第二章随机变量及其分布PPT课件

1、2.1 随机变量随机变量2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 2/78l 对于错综复杂的随机现象，如信道噪声、随机信号、测量对于错综复杂的随机现象，如信道噪声、随机信号、测量误差等实际问题难以简单处理。为了更好的用数学方法来误差等实际问题难以简单处理。为了更好的用数学方法来分析随机现象地统计规律性，人们将随机试验的结果与实分析随机现象地统计规律性，人们将随机试验的结果与实数对应起来数对应起来(结果数量化结果数量化)

2、，从而引入随机变量的概念，从而引入随机变量的概念l 例例1：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是 SHHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT 以以X记三次投掷得到正面记三次投掷得到正面H的总数，那么对于样本空间的总数，那么对于样本空间S中的每一个中的每一个样本点样本点e，X都有一个数与之对应都有一个数与之对应3/l 例例1：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考虑每次试验当中正面出

3、现的次数，样本空间是虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是 SHHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT 以以X记三次投掷得到正面记三次投掷得到正面H的总数，那么对于样本空间的总数，那么对于样本空间S中的每一个中的每一个样本点样本点e，X都有一个数与之对应都有一个数与之对应 X是定义在样本空间上的单值实值函数是定义在样本空间上的单值实值函数，定义域是样本空间，值域，定义域是样本空间，值域为为0,1,2,3.使用函数的符号可将使用函数的符号可将X写成写成4/TTTeTTHTHTHTTeTHHHTHHHTeHHHeeXX, 0, 1, 2, 3)(l 例例2：随机试验：袋中装

4、有编号分别为：随机试验：袋中装有编号分别为1，2，3的的3只球，在只球，在袋中任取一只，放回，然后再取一只球，记录他们的编号袋中任取一只，放回，然后再取一只球，记录他们的编号 样本点：是一个编号的数对：样本点：是一个编号的数对：(i，j)，i，j=1,2,3 样本空间：样本空间：S=e=(i，j)|i，j=1,2,3 现在关心的是两个球的号码之和，记做现在关心的是两个球的号码之和，记做X，则对于每一个样，则对于每一个样本点本点e，X都有一个值与之对应都有一个值与之对应 即从样本空间到实数集合上的一个映射即从样本空间到实数集合上的一个映射 X：SR X是一个定义在样本空间是一个定义在样本空间S上

5、的单值实值函数，上的单值实值函数， 其定义域是样本空间；值域是实数集合其定义域是样本空间；值域是实数集合2,3,4,5,6 因此因此X可写成可写成 X=X(e)X(i,j)i+j，i，j1，2，3.5/l定义：定义： 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为Se。X=Xe是定是定义在样本空间义在样本空间S上的实值单值函数。称上的实值单值函数。称X=Xe为为随机变量随机变量6/l 关于随机变量需要注意的几个方面关于随机变量需要注意的几个方面(1) X是一个单值实值函数，定义域是样本空间是一个单值实值函数，定义域是样本空间S，值域是，值域是X的所有可能取值的所有可能取值RX。注意随机变量的值域

6、不同于样本空间注意随机变量的值域不同于样本空间 (2)如果随机试验结果本身是一个数，则直接令如果随机试验结果本身是一个数，则直接令XX(e)=e，X是一个随机变量是一个随机变量 如灯泡的寿命如灯泡的寿命T，某学校学生的体重，某学校学生的体重W，掷骰子的点数等等，掷骰子的点数等等 随机变量的取值可以是有限的，可列的，或不可列的随机变量的取值可以是有限的，可列的，或不可列的(3) 随机变量的取值随试验结果而定，是样本点的函数，随机变量的取值随试验结果而定，是样本点的函数，因此随机变量因此随机变量X(e)的取值是随机出现的，有一定的概率的取值是随机出现的，有一定的概率7/l 随机事件的描述随机事件的

7、描述 根据随机变量根据随机变量X的前述映射关系，可用的前述映射关系，可用X的取值集合来描述随机事件的取值集合来描述随机事件l 例如例如 例例1中中X的取值为的取值为2，记做，记做X=2，对应的样本点集合为，对应的样本点集合为A=HHT,HTH,THH这是一个随机事件这是一个随机事件 当且仅当当且仅当A发生时有发生时有X=2，我们称概率，我们称概率P(A)为为X=2的概率，即的概率，即PX=2=P(A)3/8l 当然关心的当然关心的X取值也可能有多个，用关于取值也可能有多个，用关于X的表达式来表示的表达式来表示 如如X 1表示随机事件表示随机事件BTTT,TTH,THT,HTT P X 1=P(

8、B)4/8l 一般的，若一般的，若L是一个实数集合，将是一个实数集合，将X在在L上取值写成上取值写成X L，则则X L表示事件表示事件B=e| X(e) L ,此时有此时有P X L =P(B)8/l本节学习基于随机变量来描述随机现象的一本节学习基于随机变量来描述随机现象的一般问题般问题l随机变量的类别：随机变量的类别： 离散型离散型,F(x)的图象是一个水平的阶梯函数的图象是一个水平的阶梯函数; 离散型随机变量离散型随机变量X ： 它全部可能取到的不相同的值是它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量 连续型连续型,F(x)的

