高中数学人教A版必修优秀教案1示范教案(411圆的标准方程)

1、第四章圆与方程本章教材分析上一章 ,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示 ,通过方程 ,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验 .本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系 ,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力 .通过方程 ,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重

2、点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法 ,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想 ,不怕反复 .用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆 ;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果 “翻译 ”成相应的几何结论 .这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间 ,解决立体几何问题 .本章教学时间约需 9课时 ,具体分配如下 (仅供参考 ):4.1.1圆的标准方程1课时4.1.2圆的一

3、般方程1课时4.2.1直线与圆的位置关系2课时4.2.2圆与圆的位置关系2课时4.3.1空间直角坐标系1课时4.3.2空间两点间的距离公式1课时本章复习1课时4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时 ,由于圆也是特殊的圆锥曲线 ,因此 ,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说 ,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位 ,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于 “圆的方程 ”一节内容的基础性和应用的广

4、泛性,对圆的标准方程要求层次是 “掌握 ”,为了激发学生的主体意识 ,教学生学会学习和学会创造, 同时培养学生的应用意识,本节内容可采用 “引导探究 ”型教学模式进行教学设计,所谓 “引导探究 ”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中 ,主要着眼于 “引 ”,启发学生 “探 ”,把 “引 ”和 “探 ”有机的结合起来.教师的每项教学措施, 都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲 ,促使学生解决问题 .三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、

5、 半径 ,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力 ,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力 .3.理解掌握圆的切线的求法 .包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等 .把握运动变化原则 ,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性 ,感受数学美 .重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点 :会根据不同的已知条件,利用待定系

6、数法求圆的标准方程 .课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.课前准备： (用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明 :在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出 ,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳 .要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计： 一种是非尺规作图 (指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评 :其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程 .从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所

7、学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题 :圆的标准方程 .思路 2.同学们 ,我们知道直线可以用一个方程表示,那么 ,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢 ?这就是本堂课的主要内容 ,教师板书本节课题 :圆的标准方程 .推进新课新知探究提出问题已知两点A(2,-5),B(6,9), 如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y), 又如何求它们之间的距离 ?具有什么性质的点的轨迹称为圆？图 1 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图 1我们知道 ,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角的条件是什

8、么 ?如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？,那么 ,决定圆讨论结果： 根据两点之间的距离公式( x1x2 ) 2( y1y2 )2,得|AB|=( 26) 2(95) 2212 ,|CD|=( x3) 2( y8)2 .平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心 ,定长是半径 ( 教师在黑板上画一个圆 ).圆心 C 是定点 ,圆周上的点M 是动点 ,它们到圆心距离等于定长 |MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径 ,只要圆心和半径确定了 ,那么圆的位置和大小就确

9、定了 . 确定圆的基本条件是圆心和半径 ,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数 ,r 0). 设 M(x,y) 为 这 个 圆 上 任 意 一 点 , 那 么 点 M 满 足 的 条 件 是 ( 引 导 学 生 自 己 列出 )P=M|MA|=r, 由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点 M 适 合 的 条 件( xa) 2( yb)2 =r.222将上式两边平方得(x-a) +(y-b) =r .若点 M(x,y) 在圆上 ,由上述讨论可知 ,点 M 的坐标满足方程 ,反之若点 M 的坐标满足方程 , 这就说明点 M 与圆心 C 的距离为

10、 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上 .方程就是圆心为 C(a,b), 半径长为 r 的圆的方程 ,我们把它叫做圆的标准方程 .这是二元二次方程,展开后没有 xy 项 ,括号内变数x,y 的系数都是1.点 (a,b)、 r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0) 时 ,方程为 x2+y 2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断 ?讨论结果： 圆的标准方程(x a)2 (y b)2=r2 中 ,有三个参数a、b、 r,只要求出a、b、 r 且 r 0,这时圆的方程就被确定 ,因此确

11、定圆的标准方程 ,需三个独立条件 ,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件 .确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、 b、 r 的方程组 ,求 a、 b、 r 或直接求出圆心 (a,b)和半径 r,一般步骤为：1°根据题意 ,设所求的圆的标准方程(x a)2 (y b)2 =r2；2°根据已知条件 ,建立关于 a、 b、 r 的方程组；3°解方程组 ,求出 a、 b、 r 的值 ,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程 .点 M(x 0,y0) 与圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2 的关系的判断方法：222222当点 M(x 0,y0

