高中数学解析几何知识点大总结

1、高中数学解析几何知识点大总结第一部分 :直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围： 01802.斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.k t an（ 1） .倾斜角为 90 的直线没有斜率。（2） .每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在 )，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在 这两种情况，否则会产生漏解。（ 3）设经过 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 两点的直线的斜率为 k ，则当 x1x2 时， k t

2、any1y2 ；当 x1x2 时，90o；斜率不存在；x1x2二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（ x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x0 ；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为 k ，则直线方程： ykxb ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kx注意：正确理解“ 截距 ”这一概念，它具有 方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过(x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 两点，且（ x1

3、x2 , y1y2 则直线的方程：yy1xx1 ；y2y1x2x1注意：不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式( x2 x1 )( y y1 ) ( y2 y1)( xx1)0 时， 方程可以适应在于任何一条直线。4截距式：若已知直线在x 轴， y 轴上的截距分别是a ， b （ a0, b 0 ）则直线方程：xy；a1b- 1 -注意： 1） .截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式： 任何一条直线方程均可写成一般式：AxByC

4、0 ；（ A, B 不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数 A, B, C 是否为 0 才能确定。B,A指出此时直线的方向向量：(B, A)， ( B,A)，A2B2（单A2B 2位向量）；直线的法向量：( A, B) ；（与直线垂直的向量）6(选修 4-4)参数式xx0at(a, b) ，yy0（ t 参数）其中方向向量为bta,bb| t |单位向量a2a2b2； ka ； | PPo |a2b2 ；b2点 P1 , P2 对应的参数为 t1 ,t 2 ，则 | P1P2 |

5、t1t2 |a2；b2xx0t cos（ t 为参数）其中方向向量为(cos, sin) ， t 的几何意义为 | PPo | ；斜率yy0t sin为 tan；倾斜角为(0) 。三、两条直线的位置关系位置关系l1 : yk1 xb1l1 : A1 xB1 yC10l 2 : y k2 x b2l 2 : A2 xB2 y C20平行k1k2 ，且 b1b2A1B1C1 (A1B2-A2B1=0)A2B2C 2重合k1k2 ，且 b1b2A1B1C1A2B2C2相交k1k2A1B1A2B2垂直k k21A AB B 011212设两直线的方程分别为：l 1 : yk1 xb1 或 l1 : A

6、1 x B1 yC10 ；当 k1k2 或l 2 : y k2 x b2l 2 : A2 x B2 y C20- 2 -A1 B2 A2 B1 时它们相交， 交点坐标为方程组yk1 xb1 或A1x B1 yC10解；yk2 x b2A2 x B2 y C 20注意： 对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如： (A1, B1 )(A2, B2)对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如 (A1, B1) (A2,B2 )0若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0，则两直线垂直。对于A1 A2 B1B2 0 来说，无论直线的斜率存在与否，该

7、式都成立。因此，此公式使用起来更方便斜率相等时，两直线平行( 或重合 ) ；但两直线平行( 或重合 ) 时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（ 1） l1 到 l 2 的角：把直线l1 依逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转的角；它是有向角，其范围是 0；注意： l1 到 l 2 的角与 l 2 到 l1 的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；绕“定点”是指两直线的交点。（ 2）直线 l1 与 l 2 的夹角：是指由l1 与 l 2 相交所成的四个角的最小角( 或不大于直角的角) ，它的取值范围是0；2（ 3）设两直线方程分别为：l1 : yk1 xb1 或 l 1 :

8、 A1 xB1 yC10l2: y kx bl2: A x B y C202222 若为 l1 到 l 2 的角 ， tank2k1或 tanA1B2A2B1 ；1 k2k1A1A2B1 B2为 l1 和 l 2 的夹角 ，则 tank2k1或 tanA1 B2A2 B1 若1 k2 k1A1 A2；B1B2当 1k1 k20或 A1A2 B1B20 时，90o ；注意：上述与 k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线 l1 到 l 2 的角与 l 1 和 l 2 的夹角：() 或() ；22五、点到直线的距离公式：- 3