9、图象是连续函数的图象是连续函数; 奇异型奇异型,F(x)的图象有许多不连续点的图象有许多不连续点,并非水平阶并非水平阶梯函数，而且在这些点上出现函数值的跳梯函数，而且在这些点上出现函数值的跳跃，一跃，一般称为混合型随机变量，离散和连续取值都有般称为混合型随机变量，离散和连续取值都有9/l 离散型随机变量的例子：离散型随机变量的例子： 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数： 随机变量的全部可能取值仅有随机变量的全部可能取值仅有4 4个：个：0 0，1 1，2 2，3 3 某电话交换台一分钟内收到的呼叫次数：某电话交换台一分钟内收到的呼叫次数： 可列无限多

10、个（理想状态下）可列无限多个（理想状态下） 某城市某城市120120急救电话台一昼夜收到的呼叫次数急救电话台一昼夜收到的呼叫次数 可列无限多个（理想状态下）可列无限多个（理想状态下） 而灯泡的寿命而灯泡的寿命T T所有可能取值充满一个区间，无法按一所有可能取值充满一个区间，无法按一定次序一一列出，定次序一一列出，非非离散型随机变量离散型随机变量10/l 掌握离散随机变量掌握离散随机变量X的统计规律，只需知道的统计规律，只需知道X的两个问题的两个问题 (1) X所有可能的取值，我们可以通过随机试验的样本空间所有可能的取值，我们可以通过随机试验的样本空间S来得到来得到 (2) 每一个可能取值的概率

11、，它们构成分布律的概念每一个可能取值的概率，它们构成分布律的概念 在后面我们会进一步学习在后面我们会进一步学习X的数字特征等概念的数字特征等概念l 分布律：分布律： 设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为xk(k=1,2,)，X取各个可能取各个可能值的概率，即事件值的概率，即事件X=xk的概率为的概率为 PX=xk=pk，k=1, 2, 由概率的定义，由概率的定义，pk满足如下两个条件：满足如下两个条件： (1) 非负性：非负性：pk 0; (2) 规范性：规范性： 1 则称则称PX=xk=pk，k=1,2,为离散型随机变量为离散型随机变量X的分布律的分布律11/1

12、kkpl 分布律也可表示为表格的形式分布律也可表示为表格的形式 X x1 x2 xn pk p1 p2 pn l 分布律含义：由分布律定义中的条件，概率分布律含义：由分布律定义中的条件，概率1以一定的规律以一定的规律分布在各个可能值上分布在各个可能值上l 规范性的证明：规范性的证明： X=x1X=x2是必然事件，与样本空间相对应，且是必然事件，与样本空间相对应，且X=xkX=xj，kjl 所以，所以，1P(X=x1X=x2) 12/11()kkkkPXxP Xx 11kkp 即例例 1设随机变量 X 的分布律为： P(X=n)=c/4n (n=1,2,), 求常数c.解：由规范性解：由规范性

13、1= = = (c/4)/(1-1/4) =c/3 c=313/14/ckn1kkxXPl 几种重要的离散型随机变量的分布律几种重要的离散型随机变量的分布律l 设随机变量设随机变量X只可能取两个值只可能取两个值0与与1，它的分布律是，它的分布律是 PX=kpk(1p)1k，k=0,1，0p1，l 则称则称X服从服从(01)分布或两点分布，记作分布或两点分布，记作 b(1,p)l 应用：应用：(01)分布是经常遇到的一种分布分布是经常遇到的一种分布 一般的对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即一般的对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S=e1,e2，总能在，总能在S

14、上定义一个服从上定义一个服从(01)分布的随机变量描述这个分布的随机变量描述这个随机试验结果随机试验结果 X=X(e) l 例如：对新生儿的性别进行登记例如：对新生儿的性别进行登记 抛一枚硬币，观察其正面和反面出现的情况抛一枚硬币，观察其正面和反面出现的情况14/2110eeee，当，当l 伯努利试验伯努利试验Bernouli 设试验设试验E只有两个可能结果：只有两个可能结果：A及及 ，则称，则称E为伯努利试验。为伯努利试验。设设P(A)=p (0p1)，则，则P( )=1p。将试验。将试验E独立地重复地独立地重复地进行进行n次，则称这一串重复的独立试验为次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努

15、利试验重伯努利试验 其中，其中，“重复重复”是指每次试验都有是指每次试验都有P(A)=p “独立独立”是指各次试验的结果是指各次试验的结果A互不影响，相互独立互不影响，相互独立l n重伯努利试验应用非常广泛，是研究最多的模型之一重伯努利试验应用非常广泛，是研究最多的模型之一 (0-1)分布的模型就是分布的模型就是1重伯努利实验重伯努利实验 而而一些不放回抽样一些不放回抽样的随机试验则可能不满足这种独立性，也就的随机试验则可能不满足这种独立性，也就不是不是n重伯努利试验重伯努利试验。15/AAl 伯努利试验的分布律伯努利试验的分布律 以以X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次