12、) 在圆 (x-a) +(y-b) =r上时 ,点 M 的坐标满足方程 (x-a)+(y-b) =r .当点 M(x 0,y0) 不在圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2 上时 ,点 M 的坐标不满足方程 (x-a) 2+(y-b) 2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外222(x 0-a) +(y 0-b) r,点在圆外 ;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x 0-a)2 +(y 0-b)2=r 2,点在圆上 ;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x 0-a)2 +(y 0-b)2 r2,点在圆内 .应用

13、示例思路 1例 1写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在原点 ,半径是 3；圆心在点C(3,4), 半径是5 ;(3) 经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3) ；(4) 圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切 .解 :(1)由于圆心在原点 ,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0) 2+(y-0) 2=3 2,即 x2+y 2=9.(2) 由于圆心在点 C(3,4), 半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3) 2+(y-4) 2=(5) 2,即(x-3) 2+(y-4) 2 =5.(3) 方 法 一 : 圆 的 半 径 r=|CP|=(5 8)2(1 3)225

14、=5,因此所求圆的标准方程为(x-8) 2+(y+3) 2=25.方法二 :设圆的标准方程为 (x-8)2+(y+3) 2=r2 ,因为圆经过点 P(5,1),所以 (5-8)2+(1+3) 2=r2,r2=25, 因此所求圆的标准方程为22(x-8) +(y+3) =25.这里方法一是直接法,方法二是间接法 ,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可 ,要视问题的方便而定 .(4) 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x-1) 2+(y-3) 2=r2, 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 , 所 以r= | 312 7|16 | .因此所求圆的标准方程为 (

15、x-1) 2+(y-3) 2=256.252525点评： 要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2写出圆心为A(2,-3), 半径长等于 5 的圆的方程 ,并判断点M 1(5,-7),M 2(- 5 ,-1) 是否在这个圆上 .解 :圆心为 A(2,-3), 半径长等于5 的圆的标准方程是(x-2) 2+(y+3) 2=25,把点 M 1(5,-7),M 2(-5 ,-1) 分别代入方程 (x-2) 2+(y+3) 2=25,则 M 1 的坐标满足方程,M 1 在圆上 .M 2 的坐标不满足方程,M 2 不在圆上 .点评 :本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给

16、一个点, 判断该点与圆的关系 ,这里体现了坐标法的思想 ,根据圆的坐标及半径写方程 从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上 从代数到几何 .例 3 ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 求它的外接圆的方程 .活动： 教师引导学生从圆的标准方程(x-a) 2+(y-b) 2=r 2 入手 ,要确定圆的标准方程 ,可用待定系数法确定 a、 b、 r 三个参数 .另外可利用直线AB 与 AC 的交点确定圆心 ,从而得半径 ,圆的方程可求 ,师生总结、归纳、提炼方法 .解法一 :设所求的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B

17、(7,-3),C(2,-8) 都在圆上 ,它们的坐标都满足方程222(x-a) +(y-b)=r ,于是(5a) 2(1b) 2r 2 ,(1)(7a) 2(3b) 2r 2(2)(2a) 2(8b) 2r 2 .(3)a2,解此方程组得 b3, 所以 ABC 的外接圆的方程为(x-2)22+(y+3)=25.r5.解法二 : 线段AB的中点坐标为(6,-1), 斜率为 -2, 所以线段AB的垂直平分线的方程为1y+1=(x-6). 2同理线段 AC 的中点坐标为 (3.5,-3.5), 斜率为 3,所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得x=2

18、,y=-3, 所以圆心坐标为(2,-3), 半径 r=(52) 2(13)2 =5, 所以 ABC 的外接圆的方程为点评 : ABC 外接圆的圆心是点的距离相等 ,就是圆的半径(x-2) 2+(y+3) 2=25.ABC 的外心 ,它是 ABC 三边的垂直平分线的交点 ,它到三顶,利用这些几何知识 ,可丰富解题思路 .思路 2例 1图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20 m, 拱高 OP=4 m, 在建造时每隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A 2P2 的长度 (精确到 0.01 m).图 2解 :建立坐标系如图 ,圆心在 y 轴上 ,由题意得 P(0,4),B(10

