第六章__对流换热基本方程

1、第六章第六章 对流换热基本方程对流换热基本方程 第六章第六章 对流换热基本方程对流换热基本方程 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 4如果研究对象取控制体，则有4 (6-1-1)4假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体为xy，点(x，y)处的速度为u和v，控制体内的质量为xy。方程(6-1-1)应用于该控制体中，得到4 (6-1-2) cvmminoutmqqt()()()uvx yu yv xuxyvyxxy 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 4通过消去控制体体积xy，得到4 (6-1-3)4对于三维流动，类似地可以得到4 (6-1-4)4这就是流体的连续性方

2、程，用矢量形式表示，则为4 (6-1-5)4式中div表示散度，即4 (6-1-6) ()()0uvxy()()()0uvwxyz()0divV()()()uvwdivVxyz）4局部的质量守恒表达式也可以写为4 (6-1-7)4即 4其中 为全导数，即4 (6-1-8)4 为当地变化率。V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变为 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 ()0uvwuvwxyzxyz0DVD DDDuvwDxyz4 (6-1-9)4也可以用张量形式写出连续性方程，即4 (6-1-10)4其中i1，2，3。4对于不可压流体，密度为常量， 0，则连续性方程为4 (6

3、-1-11) 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 0DdivVD()0ivxDD0uvwdivVxyz4将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。4考虑作用于控制体上的力平衡，有4 (6-2-1)4式中，n表示所讨论的方向。4有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。4图6-2给出了二维有限控制体的动量变化和作用力分析，将式(6-2-1)应用于x方向，得到4 (6-2-2) 6-2 动量方程动量方程 ()()()ncvmnmninoutMvq vq v

4、222()()()()()0 xyxxxxyxyxu x yuyuuxyuv xuvuvyxxyyxyxyFx yxy 6-2 动量方程动量方程 图6-2 二维控制体在x方向上的力平衡 4等式两边同除以，得到4 (6-2-3)4考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有4 (6-2-4)4式(6-2-4)中的法向应力 和切向应力 由下式给出：4 (6-2-5) 4 (6-2-6) 6-2 动量方程动量方程 ()xyxxDuDuvuFDDxyxy xyxxDuFDxy yxy22()3xuuvPxxy()xyuvyx4将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克斯方

5、程：4 (6-2-7)4如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为4 (6-2-8)4下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维-斯托克斯(N-S)方程：4 (6-2-9)4 (6-2-10) 6-2 动量方程动量方程 22()()3xDuPuuvuvFDxxxxyyyx 2222()()xuuuPuuuvFxyxxy 222222()()xuuuuPuuuuvwFxyzxxyz 222222222222()()()()yzvvvvPvvvuvwFxyzyxyzwwwwPwwwuvwFxyzzxyz 4为简洁，可以表示为向量形式：4 (6-2-12)4由热力学知 (6-2-13)

6、4一般 ， 不为零，但dP、dT较小时可以认为d0, =常数。 6-2 动量方程动量方程 2DVFPVD ( , )f P T()()TPddPdTPT()TP()PT4 6 -3 能量方程能量方程 convconddQdQdWdE6 -3 能量方程能量方程 图6-3 控制体能量平衡 46-3 -1 热对流携的净能量热对流携的净能量 4单位质量流体的总能量e 由热力学能与宏观动能组成，称为总能：4 (6-3-2) 4x 方向流体携入控制体的净能量为uedydz与 之差，即 4类似地可以得到y 、z方向流体净携入的能量为4 和 4因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或6 -3 能

7、量方程能量方程 12eU222（u +v +w ）dxdydz( ue)uedydz+xdxdydz( ue)xvdxdydzy(e)wdxdydzz(e)convuvwdQdxdydzxyz (e)(e)(e)46 -3 -2 通过导热在界面导的净能通过导热在界面导的净能4x方向净导能量为4 与 之差，即4 由傅里叶定律6 -3 能量方程能量方程 xq dydz()xxqqdx dydzxxqdxdydzxxTqx 6 -3 能量方程能量方程 4因而x方向净导的能量可写为：4 类似的，y、z方向的净导的能量为：4 和 ()Tdxdydzxx()Tdxdydzyy()Tdxdydzzz6 -3

8、 能量方程能量方程 46-3-3 控制体内总能控制体内总能t 随时间的变化率随时间的变化率4控制体内总能量随时间的变化率为4能量守恒方程4 (6-3-5) 4dW 将在后面详细讨论。引入连续性方程，上式整理为4 (6-3-6) 4也可以将总能量分为热力学能和动能即4 (6-3-7) () edEdxdydz()()()()()()()ueveweTTTdxdydzdxdydzdWxyzxxyyzzedxdydz()()()DeTTTdxdydzdxdydzdWDxxyyzz12eU222（u +v +w ）6 -3 能量方程能量方程 46-3-4 界面上作用力对流体作的功界面上作用力对流体作的