16、数（比如发生的次数（比如n次次抛币试验中正面出现的频数），求抛币试验中正面出现的频数），求X的分布律，即求的分布律，即求 1）X的所有可能取的值为的所有可能取的值为0，1，2，.，n 2）X的分布律，即求对任意的的分布律，即求对任意的k(0 k n)，概率，概率PX=kl 解：解：PX=k即相当于求在即相当于求在n次试验中，有次试验中，有k次试验事件次试验事件A发发生，另外生，另外nk次试验事件次试验事件A不发生的概率不发生的概率16/l 首先看一下事件首先看一下事件A在某指定在某指定k次试验中发生，比如在第次试验中发生，比如在第i1，i2，.，ik次试验中次试验中A发生，而其余发生，而其余n

17、k次试验中不发生的次试验中不发生的概率。由于这概率。由于这n次试验是相互独立的，则相应概率为次试验是相互独立的，则相应概率为 pp.p(1p)(1p).(1p)pk(1p)nk i1 i2 . ikl 这样的指定方式共有这样的指定方式共有 种两两互不相容的方式（两两不同种两两互不相容的方式（两两不同的方式）的方式）l 因此因此n次试验中事件次试验中事件A发生发生k次的概率为次的概率为 pk(1p)nk，令，令q1p有有 PX=k pkqnk，k0，1，.，n17/knCknCknCl 分布律的两个条件的验证：分布律的两个条件的验证： PX=k pkqnk 0，k0，1，2，.，n 而而 即非负

18、性和归一性均满足即非负性和归一性均满足 所以所以PX=k pkqnk，k0，1，.，n即为所求即为所求分布分布 由于由于pkqnk恰好是恰好是(p+q)n的二项展开式中出现的二项展开式中出现pk的那一项，的那一项，故称随机变量故称随机变量X服从参数为服从参数为n，p的二项分布，记为的二项分布，记为 Xb(n，p)，n1时化为时化为(0-1)分布分布18/knCnknknkknnkqpqpCkXP001)(knCl 已知已知Yb(20, 0.2)求求Y分布率的值，并划出图形分布率的值，并划出图形l 在在MatlabMatlab中输入以下命令：中输入以下命令： binopdfbinopdf(10,

19、20,0.2)(10,20,0.2) x=0:1:20; x=0:1:20; y=y=binopdfbinopdf(x,20,0.2)(x,20,0.2) plplot(ot(x,yx,y, , r. r.) )19/结果：结果：ans = 0.0020y =0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000051015200.050.10.150.2l 二

20、项分布中的概率最大项：二项分布中的概率最大项：先求分布律中的极大值点，它应该满足如下不等式组先求分布律中的极大值点，它应该满足如下不等式组 1）PX=k pkqnk pk1qnk1PX=k- -1 2）PX=k pkqnk pk1qnk1PX=k+1 由由1)得得k(n+1)p 由由2)得得k(n+1)p- -1 联立联立1)和和2) 有有(n+1)p- -1k(n+1)p 当当(n+1)p为整数时，为整数时，k(n+1)p和和(n+1)p- -1时取得最大值时取得最大值 当当(n+1)p为非整数，为非整数，k(n+1)p时取得最大值时取得最大值l 二项分布的一般图示：二项分布的一般图示：20

21、/knCknC1knC1knC例例2：近似二项分布近似二项分布 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在随机抽取，现在随机抽取20只，问只，问20只只元件中恰有元件中恰有k只为一级品的概率是多少？只为一级品的概率是多少？解：解： 本题是不放回抽样问题，由于元件总数很大，而抽查元件数量远远本题是不放回抽样问题，由于元件总数很大，而抽查元件数量远远小于元件总数，可以近似当作放回抽样来处理。小于元件总数，可以近似当作放回抽样来处理。 A：抽取一只元件是一

22、级品：抽取一只元件是一级品 P(A)0.2 如果看作放回抽样，每次检查元件是相互独立的，则检查如果看作放回抽样，每次检查元件是相互独立的，则检查20只元件只元件相当于做相当于做20重伯努利试验，以重伯努利试验，以X记记20只元件中一级品的只数，那么只元件中一级品的只数，那么随机变量随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即Xb(20, 0.2)即有即有 PX=k 0.2k0.820k，k0，1，2，.，20.21/kC20l 例例3 大量试验条件下的小概率事件问题大量试验条件下的小概率事件问题 某人进行射击，设每次击中的命中率为某人进行射击，设每次击中的命中率为0.02，独立射击，独立射击40

23、0次，试次，试求至少击中两次的概率求至少击中两次的概率l 解：解： 将一次射击看成是一次试验，设射击次数为将一次射击看成是一次试验，设射击次数为400，则，则Xb(400, 0.02) X的分布律为的分布律为PX=k 0.02k0.98400k，k0，1，2，.，400. 所求的概率为所求的概率为PX 2=1PX0PX1 =10.98400400(0.02)0.98399 =0.9972结果接近于结果接近于122/kC400一一次射击击中次射击击中目标是个小概率事件目标是个小概率事件大量独立试验条件下，大量独立试验条件下，小概率发生几乎是肯定小概率发生几乎是肯定的，如抽奖问题的，如抽奖问题若若

