第6章弯曲内力材料力学

1、第第6章章 弯曲内力弯曲内力6.1平面弯曲的概念和梁的计算简图平面弯曲的概念和梁的计算简图6.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图6.4 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系载荷集度、剪力和弯矩之间的关系6.2 弯曲时横截面上的内力弯曲时横截面上的内力剪力和弯矩剪力和弯矩 6.6.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线外力或作用面垂直于横截面的外力偶的作用：在垂直于杆轴线外力或作用面垂直于横截面的外力偶的作用下，杆的轴线由直线变为曲线的变形形式。下，杆的轴线由直线变为曲线的变形形式。 2、梁、梁：以弯曲变形为主要变形的杆件以弯曲变形为主要变

2、形的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。并不作用在纵向对称面内的弯曲。6

3、.1平面弯曲的概念和梁的计算简图平面弯曲的概念和梁的计算简图弯曲内力弯曲内力FqFAFB纵向对称面纵向对称面 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面力系。6.1.2 梁的计算简图梁的计算简图 梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 弯曲内力弯曲内力2.载荷的简化载荷的简化(1)集中载荷集中载荷F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(2)分布载荷分布载荷q(x)任意分布载荷任意分布载荷q均布载荷均布载荷(3)集中力偶集中力偶载荷集度：单位长度上的载荷大小。单位：载

4、荷集度：单位长度上的载荷大小。单位：N/m1.梁的简化弯曲内力弯曲内力3.梁的种类梁的种类（1)可动铰支座可动铰支座（2)固定铰支座固定铰支座（3)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM梁梁的类型的类型(2)悬臂梁悬臂梁(1)简支梁简支梁(3)外伸梁外伸梁静定梁与静不定梁支座形式支座形式6.2 弯曲时横截面上的内力弯曲时横截面上的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲内力弯曲内力求内力方法：截面法。步骤：求内力方法：截面法。步骤：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABaxAQQAyFFFFF0:0 xFMxFMMAAC0:0 xAFQFMCFQFMBFCABQBQyFFFFFFFF0:0 xFx

5、lFxFMxlFxFMMABBC0:06.2.1 剪力和弯矩的概念剪力和弯矩的概念6.2.2 剪力和弯矩的计算剪力和弯矩的计算弯曲内力弯曲内力 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFQFQFQFQ 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之

6、为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负6.2.2 剪力和弯矩的符号规定剪力和弯矩的符号规定2112m22mq3m5mFABM2m2mCDqFABMFRAFRBq3mFQ1AFRAM1Cq5mFQ2AFRAM2DFFBMFRBM1FQ1CBMFRBM2FQ2D例例6-1一简支梁受集中力F1=4kN、集中力偶M=4kNm和均布载荷q=2kN/m的作用，如图所示，试求1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。 解解：（1）计算支座反力 取梁AB为研究对象 kN6ARFkN2BRF（2）计算截面上的剪力和弯矩 取截面1-1左段为研究对

7、象 kN21QFmkN101M 取截面2-2左段为研究对象 kN22QFmkN102M若取右段为研究对象解得结果相同 （1） 剪力：截面以左向上的外力或截面以右向下的外力产生正剪力（简称左上右下生正剪）；反之为负。（2） 弯矩：向上的外力或截面以左顺时针转向的外力偶或截面以右逆时针转向的外力偶产生正弯矩（简称左顺右逆生正弯矩）；反之为负。 根据剪力和弯矩的符号规定，可直接由外力得出。弯曲内力弯曲内力)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN711FFMFFFAAQmkN3025 . 15

8、. 15 . 1kN115 . 122qFMFqFBBQ例例 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1与与2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。弯曲内力弯曲内力2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAQ1F1MFBq=12kN/mQ2F2M)()(xMMxFFQQ1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。

9、方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。6.3 6.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 弯曲内力弯曲内力例例 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。qlABxFAyFBy解：解： 1、求支反力、求支反力2qlFFByAy由对称性知：2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程)0(222)()0(2)(22AyAyQlxqxqLxqxxFxMlxqxqlqxFxF822maxmaxqlMqlFQFQM8/2ql+ql/2ql/2 例例6-3 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集

10、中力点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。作该梁的剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。弯曲内力弯曲内力FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFByAy；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段111110)(0)(:AyAyQ1xFAyFBy lxaxllFaxlFxMl

11、xalFaFxFCB段2222)()(:AyByQ2FQlFb/lFa/MFab/l弯曲内力弯曲内力 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例例6-4 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力偶偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllMxlF

