平面应力问题

1、第四节极坐标 直角坐标(x,y)与极坐标 比较相同:两者都是正交坐标系。区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x 和y 的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向一、 极坐标中的平衡微分方程 在A内任一点（ ， ）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体-由夹角为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成注意两 面不平行，夹角为 ；两 面面积不等，分别为 ， 。 从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向转动为正。微分体上的作用力有体力- ， 以坐标正向为正。应力- 面， 面分别表示应力及其 增量： 应力同样以正面正向，负面负向的应

2、力为正，反之为负 平衡条件应用假定:（1）连续性，（2）小变形。考虑通过微分体形心 C 的 向及矩的平衡，列出3个平衡条件 :-通过形心C的 向合力为0，其中可取 上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得式(a)中1、2、4项与直角坐标的方向相似; 而 -通过形心C的 向合力为0略去三阶微量，保留到二阶微量，得式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相似，而 -是由于 面的面积大于 面引起的， -是由于 面上的切应力 在C点的 向有投影 -通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得2、 极坐标中的几何方程及物理方程 几何方程-表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。 过任一点 作两个沿正

3、标向的微分线段 ,1. 只有径向位移 ，求形变P,A,B变形后为 ，各点的位移如图在小变形假定 下PA线应变所以切应变为2. 只有环向位移 ,求形变P,A,B变形后为 ，各点的位移如图切应变为 3.当 和 同时存在时，几何方程为3、 极坐标中的应力函数与相容方程 以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于1、 物理量的转换; 2,从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程1. 从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变量的变换反之函数的变换：将式 或 代入，矢量的变换：位移 或导数的变换将对 的导数，变换为对 的导数 可看成是 ，而 又是 的函数，即 是通过中间变量 ，为 的复合函数有:而代入，即得一

4、阶导数的变换公式,二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导出。例如展开即得拉普拉斯算子的变换：由式（f）得2. 极坐标中的相容方程3. 极坐标中应力用应力函数 表示可考虑几种导出方法 (1)从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法） (2) 应用特殊关系式，即当x轴移动到与 轴重合时，有: (3) 应用应力变换公式（下节）代入式 ( f ) ，得出 的公式。(4) 应用应力变换公式（下节）而比较两式的 的系数，便得出 的公式。4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足(1) A 内相容方程(2) 上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）(3) 多连体中的位移单值条件4、 应力分量的坐标变换式应

5、力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。应力分量的坐标变换关系： 1已 知 ，求 取出一个包含x面y(含 )和 面（含 ）的三角形微分体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件得同理，由 得 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形，微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件 得2、已知 ，求应用相似的方法，可得到5、 轴对称应力和相应的位移 轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面轴对称应力问题：应力数值轴对称- 仅为 的函数，应力方向轴对称- 相应的应力函数 ，所以应力公式为：1）相容方程其中 相容方程成为常微分方程，积分4次得 的通解(2) 应力通解：将式 (c) 代入式 (a）

6、（3）应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。(4)求对应的位移： 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分将 代入第三式分开变量，两边均应等于同一常量F,由两个常微分方程代入 ，得轴对称应力对应的位移通解，6、 圆环或圆筒受均布压圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。力边界条件是式(b)中的 条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 。 考察多连体中的位移单值条件圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却

7、得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此B = 0由B=0 和边界条件 (b) ，便可得出拉梅解答，解答（d）的应用：（1）只有内压力（2）只有内压力 且 ，成为具有圆孔的无限大薄板（弹性体）3）只有外压力七、 压力隧洞1.压力隧洞-圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题） 因为不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：圆筒无限大弹性体应考虑的条件：（1） 位移单值条件（2） 圆筒内边界条件：（3） 无限远处条件，由圣维南原理,（4） 的接触条件，当变形后两弹性体保持连续时，有由（1）（4

8、）条件，解出解答（书中式（4 -16）。2.一般的接触问题。当两个弹性体 ，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况(1) 完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上 (2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为其中C为凝聚力。(3) 光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为(4) 局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有 3. 有限值条件 设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。 图（a

9、） 引用轴对称问题的解答，并考虑边界 上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A。B=0 在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核 (1)按应力求解时，多连体中的位移单值条件。 (2)无应力集中现象时， 和 ，或 处的应

10、力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解八、圆孔的孔口应力集中工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔 本节研究小孔口问题，应符合（1） 孔口尺寸弹性体尺寸，孔口引起的应力扰动局限于小范围内（2） 孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。 当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。1. 带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)P30-p314.小孔口的应力集中现象（1）集中性-孔口附近应力>>远处的应力孔口附近应力>>无孔时的应力（2） 局部性-应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%（3） 凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。如正方孔 的角点角点曲率半径 因此，工程上应尽量避免接近直交的