9、 -1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : AxByC 0 的距离为： d| Ax0 By0C |A2B2；2. 两平行线 l1 : AxBy C10 ， l 2 : AxByC20的距离为： d| C1C2 |A2；B 2六、直线系：（ 1）设直线 l 1 : A1 xB1 y C10 ， l 2: A2 xB 2y C 20，经过 l 1 , l2 的交点的直线方程为 A1 xB1 y C1( A2 xB2 yC2 )0 （除去 l2 ）；如： y kx1y 1kx0 ，即也就是过 y10 与 x 0 的交点 (0,1)除去 x0 的直线方程。直线 l : (m1)x(2m1)

10、 ym 5 恒过一个定点。注意：推广到过曲线f1 ( x, y)0 与 f 2 ( x, y)0 的交点的方程为：f1 ( x) f (x2 )0 ；（ 2）与 l : AxByC0 平行的直线为 AxByC10 ；（ 3）与 l : AxByC0 垂直的直线为 BxAyC10 ；七、对称问题：（ 1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b) 关于 C (c, d ) 的对称点(2ca,2db)直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用l1 / l 2 由

11、点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线 l1 : 2x3y 6 0 关于点 P(1,1) 对称的直线 l 2 的方程。（ 2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点A( 3,5) 关于直线 l : 3x4 y40对称的坐标。- 4 -直线关于直线对称： （设 a,b 关于 l 对称）、若 a, b 相交，则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；若 a / l ，则 b / l ，且 a, b 与

12、l 的距离相等。、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。、 设 P( x, y) 为所求直线直线上的任意一点，则 P 关于 l 的对称点 P' 的坐标适合a 的方程。如：求直线a : 2xy40 关于 l : 3x4 y10 对称的直线 b 的方程。八、简单的线性规划：（ 1）设点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : AxByC0 ， 若 点 P 在 直 线 l 上 ， 则 Ax0By0C0 ； 若 点 P 在 直 线 l 的 上 方 ， 则B( Ax0By0C )0 ；若点 P 在直线 l 的下方，则 B( Ax0By0C)0 ；（ 2）二

13、元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式Ax By C 0(0) ，当 B0时，则 AxBy C0 表示直线 l : AxBy C0 上方的区域；Ax ByC0 表示直线 l : AxBy C0 下方的区域；当 B0时，则 AxBy C0 表示直线 l : AxBy C0 下方的区域；Ax ByC0 表示直线 l : AxBy C0 上方的区域；注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线 AxByC 中，根据0 或 0 来表示二元一次不等式表示平面区域。（ 3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解( x, y) 叫做可

14、行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当B0 时，将直线AxBy0 向上平移，则zAxBy 的值越来越大；直线 AxBy0 向下平移，则zAxBy 的值越来越小；- 5 -当 B0时，将直线 Ax By0 向上平移，则 z AxBy 的值越来越小；直线 AxBy 0 向下平移，则zAxBy 的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数z xay 取得最小值的最优解有无数个，则a 为；yC(4,2)第二部分：圆与方程2.1 圆的标准方程： (x a)2( yb) 2 r 2圆心 C (a, b) ，半径 r

15、OA(1,1)B(5,1)x特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： x 2 y 2r 2.2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：(1) 点在圆上d=r ； (2)点在圆外d r ； (3)点在圆内dr 2.给定点 M ( x 0 ,y 0 ) 及圆 C : (xa) 2( yb) 2r 2 .M在圆C内( x0 a) 2 ( y 0 b)2 r 2 M 在圆 C 上 （x0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2M 在圆C外(x0 a)2 ( y0 b) 2 r 22.3圆的一般方程：x 2 y 2DxEyF0.当 D 2E24F0 时，方程表示一个圆，其

16、中圆心CD ,E，半径 rD 2E2 4F.222当 D 2E 24F0 时，方程表示一个点D ,E.22当 D 2E24F0时，方程无图形（称虚圆） .注：（ 1 ）方程 Ax2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的充要条件是：B 0且 A C0且D 2E 24 AF0 .圆的直径系方程：已知AB是圆的直径A(x1 , y1 )B( x 2 , y2 )(x x1)( x x 2 ) ( y y 1)( y y 2 ) 02.4直线与圆的位置关系：直线 AxByC0与圆 ( xa) 2( y b)2r 2 的位置关系有三种， d 是圆心到直线的距离，AaBbC( dA2B 2(1)dr相离0；