12、xMlxalMFxFCB段BBS)()(:FQlM /MlMa/lMb/弯曲内力弯曲内力例 图示悬臂梁，受均布荷载均布荷载q和集中和集中力偶力偶M=qa2的作用。试建立梁的剪力的作用。试建立梁的剪力与弯矩方程，并作剪力与弯矩图。与弯矩方程，并作剪力与弯矩图。解：解： 1、计算支反力、计算支反力2；2CqaMqaFCy2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axqxxMaxqxxFAB段12111102)(0)(:Q1axqaqaxxMaxqaxFBC段2222202)(0)(:Q23.画剪力图与矩图画剪力图与矩图一一xFQqax1qaaABx2CFCyMCM=qa2+一一Mxqa2/

13、2qa2/2qa2/2弯曲内力弯曲内力例 图示简支梁，跨度l，载荷F可移动，试问：（1）载荷位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力值。（2）载荷位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩值。解：解： 1、梁的剪力与弯矩图、梁的剪力与弯矩图lFlFAy)(支反力剪力与弯矩图如图剪力与弯矩图如图)2/0()()(时当最大剪力llFlFQ)-1)(MlF（最大弯矩2.剪力与弯矩最大值FFlQmax,时，（或当)04/2/maxFlMl时，当微分关系微分关系 1.假设：规定假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其向上为正，向下为负；任取微段，认为其上上q(x)为常数，无集中力

14、、集中力偶；内力作正向假设。为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 2.微分关系推导：微分关系推导：6.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系弯曲内力弯曲内力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)()(0)()()()(0 xqxxFdxxqxFxFxFFydddQQQQ：)()(0)(21)()()()(02xFxxMxqdxxFxMxMxMMdxOQQddd：)(d)(d22xqxxM1.微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小；弯矩图上

15、某点剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：利用剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系利用剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系绘制剪力、弯矩图绘制剪力、弯矩图弯曲内力弯曲内力外力情况外力情况q0(向下向下)无载荷段无载荷段集中力集中力F作用处：作用处：集中力偶集中力偶M作用处：作用处：剪力图上的特征剪力图上的特征(向下斜直线向下斜直线)水平线水平线突变方向与力方突变方向与力方向同向同，突变值为突变值为F不变不变弯矩图上的特征弯矩图上的特征(上凸抛物线上

16、凸抛物线)斜直线斜直线有有尖点尖点有有突变突变，逆转力偶向逆转力偶向下下突变，突变值为突变，突变值为M最大弯矩可能的最大弯矩可能的截面位置截面位置剪力为零的截面剪力为零的截面剪力突变的截面剪力突变的截面弯矩突变的某一侧弯矩突变的某一侧3.其它规律其它规律： |M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； q方向突变，剪力图有尖点，弯矩图有凹凸性反转拐点；方向突变，剪力图有尖点，弯矩图有凹凸性反转拐点； 荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对

17、称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积等于两截面间剪力图的面积 例例6-5 悬臂梁如图所示，自由端受集中力F作用，梁的BC段受均布载荷作用，已知F=3kN，q=3kN/m，试绘制此梁的剪力图和弯矩图。 解解 ：（1） 作剪力图 在A截面上有一向上作用的集中力F，剪力图向上突变kNFFQA3AC段无分布载荷，剪力图为一水平直线，其值为 FQ=F=

18、3kNBC段有向下均布载荷作用，故剪力图为一向下倾斜直线 kNBCqFFQBQc9433（2）作弯矩图 最大剪力发生在固定端C，其值为 kNFQ9maxAB段无载荷作用，故弯矩图为一斜直线 kNFMmxB6232,2BC段上有均布载荷作用，故弯矩图为一抛物线 mx2mkNMB 6mx6mkNqFMC624363246mxD3mkNqFMMD5 . 75 . 013335 . 013max均布载荷区间剪力为零截面此即全梁的最大弯矩 qABCFFRCmc2m4mFQx3kN9kNMx6kNm3m7.5kNm6kNm例例6-6 外伸梁及其所受载荷如图所示，试作梁的剪力图和弯矩图。 解解：求反力 kN

19、FAR7kNFBR5kN70RAQAFF作剪力图kN3417aqFFRAQCkNFFFQCQC1231kNaqFFQCQD3411kNFFFQBQDQD3kNFFFRBQBQB253kNFFQBQE2_作弯矩图mkNMC202414724)37(剪 力为零截面 x=5mmkNMF5 .2021120mkNMD162335 .20mkNMD61016mkNMB64360236EM弯曲内力弯曲内力q=1kN/mm=10kN mF1=2kNF2=2kNFRBFRAABCDE4m4m4m3mFQ7kN3kN1kN3kN2kN5mM20.5kNm16kNm6kNm6kNm弯曲内力弯曲内力解：解： 1、求