24、400400次中击中目标次数竟真的达次中击中目标次数竟真的达不到两次，而由于这一事件的概率不到两次，而由于这一事件的概率P PX2=0.003X2=0.003是小概率事件，由是小概率事件，由实际推断原理实际推断原理，有理由怀疑命中率，有理由怀疑命中率达不到达不到0.020.02，可能更低，可能更低例例4 维修工分配问题维修工分配问题(用工优化用工优化) 设有设有80台同类型设备，各台工作独立，发生故障的概率都是台同类型设备，各台工作独立，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障仅能由一人处理，考虑两种配备维修工人的方法且一台设备的故障仅能由一人处理，考虑两种配备维修工人的方法 (1)由由4

25、人维护，每人人维护，每人20台台； (2)由由3人共同维护人共同维护80台台； 试比较发生故障时不能试比较发生故障时不能及时及时维修的概率大小维修的概率大小?解解：按方案：按方案(1) 不考虑维修时间长短问题不考虑维修时间长短问题 记记X为为 “第一人维护的第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数台中同一时刻发生故障的台数“， 则则Xb(20, 0.01) 用事件用事件Ai表示：表示：“第第i人维护的人维护的20台中发生故障不能及时维修台中发生故障不能及时维修”这一这一事件事件 则则80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为 P(A1A2A3A4) P(A1)P(X

26、 2) 23/ 而而Xb(20, 0.01)，故有，故有 P(X 2)= 1P(X=0)P(X=1)=10.992020(0.01)0.9919=0.0169 即有即有P(A1A2A3A4) 0.0169l 按方案按方案(2) 记记Y为为80台中同一时刻发生故障的台数，则台中同一时刻发生故障的台数，则Yb(80, 0.01) 发生故障不能及时维修的概率发生故障不能及时维修的概率 P(A)=1P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3) =10.9980 =0.00870为常数为常数(也叫泊松强度，具体含义在第四章介绍也叫泊松强度，具体含义在第四章介绍)，则称，则称X服服从参数为从参数为的泊

27、松分布，的泊松分布，记为记为X()l 泊松分布关于分布律的两个条件泊松分布关于分布律的两个条件 非负性是显然的非负性是显然的 规范性：规范性： = = 考虑麦克劳林级数展开考虑麦克劳林级数展开 所以所以26/!kekXPk0kkXP0kkke!0kkke!032321kkxkxxxxe!100eekekXPkkk!l 泊松分布的概率最大值问题泊松分布的概率最大值问题 与二项分布的求解方法类似，先找极大值点，它应满足与二项分布的求解方法类似，先找极大值点，它应满足如下不等式组如下不等式组 1）PX=k PX=k- -1 2）PX=k PX=k+1 由由1）得）得k 由由2得得k- -1 联立联立

28、1）和）和2）有）有1kl 当当为整数时，为整数时， k和和1时取得最大值时取得最大值l 当当为非整数，为非整数， k时取得最大值时取得最大值27/!kek!kek)!(11kek)!(11kek三种分布之间的关系三种分布之间的关系：(1) 0(1) 01 1分布考察一次试验中分布考察一次试验中两个可能结果的概率两个可能结果的概率(2) (2) 二项分布是把以上试验二项分布是把以上试验独独立重复进行立重复进行n n次，考察出现某次，考察出现某一个结果的次数的概率，一个结果的次数的概率，n n1 1时即是结果时即是结果0 01 1分布分布(3) (3) 泊松分布考察一段时间内泊松分布考察一段时间

29、内某一事件发生的次数的概率某一事件发生的次数的概率l 泊松定理泊松定理 (针对稀有事件针对稀有事件) (用泊松分布来逼近二项分布的定理用泊松分布来逼近二项分布的定理)l 设设0是一个常数，是一个常数，n是任意正整数，设是任意正整数，设npn，则对于任，则对于任意固定的非负整数意固定的非负整数k，有，有 l 证证 由由pn/n，有，有 对任意固定的对任意固定的k，当，当n趋近于无穷大时，上式第二项极限为趋近于无穷大时，上式第二项极限为1，第三，第三项是自然对数极限为项是自然对数极限为e-，最后一项极限为，最后一项极限为1，所以定理成立。，所以定理成立。 npn是常数，当是常数，当n很大时很大时p

30、n必定很小，所以当必定很小，所以当n很大，很大，pn很小时，很小时，可用泊松分布来近似二项分布。可用泊松分布来近似二项分布。28/!)(limkeppknkknnknn1knnknppkn)(1knknnkknnn111!)()(knknnnknk1111111)()(!当当n10, p0.1, np5时：时：二项分布二项分布泊松分布。泊松分布。 当试验次数当试验次数n很大时很大时，稀有事件稀有事件A发生的发生的次次数可以近似用泊松分数可以近似用泊松分布来描述，而布来描述，而 =np为为n次次中中A发生的平发生的平均次数均次数l 历史上历史上PoissonPoisson分布是作为二项分布的一种