17、(2)dr相切0； （3）dr相交0 。2.5两圆的位置关系- 6 -设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为 r 1， r2 ， O O2d 。1（1） dr1r2外离4条公切线 ；（ 2） dr1r2外切3条公切线 ；（3） r1r2dr1r2相交2条公切线 ；（ 4） dr1r 2内切1条公切线 ；（5） 0dr1r2内含无公切线 ；外离外切相交内切内含2.6 圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（ 2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆 x2 y 2 r 2 的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是 y kx1 k2 r 过 圆 x 2 y

18、 2Dx Ey F 0 上 一 点P (x 0 , y0 ) 的切线方程为： x0 xy 0 y D x x 0E yy 0F 0 .22一般方程若点 (x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地，过圆 x 2y 2 r 2 上一点 P (x 0 , y0 ) 的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2 .y1 y 0k (x1 x0 )若点 (x0 0by1 k (ax1 ) ，联立求出 k切线方程 .,y )不在圆上，圆心为(a,b)则RR 2 1L2.7 圆的弦长问题： 1.半弦2L2、半径 r 、弦心距 d 构成直角三角形， 满足勾股定理：

19、R2d 22AB （ x12y2 )2x2） ( y12.弦长公式（设而不求） ：2）x2 )24x1x2（1 k( x1第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义： 平面内与两定点F1，F2 距离的和等于常数2aF1 F2 的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a |F 1F2|=2c ；这里两个定点F1， F2 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（ 2aF1F22c 时为线段 F1F2 ， 2aF1F22c 无轨迹）。- 7 -2标准方程：c2a2b2焦点在 x 轴上：x 2y21（a b 0）； 焦点 F（± c， 0）a2

20、b2焦点在 y 轴上：y2x 21（ ab 0）； 焦点 F（ 0, ± c）a2b2注意：在两种标准方程中，总有a b 0， a2b2c2 并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：x2y2mx2 ny 21(m0, n 0, m n)m1 或者n二椭圆的简单几何性质：1.范围（ 1）椭圆 x 2y 21（ a b 0） 横坐标 -a x a , 纵坐标 -b x ba2b 2（ 2）椭圆 y2x 21（ a b 0） 横坐标 -b x b, 纵坐标 -a x aa2b22.对称性椭圆关于x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭

21、圆的中心3. 顶点（ 1）椭圆的顶点： A1（-a ， 0）， A2（ a， 0）， B1（ 0， -b ）， B2（ 0，b）（ 2）线段 A1A2， B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 离心率（ 1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c ，即 c 称为椭圆的离心率，2aa记作 e（0e 1）， e2c21 ( b )2a2ae 越接近于0（e 越小），椭圆就越接近于圆 ;e 越接近于1（e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（ 2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直

22、线（准线）的距离的比为常数e，- 8 -（ 0 e 1）的点的轨迹为椭圆。 （ | PF |e）d焦点在 x 轴上： x 2y 21 （a b 0）准线方程： xa 2b2焦点在 y 轴上： y2x21（ a b 0）准线方程： ya2b2小结一：基本元素（ 1）基本量： a、 b、 c、 e、（共四个量）， 特征三角形（ 2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（ 3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（ 1）点 P( x , yx2y21(ab0) 的内部) 在椭圆00a2b2（ 2）点 P( x0x2y21(ab0) 的外部, y0 ) 在椭圆b2a26. 几何性质a2ca 2c

23、x2y2001.a2b2x02y021.a2b2（ 1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）： a c MFa c（ 2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）AB2b2a（ 3 ）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）： S MF1F2b2 tan 其中2F1MF27 直线与椭圆的位置关系：(1) 判断方法 : 联立直线方程与椭圆方程消 y( 或 x) 得到关于 x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：0有两个交点相交0相切有一个交点0相离没有交点x 2y21消 y 得：联立a2b20AxBy C- 9 -a2 A2b2B 2x22a 2 ACxa2C 2b2 B20x1x2