9、功4作用力由表面力(粘性力和静压力)和体积力组成。x方向的净功为4类似地，y、z方向作用力的净功为4三项之和为总功dW。 xpF u dxdydzxyzxyxxxzx（u）（u）（u）（ u）ypvF v dxdydzxyzyxyyyzy（v）（v）（w）（）zpwF w dxdydzxyzzyzzyxz（w）（w）（w）（）6 -3 能量方程能量方程 4dW 减去x、y 和z方向的动量方程分别乘以u、v、w和dxdydz 的积，可以得到 4 (6-3-8) 4定义上式等号右边方括号内各项为，则方程简化为4 (6-3-9) 2221()2()()()()xxyxzxxyyyzyxzyzzzDd

10、WuvwdxdydzDuuuvvvwwwdxdydzxyzxyzxyzuvwpdxdydzxyz2221()()2DuvwdWuvw dxdydzdxdydzpdxdydzDxyz6 -3 能量方程能量方程 4即，体积力和表面力所作的功等于流体动能的变化、体积变形时压力作的功和耗散之和。整理可得4 (6-3-10) 4称为能量耗散函数它是单位时间作用在控制体上的(法向和切向)粘性力由于摩擦而作的功转变为热能的部分，可以表示4 (6-3-11) 4对于不可压缩流体，divV = 0 ，有关项可以略去。低速流动时，耗散项很小，可以不计。能量方程也可以通过焓的形式变换，得到温度形式的能量方程。热力学

11、定义焓为4 (6-3-12) ()()()()DUTTTuvwpDxxyyzzxyz22222222()()()()3vwuvuwvwyzyxzxzyy222uuvw（） （） （）xxzphU6 -3 能量方程能量方程 4 (6-3-13) 4焓是热力学状态函数，可以写为h = h( T , p )。则4 (6-3-14) 4由热力学微分关系式，得4 (6-3-15) 4定义体胀系数 ，得到 21DhDUDpp DDDDD()()()pTpThhhdhdTdpc dTdpTpp1()1()TphTpT1()vpT 6 -3 能量方程能量方程 4 (6-3-16) 4将式(6-3-13 )、(

12、6-3 -16 )代入式(6 -3 -10 ) ，经整理得到能量方程4 (6-3-17)4对于理想气体， ，上式简化为1(1)pvdhc dTT dp()()()pvDTTTTDpcTDxxyyzzD1vT()()()pDTTTTDpcDxxyyzzD6 -3 能量方程能量方程4对于不可压缩流体，v = 0，若忽略耗散函数，式(6-3-17 )变为：4 其向量形式为4 (6-3-20) 4热物性是常数时，可以写为4 (6-3-2 1) ()()()TTTxxyyzzpDTcD （T）2pDTcTD 6-4 熵方程熵方程 4与连续性方程的推导类似，可以得到控制体的熵方程4 (6-4-1) 4式中

13、：s 是比墒；divs是单位时间控制体内的熵流； 是熵产。4对于可逆过程，由热力学知 4 (6-4-2) DsdivssD s1()TDsDUpd6-4 熵方程熵方程 4实际热力过程都是不平衡过程，但分析是基于局部热力学平衡假设，式(6-4-2 )仍然适用。将式(6-3-10 )代上式，得到4 (6-4-3 ) 4因为 4得到 ( 6-4-4 ) 4 DsdivqTD 221()qTdivdivqTTT22()()DsqTdivDTTT 6-5 方程的封闭与求解方法方程的封闭与求解方法 6-5 方程的封闭与求解方法方程的封闭与求解方法 6-6 数量级分析数量级分析 4以一维非稳态导热为例说明数

14、量级分析。假设厚度为2的平板，温度为t0，放入温度为t的流体中，若流体与固体的换热很好，固体表而温度立刻达到流体温度t，试估计平板中心感受到外部影响所需的时间。 6-6 数量级分析数量级分析 4考虑平板的对称性，只需研究平板的一半，即厚度为。能量方程如下： 4 (6-6-l) 4估计各项的数量级大小。左侧 4 (6-6-2) 4右侧 4 (6-6-3) 22pttcxppttcc222()ttttxxx 6-6 数量级分析数量级分析 4考虑式(6-6-2)与式(6-6-3 )相等，得到 4 (6-6-4) 4式中， ，是热扩散率。4可见，通过数量级分析可以十分简单地获得渗透时间的数量级，与傅里叶分析相比，两者吻合得很好，但计算量则少得多。数量级分析的突出特点，是在众多的影响因索中可以给出主导过程特性的物理量，这一点将在以后的分析中更清楚地表明。数量级分析法则如下：4( 1 ) 通常要确定数量级分析的区域空间，例如前面讨论的非稳态导热的，或边界层流动的。4( 2 ) 任何方程中至少有两个数量级相等的主要控制项。2apac6-6 数量级分析数量级分析 4( 3 ) 如果两项之和4c = a+b (6-6-5) 4中一项远大于另一项，即4O(a) O(b) (6-6-6) 4则和的数量级大小由主要项决定：4O(c) O(a) (6-6-7)4C = a