31、近似分布是作为二项分布的一种近似，其前提是二项分布是稀有事件其前提是二项分布是稀有事件l 而而二项分布的真正极限分布是正态分布二项分布的真正极限分布是正态分布( (见中心极见中心极限定理限定理) )l 于于18371837年由法国数学家年由法国数学家S.D.PoissonS.D.Poisson（17811781 18401840年）引入。年）引入。l 近近些些年来，人们发现该分布在物理学及社会生活中年来，人们发现该分布在物理学及社会生活中对服务的各种要求等方面有愈来愈多的应用对服务的各种要求等方面有愈来愈多的应用29/ (四四) 超几何分布，超几何分布，抽样抽样检查，无放回抽样检查，无放回抽样

32、 产品抽样检查中，假定在产品抽样检查中，假定在N件产品中有件产品中有D件不合格品，即不合格率件不合格品，即不合格率p=D/N。随机抽。随机抽n件做检查，发现件做检查，发现k件不合格品的概率为件不合格品的概率为超几何分布超几何分布 通常称这个随机变量通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种服从超几何分布。这种抽样检查抽样检查方法等于无方法等于无放回抽样。放回抽样。 数学上不难证明，数学上不难证明，N趋近无穷时趋近无穷时 P(X=k)=CkDCn-kN-D/CnN 近似为近似为b(n,p) (二项分布二项分布) 因此，在实际应用时，因此，在实际应用时，当当N10n时时，可用二项分布近似描述不合格，

33、可用二项分布近似描述不合格品个数品个数 ，当实验次数足够多的时候，不放回抽样可近似为放回抽，当实验次数足够多的时候，不放回抽样可近似为放回抽样，而如果放回抽样则刚好满足二项分布，样，而如果放回抽样则刚好满足二项分布，p=废品率废品率D/N30/P(X=k)=CkDCn-kN-D/CnN,(k=0,1, minn, D)l 假设电话交换台每小时接到的呼叫次数假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数服从参数 =3的泊的泊松分布，求松分布，求 (1) 每小时恰有每小时恰有4次呼叫的概率次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超过一小时内呼叫不超过5次的概率次的概率 (3) 画出分布律图像画出分布律图

34、像31/344! 43! 4)4()1( eeXP 50350!3)()5()2(kkkekkXPXP在在Matlab中输入以下命令：中输入以下命令：(1)p1= poisspdf(4,3)(2)p2= poisscdf(5,3)(3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y)32/l二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系l例：例：Xb(200,0.02)，Y 服从参数为服从参数为4的泊松分的泊松分布，划出分布率图像布，划出分布率图像 x=0:20; y1=binopdf(x,200,0.02); y2=poisspdf(x,4); plot(x,y1,r.

35、,x,y2,b.)33/34/60l 分赌注问题分赌注问题 (problem of rational (problem of rational diviliondivilion of stakes) of stakes)是对创立是对创立概率论有重大影响的著名问题。概率论有重大影响的著名问题。 水平相同的两个赌徒水平相同的两个赌徒A A和和B B，约定先胜，约定先胜t t局的人赢得赌注，在赌博中局的人赢得赌注，在赌博中的某时刻，两赌徒中止赌博，此时的某时刻，两赌徒中止赌博，此时A A胜胜r r局，局，B B胜胜s s局，应如何合理分局，应如何合理分配赌注配赌注? ? 这个问题通常称为点数问题，是

36、嗜好赌博的法国学者梅雷这个问题通常称为点数问题，是嗜好赌博的法国学者梅雷( (Meray,HMeray,H. . C. R.)C. R.)于于16541654年向法国数学家帕斯卡年向法国数学家帕斯卡(Pascal ,B.)(Pascal ,B.)提出的提出的. . 为此帕斯卡和法国数学家费马为此帕斯卡和法国数学家费马( (Fer-mat,PFer-mat,P. de). de)于于16541654年年7 7月到月到1010月之间进行了一系列通信讨论月之间进行了一系列通信讨论. .赌注分配问题成为概率论的起源赌注分配问题成为概率论的起源. . 当当荷兰数学家惠更斯荷兰数学家惠更斯( (Huyge

37、ns,CHuygens,C.) .)到巴黎时，听说费马和帕斯卡在研到巴黎时，听说费马和帕斯卡在研究赌注问题，他也进行了研究，并在究赌注问题，他也进行了研究，并在16571657年撰写了年撰写了论赌博中的计论赌博中的计算算一书，提出数学期望的概念，推动了概率论的发展一书，提出数学期望的概念，推动了概率论的发展.1713.1713年，年，瑞士数学家雅各布瑞士数学家雅各布伯努利伯努利(Bernoulli , (Bernoulli , JakobJakob) )的的猜度术猜度术一书一书的面世，标志着概率论已成为数学的一个重要分支的面世，标志着概率论已成为数学的一个重要分支. .35/l 如果以如果以r

38、和和s之比来分的话不是很合理。之比来分的话不是很合理。l 设设A每局取胜的概率为每局取胜的概率为p，分赌注为题可描述为在伯努利试，分赌注为题可描述为在伯努利试验中，求验中，求A出现出现t-s次赌博失败之前，出现次赌博失败之前，出现t-r次获胜的概率，次获胜的概率，记为记为pA。最终赌注按。最终赌注按pA：1-pA来分配来分配l 解：解：A若胜则后面至少要进行若胜则后面至少要进行t-r次试验，最多要进行次试验，最多要进行(t-r)+(t-s)-1次即可分出结果。次即可分出结果。 A的概率等于的概率等于 (组合下标减组合下标减1是因为第是因为第i次一定胜利次一定胜利)36/() () 1() 1(