24、2a 2 ACx1x2a2 C 2b2 B2a2 A2b2 B2a 2 A2b2 B2x 2y21消 x 得：联立a 2b20Ax By Ca2 A2b2 B2y22b2 BCyb2C 2a2 A20y1y22b2 BCy1 y2b2 C2a 2 A2a2 A2b2 B2a2 A2b2B 2(2)弦 中 点 问 题 : 斜 率 为 k的 直 线 lx2y21(m0,n0,m) 交于两点与椭圆n2m2nA(x1 , y1 )、 B( x2 , y2 ) M（x0 , y0）是 AB的中点，则： k ABn2x0m2y0AB（x12y2 )2(3) 弦长公式：x2） ( y12）x2 )24x1

25、x2 （1 k( x1第四部分：双曲线双曲线定义标准方程（焦点在x 轴）标准方程（焦点在y 轴）x2y 21(a0,b 0)y 2x 21( a0,b 0)a2b2a 2b 2第一定义：平面内与两个定点F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MF1 MF22a2a F1F2Pyy yyx xF2F1F2xxPF1第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当 e1 时，动点的轨迹是双曲线。 定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（ e1 ）叫做双曲线的离心率。

26、-10-Pyy yyPPF2xxF1F2xxPF1范围x a ， y Ry a ， x R对称轴x 轴 ， y 轴；实轴长为2a , 虚轴长为 2b对称中心原点 O (0,0)焦点坐标顶点坐标离心率F1 (c,0)F2 ( c,0)F1 (0, c)F2 (0,c)焦点在实轴上， ca2b2 ；焦距：F1F22c（a,0 ） ( a ,0)(0,a ,) (0 ， a )e c (e 1) a（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）： acMF重要结论（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）AB2b2a准线方程渐近线方程共渐近线的双曲线系方程（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的

27、三角形）：S MF1F2b2b2 cottan22xa2a 2cyc准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a2cybxbxyaax2y2k （ k0 ）y 2x20 ）a2b2a 2k （ kb2-11-（1）判断方法 : 联立直线方程与双曲线方程消y( 或 x) 得到关于x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：0有两个交点相交0相切有一个交点0相离没有交点x2y21消 y 得：联立a2b2AxByC0a2 A2b2 B 2 x22a2 ACx a2C 2b2 B 20x1x22a2 ACx1 x2a2 C 2b2 B2a2 A2b2 B2a2 A2b2B 2直线和双曲线

28、的位x2y21消 x 得：联立a2b2置AxByC0a2 A2b2 B2 y22b2 BCy b2C 2a2 A20y1y22b2 BCy1 y2b2 C 2a2 A2a2 A2b2 B2a2 A2b2 B2(4)弦 中 点 问 题 : 斜率 为 k 的 直 线 l与双 曲线 x2y21(m 0, n 0) 交于两 点m2n2A( x1 , y1)、B(x2 , y2 ) M（ x0 , y0）是 AB的中点，则： kABn2x0m2y0AB（x12y2 )2弦长公式：x2） ( y12）2（x2 )4x1x2 1 k( x1补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（ 1）半 实轴 长 =半虚轴长

29、；（ 2）其标准方程为x2y 2C 其中 C0；（ 3）离心率 e2 ；（ 4）渐近线 ：两条渐近线y=±x 互相垂直；（ 5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 ；（ 6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线 之间的线段，必被P 所平分；7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数a2-12-第五部分：抛物线知识点总结y22 px( p0)y22 px( p0)x22 py( p0)x22 py( p0)图象定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1, y1 )yyyylllFOxO

30、 FxFOxOxFl平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 M MF =点 M到直线 l 的距离 x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0关于 x 轴对称关于 y 轴对称( p ,0)(p ,0)(0,p )(0,p )2222焦点在对称轴上O(0,0)e =1ppppxxyy2222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。p2ppAFppAFpAF x1x1AF y1y12222焦点弦长AB( x1 x2 ) p( y1 y2 ) p( y1 y2 ) p( x1 x2 ) p-13-yA x1 , y1M oFxNB x2, y2焦点弦 AB的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线 l相切 , 以 MN为直径的圆与AB相切与点 F，即 MFFNA( x1 , y1 )AF x1ppBFppB(x2 , y2 ) ( 以21cosx21 cos2焦点在 x 轴若 AB 的倾斜角