弹塑性材料上时压头下的应力分布问题与材料的性质研究密切相关

2、，它可以将硬度、压头形状、材料性质等因素联系起来，使我们更好地了解材料的各种性能。因此，对压头下应力分布的深入研究有着重要的意义。当无限弹性空间体上表面受一垂直集中力作用时，其体内各点的应力分布和变形问题，是一个在许多科学技术领域（弹性接触研究及岩石在钻具作用下的破碎理论）常会遇到的问题，通常也称之为Boussinesq问题。这是一个空间轴对称问题，与所有的弹性力学问题一样，可以用位移法与应力解法。当刚性圆锥体压头作用于弹性半空间体时，当压入深度较小时，材料处于完全弹性接触状态，随着压入深度的增加，材料内部发生屈服，开始出现塑性变形，当压入深度达到一定值后，接触区域呈现完全塑性变形。在真实的接

3、触过程中，总是希望两者之间的接触处于弹性状态，此时工件的变形较小，使用寿命也会很高。但是当压入深度超过某一值后，材料就发生屈服，出现塑性变形，如果工件长期在塑性状态下工作，将会对其使用寿命产生很大的影响。故有必要开展研究有关接触理论，推导刚性圆锥体压入一个弹性半空间体时的压入深度、接触半径和压力之间的关系，更好的为工程材料特别是钻探过程中提供一定的参考性指标。第二章 国内外研究现状压头下的应力分布问题对于研究材料的弹性、塑性、硬度、强度等一系列不同的物理、力学性能有着重要的意义，很多学者对应力分布与硬度及其它材料性质之间的关系作了卓有成效的研究，并取得了很大的进展。1944 年，伊斯林斯基（前

4、苏联科学院院士）研究了刚性压头在弹塑性材料上的轴对称压入问题，在理论上建立了布氏硬度与材料强度之间的关系，1951 年，D.Tabor深入地研究了压入硬度与金属材料性质之间的关系，建立了表征压入力与压痕之间的广义梅叶尔（Meyer）定律，1960年，黑木刚司郎（日本东京大学）深入地研究了压入硬度值的解析问题，但压头下的压分布是按平面压头压入时的结果设定的，尽管给出了硬度值的解析表达式，却存在很大的局限性，1994 年，Murakani 等人建立了维氏硬度值的有限元分析模式与方法，1998 年，Gai Bingzheng在推广赫兹接触理论的基础上，全面地解决了各类压入硬度值的修正问题，2001

5、年，Per-Lennart Larsson深入地研究了尖型压头在刚塑性材料上的压入问题，得出其数值结果，并发现了 Knoop，Vickers，Berkovich 等压头压入的某些特征；Boussinesq和Hertz建立了压痕法重要的理论基础弹性接触理论；英国Johnson对接触力学进行了研究，将接触力学的研究引入非线性领域Komvopoulos等对多粗糙峰刚性表面与弹性半无限体的接触模型进行了分析，杨楠等在Komvopoulos的基础上，研究了具有一定数目圆形粗糙峰的刚性表面与弹塑性半无限体接触的模型，Liu等人结合增量初刚度法、线性规划法和有限元技术提出了求解真实粗糙表面弹塑性接触问题的计

6、算模型。Boussinesq 发展了一个通过计算刚性压头施加在弹性体上所产生的应力和位移而得到的位势理论。他的方法随后被应用在推导一系列重要几何形状（如圆柱，圆锥）的压头。Hertz 分析了两个不同半径的球面的弹性接触问题。他在接触力学方面做了大量的实验和理论上的研究从而得到了经典的 Hertz 接触理论，并且对非刚性压头进行了分析和研究。Tabor 在 50 年代对压痕和显微压痕实验进行了详细的总结，他研究了在刚性球压头的作用下一些金属的变形。随后 Stillwell 和 Tabor 用圆锥形压头做了相似的研究。通过这些研究他们发现：压头卸载初期，材料弹性恢复时的压痕形状起着重要的作用。至少

7、对于金属材料，由球形压头加载而产生的压痕仍然是球形，只是压痕的半径比压头的半径稍大，由圆锥压头产生的压痕也仍然是圆锥形，只是顶角稍大。这些试验（球形压头压出的孔仍是球形，圆锥形压头压出的孔仍是圆锥）的重要性在于他们说明了对于一个任意形状的压头，弹性接触解是存在的，塑性的影响可以通过考虑弹性卸载的表面形状来处理。第三章 半空间体在边界上受法向集中力作用首先利用拉普位移势函数求出竖向集中载荷作用于弹性半空间时的应力分布，然后利用此解进行积分求出刚性圆锥体压头静载荷作用在弹性半空间时的位移分布。为求解锥形刚性压头作用于弹性半空间时压头下的应力分布，将锥形压头近似均分为 m 个小方块，把每个小方块用面

