第三章_随机过程

1、严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程本章内容结构本章内容结构 3.1 3.1 概率论的基本概念概率论的基本概念 3.2 3.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 3.3 3.3 平稳随机过程平稳随机过程 3.4 3.4 高斯过程和高斯白噪声高斯过程和高斯白噪声 3.5 3.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统第三章第三章 随机过程随机过程严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程1 1、随机变量的统计特性（即概率分布）、随机变量的统计特性（即概率分布）（1 1）离散型随机变量）离散型随机变量常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为（2 2）连续

2、型随机变量）连续型随机变量只能用分布函数和概率密度函数来描述只能用分布函数和概率密度函数来描述+1 -10.5 0.5)( xPxF分布函数)()( xFxf概率密度函数3.1 3.1 概率论的基本概念概率论的基本概念严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程2 2、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征（1 1）数学期望）数学期望E(E(即平均值即平均值) )对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量：（2 2）方差）方差D D对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量：)()(1是常数记为axPxEniiidxxxfE)(niiixPax

3、D12)(dxxfaxD)()(2严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程噪声是一种随机信号；噪声是一种随机信号；通信中传递的信息也是随机的；通信中传递的信息也是随机的；为什么学习随机过程？为什么学习随机过程？随机过程随机过程3.2 3.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念指含有随机变量的时间函数指含有随机变量的时间函数严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程如有如有n n台性能相同、工作条件相同的通信机；用台性能相同、工作条件相同的通信机；用n n部记录仪记录各通信机的部记录仪记录各通信机的输出噪声输出噪声。 图中画出了其图中画出了其3 3个样本，这种随机过程的样本空个样本，这种随机过程的样

4、本空间有无穷多个。间有无穷多个。注意：每一个样本都是一个关于时间的函数注意：每一个样本都是一个关于时间的函数严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程随机变量和随机过程关系随机变量和随机过程关系关系：关系：随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程随机过程的数字特征随机过程的数字特征1 1、数学期望（均值函数）、数学期望（均值函数）的函数的函数的均值是一个关于时间的均值是一个关于时间随机过程随机过程)(t )()(tatE即即dxtxxftEtxf),()()(t),()(t11则则的概率密度函数的概率密度函数为为都是

5、连续的随机变量都是连续的随机变量若每一时刻对应的若每一时刻对应的，严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程2 2、方差、方差 随机过程的方差可由下式计算随机过程的方差可由下式计算)()( )( )(22tatEtDt或或记为记为)(),()()(t2122tadxtxfxt则则是连续的随机变量是连续的随机变量若每个时刻对应的若每个时刻对应的严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程3 3、自相关函数、自相关函数定义为：定义为：)()(),(2121ttEttR严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程) 1 , 0() 1 (212120, )2cos(2)(13REtt及及求求的的分分布布律律为为变变

6、量量，是是一一个个随随机机其其中中 设设随随机机过过程程- - 例例，函函数数定定义义解解：由由随随机机变变量量的的均均值值1)2cos210cos21(2 cos2)2(c2)1 (0EosEE严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程2)2cos210cos21(4 cos4 )2cos(2cos2 )1 ()0() 1 , 0(2022EEER严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程3.3 3.3 平稳随机过程平稳随机过程 严严( (狭义狭义) )平稳过程平稳过程任意任意n n维分布函数与时间起点无关维分布函数与时间起点无关),;,(),;,(21212121nnnnnntttxxxftttx

7、xxf严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程 宽宽( (广义广义) )平稳过程平稳过程（1 1） 均值函数为常数均值函数为常数（2 2） 自相关函数只与两个时间点之间的时间差自相关函数只与两个时间点之间的时间差 有关，而与时间起点无关有关，而与时间起点无关以后，以后，“平稳过程平稳过程”均指均指“宽平稳过程宽平稳过程”严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程平稳过程的各态历经性（遍历性）平稳过程的各态历经性（遍历性）如果统计平均时间平均，这个随机过程就叫做各态历如果统计平均时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程经的平稳随机过程用数学表示即用数学表示即)()()(1lim)()(1li

8、m)( )(22-1122-1RdttxtxTRadttxTtatETTTTTT严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程【例【例3-23-2】设一个随机相位的正弦波为】设一个随机相位的正弦波为；、，均为常数均为常数其中其中ccA)t(cos)( At是是 在在(02)内均匀分布的随机变量内均匀分布的随机变量。试讨论：（试讨论：（1）(t)是否广义平稳？是否广义平稳？ （2）(t)是否各态历经？是否各态历经？严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质StER)()0() 1 (2的

9、平均功率的平均功率 )(t)()()2(2tER的直流功率的直流功率 )(t222)()()()0()3(tEtERR的交流功率的交流功率 )(t)()()4( RR为为偶偶函函数数平平稳稳过过程程的的自自相相关关函函数数)0()()5(RR自自相相关关函函数数是是有有界界的的严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程平稳过程的自相关函数和功率谱密度的关系平稳过程的自相关函数和功率谱密度的关系 符合维纳符合维纳- -辛钦定理，即辛钦定理，即)(R)(P平稳过程的平稳过程的自相关函数自相关函数与与功率谱密度功率谱密度是一对付立叶变换是一对付立叶变换严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程3.4 3.4

10、 高斯过程和高斯白噪声高斯过程和高斯白噪声若一随机过程的任意若一随机过程的任意n n维分布都是高斯分布，维分布都是高斯分布，称为高斯过程称为高斯过程一、高斯过程的性质对高斯过程而言，对高斯过程而言，严平稳严平稳等价于等价于宽平稳宽平稳对高斯过程而言，对高斯过程而言，不相关不相关等价于等价于独立独立高斯过程高斯过程通过线性系统仍为高斯过程通过线性系统仍为高斯过程这些性质在考研试题中经常使用这些性质在考研试题中经常使用严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程二、高斯白噪声二、高斯白噪声 在时域上，随机变量是一个高斯随机变量在时域上，随机变量是一个高斯随机变量 在频域上，其功率谱是一个常数在频域上，其

11、功率谱是一个常数f)( fPn20n020nn为为，则单边带功率谱密度，则单边带功率谱密度度为度为注意：双边带功率谱密注意：双边带功率谱密严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程3.5 3.5 平稳过程通过线性系统平稳过程通过线性系统（重要章节）（重要章节）平稳过程通过线形系统（如平稳过程通过线形系统（如R/L/C/R/L/C/加法器加法器/ /延延时器等组成的电路）时时器等组成的电路）时, ,线性系统线性系统h(t)(ti)(tO输出随机过程与输出随机过程与输入随机过程输入随机过程的的关系关系? ?严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程关系关系1 1：)0()()(HtEtEiO关系关系2 2： 若输入过程平稳，则输出过程也平稳若输入过程平稳，则输出过程也平稳2)()()(HPPiO关系关系3 3（最重要，考试常用）（最重要，考试常用）：严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程例例1 1：将一个均值为：将一个均值为0 0，功率谱密度为，功率谱密度为的高斯白噪声通过理想低通滤波器，如下图所示：的高斯白噪声通过理想低通滤波器，如下图所示：（1 1）求输出的功率谱密度和自相关函数；）求输出的功率谱密度和自相关函数；（2 2）求输出过程的一维概率密度函数。）求输出过程的一维概率密度函数。20n)(fHfH-fHf1严谨 严格 求实 求是第三章 随机过程本章重点小结本章重点小结