39、)1()(1)t rt st rt rit rAiit rpCpp 帕斯卡分帕斯卡分布、布、负二项分布负二项分布l 非离散型随机变量非离散型随机变量X，由于其可能取值不能一个一，由于其可能取值不能一个一个的列举而无法用分布律来描述。而且所遇到的非个的列举而无法用分布律来描述。而且所遇到的非离散型随机变量通常取任一指定的实数值的概率都离散型随机变量通常取任一指定的实数值的概率都等于等于0 实际问题中有很多此类变量：误差实际问题中有很多此类变量：误差，元件寿命，元件寿命T等等.l 对于此类问题，主要研究随机变量取值落在某一个对于此类问题，主要研究随机变量取值落在某一个区间的概率，即：区间的概率，即

40、： Px1Xx2= P Xx2PXx1 物理意义物理意义 问题变为计算问题变为计算P Xx2及及P Xx1，于是引入分布函数，于是引入分布函数的概念。的概念。37/l 分布函数定义：分布函数定义： 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数 F(x)=PXx，- x 称为称为X的分布函数的分布函数l 左开右闭区间上的概率表示：左开右闭区间上的概率表示： 对于任意实数对于任意实数x1，x2 (x1x2)，有，有 Px1Xx2= P Xx2PXx1F(x2)F(x1)已知分布函数，就可以计算出已知分布函数，就可以计算出x落在任意区间落在任意区间(x1，x2上的概率上的

41、概率 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。38/l分布函数的物理意义：分布函数的物理意义： 将将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数函数F(x)在在x处的函数值就表示处的函数值就表示X落在落在(，x上的概率。上的概率。39/l 分布函数具有以下基本性质分布函数具有以下基本性质1F(x)是一个不减函数是一个不减函数 对任意实数对任意实数x1，x2 (x1x2)，有，有F(x2)F(x1)Px1Xx2 020 F(x) 1且且F() 0，F() 1 仅从物理意义上加以说明：当仅从物理意义上加以说明：当x趋

42、于趋于时，即区间端点沿时，即区间端点沿x轴轴无限左移，无限左移，Xx逐渐趋于不可能事件，从而其概率趋于逐渐趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有即有F()0；反之，若点；反之，若点x无限右移，则无限右移，则Xx趋于必然事趋于必然事件，从而概率趋于件，从而概率趋于1，即有，即有F()13F(x+0)=F(x) 即即F(x)为右连续的为右连续的 F(x)在点在点x处的右极限等于点处的右极限等于点x处的函数值，即处的函数值，即F(x)是右连续的是右连续的40/)(limxFx)(limxFx例例1：随机变量的分布律用分布函数来表示随机变量的分布律用分布函数来表示 设随机变量设随机变量X的分布律为的分

43、布律为 X 1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求求X的分布函数，并求的分布函数，并求PX1/2，P3/2X5/2，P2X3l 解：随机变量落在解：随机变量落在1，2，3三个点上的概率为非三个点上的概率为非0，落在，落在其它点上为不可能事件，因此有其它点上为不可能事件，因此有41/0341303221202141101/XPXPXPXPXPXPXP由概率的有限可加性31322121110 xxXPXPxXPxxF,)(31322141214110 xxxxxF,/,/,)( PX1/2F(1/2)=1/4 P3/2X5/2= F(5/2)F(3/2)3/41/41/2 P2X3= F(3

44、)F(2)+ PX=2=13/4+1/2=3/4 注意区间左端的等号注意区间左端的等号1 概率函数与普通的代数函数不同之处在于物理意义不同，前者是概率函数与普通的代数函数不同之处在于物理意义不同，前者是随机变量随机变量X的取值落在的取值落在(，x区间上的概率区间上的概率2 求分布函数，一定要讨论区间求分布函数，一定要讨论区间(，)上的所有情况上的所有情况3 F(x)的值即为所有的值即为所有 x的的X取值中落在取值中落在xk处的概率处的概率pk之和之和4 F(x)的图形是一条阶梯形曲线，的图形是一条阶梯形曲线， 在在x1，2，3处有阶跃点处有阶跃点 阶跃值分别为阶跃值分别为1/4，1/2，1/4

45、42/31322141214110 xxxxxF,/,/,)(曲线的阶跃点处，上为实心点，下为空心点，曲线的阶跃点处，上为实心点，下为空心点，体现右连续体现右连续,小于小于-1时时F(x)=0也应画一个粗实线也应画一个粗实线l 分布律用分布函数表示的一般方法：分布律用分布函数表示的一般方法： 一般的，设离散型随机变量一般的，设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 PX=xk=pk，k=1,2, 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得X的分布函数为的分布函数为 F(x)= P Xx 即即F(x)= 这里和式是对所有满足这里和式是对所有满足xk x的的k求和的，分布函数在点求和的，分布函数在点x