8、积相等的圆形代替，并假设其上的应力是均布的，再利用圆形均布载荷的结果分别求出每一小块在各自中心及其它小块中心产生的位移，最后利用叠加原理求出个小块的实际位移。由于压头是锥形的，故个小块的位移是不相等的；又因为个小块上的载荷应为总的外加载荷，故可列出 m+1 个方程来求解各小块上的应力及位移共 m+1 个未知数，若位移已知，则可求出总的外载荷及应力分布。3.1 空间轴对称问题的Lame方程由空间轴对称问题的平衡微分方程： （3-1）由本构方程，按Hooke定律得到： （3-2）当体力时，将式（3-2）代入到（3-1）中，并采用记号，便可以得到以位移表达的平衡方程，即解空间轴称问题的位移法的基本方

9、程为： （3-3）3.2 位移法求解应力如计及，则式（3-3）也可写为 （3-4）这里的ur为r方向的位移，w为z方向的位移。其中： （3-5）若引进位移势函数，设： （3-6）得到 （3-7）我们就可以取c=0，即对于一个轴对称问题，如果能找到一个调和函数 ，使得其给出的位移和应力能满足边界条件，就能得到问题的正确解答。然而实际上并不是所有的问题的位移都是有势的；再则如果位移势函数存在，则，表示体积应变在整个弹性体中是常量，这也是很特殊的，故位移势函数所能解决的问题是很少的。若引进拉甫位移势函数，设： （3-8）将其代入到（3-4）、（3-6）得： （3-9）对于一个轴对称问题，如果能找到一

10、个重调和函数 ( r , z)，使得由其给出的位移和应力能满足边界条件，就可得到问题的正确解答。 下面回到我们要解决的问题，设有半空间体，体力不计，在其平面边界上受有法向集中力F ，如图1所示： 图1 半无限体表面受法向集中力作用F这是一个轴对称问题，对称轴就是力F 的作用线。应力边界条件： （a） （b）另外，在O点附近的一小部分边界上，有一组面力作用，其分布不明确，但已知它等效于集中力F 。因此，在半空间体的任何一个水平截面上的应力，必须和这一组面力合成平衡力系，于是得出： （c）引进拉甫位移势函数 和位移势函数： （d） （e）其中A1、A2为任意常数。利用（d）、（e）两式可得到相应的

11、应力和位移（f）（g）将（f）、（g）两式叠加代入边界条件（a）、（b）、（c），最后可得：即有： （3-10） （3-11）将A1、A2代回式中可得应力分量的计算式为 （3-12）3.3 弹性范围内压头的侵深与载荷的关系在某些工程问题中,需要知道作用于压头上的压入力F与压头侵入弹性体深度H的关系。它在岩石破碎学中也有重要的理论意义。经查阅相关资料，令接触半径为a，刚性圆锥半顶角为，对于圆锥形压头，压入深度与接触半径的关系： （3-13）压入力F与接触半径a的关系： （3-14）弹性范围内压入力F与压深H的为系： （3-15）第四章 结论分析（1）随着R的增大，位移和应力分量迅速减小。当时，位

12、移和应力分量皆趋近于零。说明此物体受力状态下的应力与位移均带有局部性质。（2）当时，各应力分量都趋于无限大。所以在集中力P作用点材料早已经进入塑性，由于实际荷载不可能加在一个几何点上，而实际上是分布在一个小面积上，由圣维南原理说明，只在要稍偏离接触区的地方，其计算公式依旧是正确的。（3）由应力计算公式（3-11），当z=0时半无限体边界处任一点的法向位移沉陷量为（4）由应力计算公式（3-12），z=0时半无限体边界上的各点应力为这说明，边界上各点受到纯剪切作用。（5）当r=0，R=z时，即在外力作用下z线上的各点，由式（3-12）其应力为说明在z轴上各点受到两向拉伸，一向压缩，它的主应力分别为

13、以绝对值比较，比径向及周向应力大得多。（6）压入深度与接触半径的关系：压入力F与接触半径a的关系：弹性范围内压入力F与压深H的为系：参考文献1金宏平,陈建国.刚性球与平面弹性接触的临界参数计算J.机械传动,2013,03:49-51+82.2王晓惠.刚性压头与弹塑性半空间相互作用的数值分析D.哈尔滨工业大学,2007.3陈聪,陈伟球.刚性球压头与压电半空间的接触问题再探J.力学季刊,2011,03:307-314.4陈伟球.刚性压头与压电材料的粘附接触A.中国力学学会.损伤、断裂与微纳米力学进展：损伤、断裂与微纳米力学研讨会论文集C.中国力学学会:,2009:8.5蔡敏,蔡键.球与弹性板的接触J.合肥工业大学学报(自然科学版),1996,04:46-53.6张宗贤,冯铭瀚,寇绍全.轴对称压头侵入岩石的力学分析J.凿岩机械与风动工具,1988,03:43-51+67.7李田军,鄢泰宁,勃其斯基.复合片