19、,0).设圆的方程为x2+(y-b) 2 =r2,因为点 P(0,4)和 B(10,0) 在圆上 ,02(4b) 2r 2 ,b10.5,所以b)2解得r 214.52 ,10 2(0r 2 .所以这个圆的方程是x2 +(y+10.5) 2=14.5 2.设点 P2(-2,y 0),由题意 y0 0,代入圆方程得 (-2) 2+(y 0+10.5) 2=14.5 2,解得 y0=14.5222-10.5 14.36-10.5=3.86(m).答：支柱 A 2P2 的长度约为 3.86 m.例 2 求与圆 x2+y 2-2x=0 外切 ,且与直线 x+3 y=0 相切于点 (3,- 3 )的圆的

20、方程 .活动 :学生审题 ,注意题目的特点 ,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法 ,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数 ,得到所求的圆的方程 .解 :设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b) 2=r2.圆 x2+y 2-2x=0 的圆心为 (1,0), 半径为 1.因为两圆外切 ,所以圆心距等于两圆半径之和,即(a1) 2(b0)2 =r+1, b3(1(2)a3)1,由圆与直线 x+3 y=0 相切于点 (3,-33 ),得3b| a(3)r .1(3)2解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-43 ,r=6.

21、故所求圆的方程为22232(x-4) +y =4 或 x +(y+4) =36.点评 :一般情况下,如果已知圆心 (或易于求出 )或圆心到某一直线的距离(或易于求出 ),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法 ,求出圆心坐标和半径 .变式训练一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2上 ,求此圆的方程 .解法一： 因为圆心在直线y=x+2 上 ,所以设圆心坐标为 (a,a+2).222则圆的方程为 (x-a) +(y-a-2) =r .因为点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上 ,( 0a)2(0a2)2r2,a1 ,4所以(3 a 2) 2解得(1 a) 2r 2 ,r225.

22、8所以所求的圆的方程为(x+ 1)2+(y-7)2=25.448解法二： 由题意：圆的弦OP 的斜率为 3,中点坐标为 ( 1,3),所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y- 31122=-(x-),即 x+3y-5=0.232因为圆心在直线y=x+2 上 ,且圆心在弦OP 的垂直平分线上 ,yx2,x1 ,174,即圆心坐标为 C(-,).所以由3y5解得7x0,y,444又因为圆的半径r=|OC|=(1 )2(7)225,448所以所求的圆的方程为(x+ 1)2+(y-7)2=25.448点评 :(1)圆的标准方程中有a、b、 r 三个量 ,要求圆的标准方程即要求a、 b、 r 三个量 ,有

23、时可用待定系数法 .(2) 要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例 3求下列圆的方程:(1) 圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点 (2,-1).(2) 圆心在点 (2,-1), 且截直线 y=x-1 所得弦长为 22.解 :(1) 设 圆 心 坐 标 为 (a,-2a), 由 题 意 知 圆 与 直 线y=1-x相 切 于 点 (2,-1), 所 以| a 2a1 |(a2) 2( 2a 1) 2, 解 得 a=1. 所 以 所 求 圆 心 坐 标 为 (1,-2), 半 径1212r=(12) 2( 21) 2=所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)22

24、.=2.(2) 设 圆 的 方 程 为 (x-2) 2 +(y+1) 2=r2(r 0), 由 题 意 知 圆 心 到 直 线 y=x-1的距离为d= | 2 11 | = 2 .又直线 y=x-1 被圆截得弦长为2 2 ,所以由弦长公式得 r2-d2=2,即 r=2. 所1212以所求圆的标准方程为(x-2) 2+(y+1) 2=4.点评 :本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多 ,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习 1、 2.拓展提升1.求圆心在直线y

25、=2x 上且与两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程.活动 :学生思考交流 ,教师提示引导 ,求圆的方程 ,无非就是确定圆的圆心和半径 ,师生共同探讨解题方法 .解 :首先两平行线的距离 d=C1C2=2,所以半径为 r=dA2B 2=1.2方法一：设与两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0, 由平行线间的距离公式| C1C2| k 7 | k 3 |, 即 k=-2, 所 以 直 线 方 程 为d=B 2, 得324 24232A23x4y20,x2 ,3x+4y-2=0. 解 3x+4y-2=0 与 y=2x 组成的方程组得11 ,因此圆心坐标y2x,y4 ,11为( 2 , 4 ).又半径为 r=1, 所以所求圆的方程为 (x- 2 )2 +(y- 4 )2=1.11 111111y14, y63x 4y 70,与 3x 4y30,得,方法二： 解方程组11和11