46、xk（k1，2，）处有跳跃，其跳跃值为）处有跳跃，其跳跃值为pkPX=xk43/xxkkxXPxxkkp分布函数能表达所有随机变量的概率问题l 已知已知Yb(20, 0.3)求求Y分布函数的值，画出函数图像分布函数的值，画出函数图像l 在在MatlabMatlab中输入以下命令：中输入以下命令： binocdfbinocdf(10,20,0.3)(10,20,0.3) x=0:1:20; x=0:1:20; y=y=binocdfbinocdf(x,20,0.3)(x,20,0.3) ezplotezplot( (binocdfbinocdf(t,20,0.3),0,20)(t,20,0.3)

47、,0,20)44/结果：结果：ans = 0.9994y = 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.000045/l 例例2 一般随机变量的分布函数的求解方法一般随机变量的分布函数的求解方法 一个靶子是半径一个靶子是半径2米的圆盘，设击中耙上任一同心圆盘米的圆盘，设击中耙上任一同心圆盘上的点的概率与该同心圆盘的面积成正比，并设射击都上的点的概率与该同心

48、圆盘的面积成正比，并设射击都能中耙，以能中耙，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数的分布函数F(x)PX x46/r=2xOl 解：分段讨论：解：分段讨论： 1当当x0时，时，X x是不可能事件，是不可能事件，F(x)0 2在圆盘上，在圆盘上，0 x 2，由题意，由题意，P0 X xkx2 当当x2时由于假定每次射击都能中耙，时由于假定每次射击都能中耙， 有有P0 X 21 1k22 即即k1/4代入得代入得F(x)=PX2时，由题意时，由题意X x是必然事件，是必然事件，F(x)147/r=2xOl 综上，综上，F(x)是一个分段函数，具体

49、为是一个分段函数，具体为 F(x)= l 它的图形是一条连续曲线它的图形是一条连续曲线 l 注意区间端点的取值注意区间端点的取值l 注意对注意对x的讨论一定要全，在（的讨论一定要全，在（，）上都要考虑）上都要考虑l 注意注意x是值，是值，X是随机变量是随机变量48/21204002xxxx,l现在对现在对F(x)求导数求导数 （不可导的点的导数设为（不可导的点的导数设为0） 有有 这样有这样有F(x) 即即F(x)是非负函数是非负函数f(t)在区间在区间(，x上的积分，上的积分，f(t)即为概率密度函数，其中即为概率密度函数，其中X是连续型。是连续型。49/其它,)()(02021xxxfdx

50、xdFxdttf)(l 连续型随机变量及概率密度连续型随机变量及概率密度 定义：定义： 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存在非负函数，存在非负函数f(x)，使对于任意实数使对于任意实数x有有 F(x) 则称则称X为连续型随机变量，其中函数为连续型随机变量，其中函数f(x)称为称为X的概率密的概率密度函数，简称概率密度度函数，简称概率密度 由数学分析的知识，连续型随机由数学分析的知识，连续型随机 变量的分布函数是连续函数变量的分布函数是连续函数 在实际应用中遇到的基本上是在实际应用中遇到的基本上是 离散和连续型随机变量离散和连续型随机变量50/几种提法：X的概率分

51、布：是指分布函数X为连续型时：是指概率密度X为离散型时：是指分布律xdttf)(l 概率密度函数的性质：概率密度函数的性质： 1 非负性：非负性：f(x) 0. 由定义可知由定义可知 2 规范性：规范性： 曲线曲线yf(x)与与Ox轴之间的面积等于轴之间的面积等于1 3 对任意实数对任意实数x1，x2 (x1 x2)，有，有Px1Xx2F(x2)F(x1) 概率概率Px1Xx2等于区间等于区间(x1,x2上曲线上曲线yf(x)之下曲边梯形的面积之下曲边梯形的面积 4 若若f(x)在点在点x处连续，则有处连续，则有F (x)=f(x) 比右连续强，一般的是右连续）比右连续强，一般的是右连续）51

52、/1)()(Fdxxf21)(xxdxxfa) 一维随机变量的概率密度的线密度含义一维随机变量的概率密度的线密度含义： 由连续性定义，在连续点由连续性定义，在连续点x处有处有 f(x) 这正好与物理学中的线密度的定义类似：这正好与物理学中的线密度的定义类似：随机点落在单随机点落在单位区间上概率的大小位区间上概率的大小 当当x充分小时，点充分小时，点x处的曲边梯形可近似为长处的曲边梯形可近似为长x高高f(x)的的矩形。矩形。 即即PxXxx f(x)x，随机变量，随机变量X落在落在(x，xx的的概率近似等于概率近似等于f(x)x，忽略了高阶无穷小。，忽略了高阶无穷小。52/xxFxxFx )()

53、(lim0 xxxXxPx lim0b) 对于连续型随机变量，单点概率为对于连续型随机变量，单点概率为0 即若即若X为连续型随机变量，对任意的实数为连续型随机变量，对任意的实数a，有，有PX=a =0l 证：显然有包含关系证：显然有包含关系X=a axXa 0PX=a PaxXa =F(a)F(ax) 而而F(x)是连续的（也满足左连续），因为连续型随机变量的分布函是连续的（也满足左连续），因为连续型随机变量的分布函数是连续的数是连续的 当当x0时有时有0 PX=a 即即PX=a0l 要注意几点：要注意几点： 1只有当只有当X为连续型时，才一定有为连续型时，才一定有PX=a0，否则不一定，否则

