第1章线性空间与内积空间

1、第第1 1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间 本章将介绍两个内容，线性空间与内积空间，它们是矩本章将介绍两个内容，线性空间与内积空间，它们是矩阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念线性空间是阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念线性空间是线性代数中向量空间概念的推广，而内积空间是不仅有代数线性代数中向量空间概念的推广，而内积空间是不仅有代数结构，而且同时有拓扑结构的一种特殊的空间它们都具有结构，而且同时有拓扑结构的一种特殊的空间它们都具有广泛的应用广泛的应用1.1 1.1 线性空间线性空间 在线性代数中，我们把在线性代数中，我们把n元有序数组称为元有序数组称为n维向量，维向量， 并

2、并对对n维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下满足八条基本的运算规律，称为满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间事实上，我维向量空间事实上，我们不难发现，还有许多集合，比如们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩阶方阵的全体，关于矩阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律这阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律这里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共同点，就是在非空集合与数域同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两上定义了两种运

3、算，且这两种运算满足八条性质将此抽象可给出线性空间的概念种运算满足八条性质将此抽象可给出线性空间的概念1.1.1 线性空间的概念线性空间的概念 下面看一些例子下面看一些例子 注意注意在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而得到不同的线性空间得到不同的线性空间 对于线性空间中零元素与负元素有如下性质对于线性空间中零元素与负元素有如下性质1.1.2 线性空间的性质线性空间的性质 设设V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间， ，进一步可证明，进一步可证明如下性质如下性质 PkV , 1.1.3 线性空间中向量的线性相关性线性空间中向量的线性相关性 n维

4、向量空间维向量空间Rn及其子空间的基与维数的概念，可以推及其子空间的基与维数的概念，可以推广到一般的线性空间中广到一般的线性空间中1.2.1 基与维数的概念基与维数的概念 若线性空间若线性空间V中能求得任意个数的线性无关的向量，则中能求得任意个数的线性无关的向量，则称称V为为无限维的线性空间无限维的线性空间本书主要讨论本书主要讨论有限维线性空间有限维线性空间 1.2 1.2 线性空间的基与维数线性空间的基与维数 一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量量可由这组向量中其他向量线性表示，反

5、之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必线性相关不难推知，线性无具有这一性质，则这组向量必线性相关不难推知，线性无关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向量线关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向量线性表示性表示. 例例1.2.3 零空间的维数是零零空间的维数是零 （1）向量在给定基下的坐标）向量在给定基下的坐标1.2.2 坐标的概念坐标的概念 从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的向量在不同基下的坐标一般是不相同的 （2）向量线性运算的坐标表示）向量线性运算的坐标表示 前面讲到，前

6、面讲到， 一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性空间的两个基来说，同一个向量的坐标一般是不相同的空间的两个基来说，同一个向量的坐标一般是不相同的 那那么它们之间有怎样的关系呢么它们之间有怎样的关系呢? 下面讨论这个问题下面讨论这个问题 （1）基变换、过渡矩阵的概念）基变换、过渡矩阵的概念 以下我们来讨论，一个向量关于不同的基的坐标的关系以下我们来讨论，一个向量关于不同的基的坐标的关系 1.2.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 （2）坐标变换公式）坐标变换公式1.2.4 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 由此可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线由此

7、可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程性代入过程 过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系，这是一过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系，这是一个很重要的概念，下面进一步讨论过渡矩阵的一些性质个很重要的概念，下面进一步讨论过渡矩阵的一些性质 . 前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标本节将对线性空间的子空间做一些介绍标本节将对线性空间的子空间做一些介绍1.3.1 线性子空间的概念线性子空间的概念 定义定义1.3.1设设W是线性空间是线性空间V的一个非空子集合，如果的一个非空子集合，如果W对于对于V中所定义的加法和数乘两

8、种运算也构成一个线性空中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称间，则称W是是V的的线性子空间线性子空间 . 根据上述定义，要验证线性空间根据上述定义，要验证线性空间V的非空子集合的非空子集合W是是V的的子空间，需验证子空间，需验证W对于对于V中运算封闭且满足运算规律（中运算封闭且满足运算规律（3）、）、(4)即可因为运算规律（即可因为运算规律（1）、（）、（2）、（）、（5）、（）、（6）、）、（7）、（）、（8）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只要要W对于对于V中运算封闭，运算规律（中运算封闭，运算规律（3）、）、(4)也就自然满足

9、，也就自然满足，故有下面定理故有下面定理 .1.31.3线性子空间线性子空间 定理定理1.3.1线性空间线性空间V的非空子集的非空子集W构成构成V的子空间的充的子空间的充分必要条件是：分必要条件是： W对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭 根据上述定理，设根据上述定理，设V是线性空间，是线性空间，0为为V的零元素，那么的零元素，那么W=0就是就是V的一个子空间的一个子空间 当然当然V也是也是V的子空间的子空间1.3.2 子空间的交与和子空间的交与和 前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子

10、空间的基为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子空间的基和维数和维数 .1.3.3 子空间的基和维数子空间的基和维数 以下我们将这一部分做一个小结以下我们将这一部分做一个小结 线性空间是解析几何中空间概念的推广，然而在线性空线性空间是解析几何中空间概念的推广，然而在线性空间中缺少向量的度量的概念，例如向量的长度与夹角间中缺少向量的度量的概念，例如向量的长度与夹角 我们我们将在本节中引入这些重要的概念将在本节中引入这些重要的概念 .1.4 1.4 内积空间内积空间1.4.1 内积的定义与性质内积的定义与性质 线性空间中确定了向量的长度与向量的夹角之后，就可线性空间中确定了向量的长度与向量的夹角之后，就可以对向量的正交性进行讨论了以对向量的正交性进行讨论了 例例1.4.6 零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交 .1.4.2 向量的正交性与施米特（向量的正交性与施米特（Schmidt）正交化方法）正交化方法1.4.3 空间的正交分解空间的正交