20、支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，FS图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0， FS 图为向下斜直线，图为向下斜直线， M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线条连接。FQ+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.831.412.2FAFB例例 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FQ-M图。图。_+弯曲

21、内力弯曲内力例 图示简支梁，在截 面B与截面C各受力F。利用剪 力、弯矩与载荷集度间微分关系 绘制梁 的力与弯矩图。解：解： 1、计算支反力、计算支反力FFFDyAy2、画剪力图3、画弯矩图纯弯曲：横截面上只有弯矩，没有剪力的弯曲FFFFFQCQBQA, 0,0011DCCDBAMFlMMFlMMMFAyFDyFFABCDll1l1一+FFxFQ+Fl1xM例 图示组合梁，受力F和力偶Mc=Fa作用，试画梁的剪力图与弯矩图。弯曲内力弯曲内力 解：解： 1、计算支反力、计算支反力FaMFFFFFBByCyAy222、画剪力图FFFFQCQA2,3、画弯矩图FaMMMFaMBCCA2, 00,例

22、图示简支梁，右半段受均布载荷q作用，试作剪力与弯矩图。弯曲内力弯曲内力解：解： 1、计算支反力、计算支反力83,8qlFqlFByAy1.先利用计算法则计算分段点先利用计算法则计算分段点FQ、M值；值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的利用微分关系判断并画出分段点之间的FQ、M图。图。 利用微分关系作剪力与利用微分关系作剪力与 弯矩图弯矩图2、计算剪力与弯矩 8/3, 8/qlFqlFFFQBQCQCQA0,16/, 02BCAMqlMM3、判断剪力、弯矩图形状4、画剪力与弯矩图D截面处：x=3l/812892qlMD例 试图示梁的Q、M图解：1）求支反力3/43/5qaRqaRBA2）列

23、Q、M方程)0(35)()0(35)(1111111axqaxxMaxqaxQAC段)()()()()()(axaaxqqaxqaxMaxaaxqqaxQCD221322322222222222 段段)()()()()()()(axaxaqxaqaxMaxaxaqqaxQDB32321334323343233333333 段段3）作Q、M图4）导数关系检查5）求Qmax、Mmax9/173/52maxmaxqaMqaQ弯曲内力弯曲内力DABqaF 20qaM CaaaRARBq+一qa35qa32qa34a35+235qa2917qa2611qa265qa例 利用微分关系作图示梁的Q、M图解：

24、1）求支反力2/2/7qaRqaRBA2）分段计算各控制面Q、M值3）利用导数关系作Q、M图4）求Qmax、Mmax2maxmax22qaMqaQ弯曲内力弯曲内力DABqaF220qaM CaaaRARBq+一2qa3qa/2qa/2a/2一2qa2qa2qa2/8mkNMc5 . 2mkNMB4作图示外伸梁的弯矩图kNFkNFRBRA5 .10,5 . 2作图示外伸梁的弯矩图，已知F=200kN，a=0.3m，l=0.5mmkNaFMB60弯曲内力弯曲内力CABm19kN1Fm1m14kN2FD+一4kNm2.5kNmxMOABlaFC一60kNm例6-7:作图所示刚架的轴力图，剪力图和弯矩

25、图。 刚架:由一些杆件作刚性联接所组成的结构 ，在联接处不能有任何的相对位移和转动，这种联接称为刚节点。 刚架横截面上的内力一般有：轴力、剪力、和弯矩。对于静定刚架，内力可由静力平衡方程确定。在绘制刚架的弯矩图时，约定把弯矩图画在杆件弯曲变形凹入的一侧，亦即画在受压一侧，而不再考虑正负号 ABg CllFAxFAyFRBql/2FN图qlql/2FQ图解: 求支反力 qlFAx2qlFBR2qlFFBRAy 将AC段及CB段坐标原点分别设在A点和B点，并设截面至原点的距离分别为x1及x2。可列出两段的内力方程如下： 21qlFFAyN)0(1lx 111qxqlqxFFAxQ)0(1lx 22

26、2111111qxqlxxqxxFMAx)0(1lx CB段 02NF)0(2lx 22qlFFBRQ)0(2lx 2222xqlxFMBR)0(2lx 画内力图 M图当变形为微小时，可采用变当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。形前尺寸进行计算。1、叠加原理叠加原理：当梁在各项：当梁在各项荷载作用下某一横截面上荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩用下同一横截面上的弯矩的代数和。的代数和。2、区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷设简支梁同时承受跨间荷载载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的作用的作用。其弯矩图可由简支梁受端部。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：图叠加得到。即：按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图+MAMBM0+MAMBM0弯曲内力弯曲内力 xMxMxM0BMAAqMBlB 注意注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。而不