54、不一定 2尽管尽管PX=a0，但，但X=a 不是不可能事件不是不可能事件 3连续型随机变量中区间的端点不影响概率值，即对以下概率连续型随机变量中区间的端点不影响概率值，即对以下概率不加区分不加区分 PaXbPaXbPaXbPaXb53/0)()()()(lim0 aFaFaFxaFxl 例：例：由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度 设设 ，求，求f(x) 解：先判断解：先判断F(x)在区间端点的连续性在区间端点的连续性(是否有阶跃特性是否有阶跃特性)，如果连续则直接对如果连续则直接对F(x)进行分段求导即可，由于连续型进行分段求导即可，由于连续型随机变量单点概率为随机变量单点概率为0，不可

55、导的点可直接取右导数即，不可导的点可直接取右导数即可，也可随意给定可，也可随意给定 54/exexxxxF, 11,ln1, 0)(其它, 01,/1, 01,11, 0)()(exxexexxxdxxdFxfl 例例1：由概率密度求分布函数和概率由概率密度求分布函数和概率 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 (1)确定常数确定常数k；(2)求求F(x)；(3)求求P1X7/2 解：解： (1) 由规范性得由规范性得 1= ，解得，解得k1/6； (2) 由定义由定义 (3) P1X7/2 F(7/2)F(1)41/48 或者用性质或者用性质(3)在区间在区间(1,7/2上对上对f

56、(x)积分积分55/其它, 043,2230,)(xxxkxxf4330)2/2(dxxkxdx4, 143 ,4/2330,12/0, 04, 143 ,) 2/2(6/30,6/0, 0)()(223300 xxxxxxxxxdxxdxxxdxxxdttfxFxxxl 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量l ( (一一) )均匀分布均匀分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度 则称则称x在区间在区间(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布.记为记为XU(a，b)。 例如：电子和量子在一定能级上的运动轨迹例如：电子和量子在一定能级上的运动轨迹 数值计算中，研

57、究四舍五入引起的误差。数值计算中，研究四舍五入引起的误差。l 概率密度的两个条件显然成立：概率密度的两个条件显然成立： 非负性成立非负性成立f(x) 0，且规范性：，且规范性： 156/其它, 0,1)(bxaabxfdttf)(xOf(x)abab1l X的分布函数：的分布函数：l F(x)为为f(x)的积分图像的积分图像 关于自变量范围：连续型随机变量概率密度函数的自变量一定是在关于自变量范围：连续型随机变量概率密度函数的自变量一定是在(,)上都有定义，有些区间函数值为上都有定义，有些区间函数值为0，表明随机变量，表明随机变量X落在这落在这些区间的概率为些区间的概率为0，或不可能事件。，或

58、不可能事件。 均匀分布的含义：代表一种等可能性，即均匀分布的含义：代表一种等可能性，即X落在区间落在区间(a,b)中任意等中任意等长度的子区间内的概率是等可能的，或者说长度的子区间内的概率是等可能的，或者说X落在区间落在区间(a,b)中的概中的概率只依赖于子区间长度而与子区间位置无关。率只依赖于子区间长度而与子区间位置无关。l 证：对任意长度为证：对任意长度为l的子区间的子区间(c,cl)，acclb，有，有 57/bxbxaabaxaxdttfxFx, 1, 0)()(abldtabdtxflcXcPlcclcc1)(几何概型l 例例2： 设电阻值设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在是一个随

59、机变量，均匀分布在9001100。求。求R的概率密度及的概率密度及R落在落在9501050的概率。的概率。XU(900，1100)l 解：首先由题意均匀分布，得到解：首先由题意均匀分布，得到R的概率密度函数的概率密度函数为为 P950R1050= 0.558/ 其它, 01100900,90011001)(rxf 10509502001dtl 均均匀分布再匀分布再MATLAB中的图像中的图像l MATLAB为常见自然概率分布提供了下列为常见自然概率分布提供了下列5类函类函数数 概率密度函数（概率密度函数（pdf） 累积分布函数（累积分布函数（cdf），即分布函数），即分布函数 逆累积分布函数（

60、逆累积分布函数（inv），求随机变量），求随机变量X在概率点在概率点 处处的分布函数反函数值的分布函数反函数值 均值与方差计算函数（均值与方差计算函数（stat），求给定分布的随机变），求给定分布的随机变量量X的数学期望的数学期望E(X)和方差和方差var(X) 随机数生成函数（随机数生成函数（rnd），模拟生成指定分布的样本），模拟生成指定分布的样本数数据据 (调用格式：调用格式：x=分分布布+rnd(分布参数分布参数)，如，如x=normrnd(0,1)59/l常见分布的类型名称常见分布的类型名称60/分布类型分布类型MATLABMATLAB名称名称分布类型分布类型MATLABMATLAB