高中数学集合知识讲解

1、集合一、章节结构图二、复习指导1新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础集合知识点及其要求如下：1集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解

2、在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用常用逻辑用语知识点及其要求如下：(1)命题及其关系了解命题的逆命题、否命题与逆否命题理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系(2)简单的逻辑联结词通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义(3)全称量词与存在量词通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义能正确地对含有一个量词的命题进行否定2方法观点阐述集合的初步知识重点是有关集合的基本概念，难点是有关集合的各个概念的含义及这些概念相互间的区别与联系常用逻辑用语知识重

3、点是四种命题的相互关系和充要条件，难点是对一些含一个量词命题的否定这一章概念多、符号多、专用字母多、概念与概念间逻辑性强，要在理解要领基础上熟记集合符号，反复地通过对概念的分析，结合适当例题、习题加深理解基本概念，提高使用数学符号、数学语言、数学方法进行推理判断的能力避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表11集合的概念及其运算 (一)(一 )复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单 的集合高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查因此，复习中要把重点放在准确理解集合

4、概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上1集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合中每个对象叫做这个集合的元素集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作(3)集合可分为有限集与无限集(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“”；不属于，符号记作“” 作2集合与集合的关系对于两个集合A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合 B 包含集合 A，记作 AA 包含于 B)，这时也说集合A 是集合 B 的子集也可以记作BA( 读作 B 包含 A)子集有传

5、递性，若AB，BC，则有 AC.空集是任何集合的子集，即A真子集：若AB，且至少有一个元素b B，而 bA，称 A 是 B 的真子集记作AB(或 BA)若 AB且BA，那么 A=BB(读含n(n N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：Cn0Cn1Cn2Cnn2n个(二 )解题方法指导例 1 选择题：(1)不能形成集合的是()(A) 大于 2 的全体实数(B) 不等式 3x 56 的所有解(C)方程 y=3x+1 所对应的直线上的所有点(D) x 轴附近的所有点(2)设集合 A x | x3 2, x2 6 ，则下列关系中正确的是()(A) xA(B) xA(C) x A(D) xA(3)设

6、集合 M x | xk1 , kZ, N x | xk1 , k Z ，则 ()2442(A) M=N(B) MN(C)M N(D) MN=例 2 已知集合 A x8N ，试求集合 A 的所有子集N6x例 3 已知 A= x 2x 5 ，B= x m+1 x 2m 1 ， B ，且 BA，求 m 的取值范围例 4* 已知集合A= x 1x a ， B= yy=3 x 2， x A ， C= z z=x2， xA ，若CB，求实数a的取值范围12 集合的概念及其运算 (二 )(一 )复习指导(1)补集：如果AS，那么 A 在 S 中的补集sA= x x S，且xA (2)交集： AB= xxA，

7、且 x B(3)并集： A B= x xA，或 xB 这里“或”包含三种情形： xA，且 xB； x A，但 xB； x B，但 xA；这三部分元素构成了A B(4)交、并、补有如下运算法则全集通常用U 表示U (AB)=(UA) ( UB)； A(BC)=( AB) (AC)U (A B)=(UA) (UB)； A (BC)=( A B) (A C)(5)集合间元素的个数：card(A B)=card(A)+card(B) card(AB)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考

8、常考知识点之一(二 )解题方法指导例 1 (1)设全集 U = a， b， c， d， e 集合 M = a， b， c ，集合 N= b， d， e ，那么 ( UM) (UN)是 ()(A)(B) d(C) a， c(D) b， e(2)全集 U= a， b， c， d，e ，集合 M= c，d， e ，N= a， b， e ，则集合 a，b 可表示为 ()(A) MN(B)( UM) N(C)M (UN)(D)( UM) (UN)例 2 如图， U 是全集， M、 P、 S 为 U 的 3 个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为()(A)( MP) S(B)( MP) S(C)( MP)

9、 (US)(D)( MP) ( U S)例 3 (1)设 A= x x2 2x 3=0 ， B= x ax=1 ，若 A B=A，则实数 a 的取值集合为 _；(2)已知集合M= x x a=0 ，N= x ax 1=0 ，若 MN=M，则实数a 的取值集合为_例 4 定义集合 A B= x x A ，且 x B (1)若 M=1 ， 2， 3， 4， 5 ， N=2 ， 3，6 则 N M 等于 ()(A) M(B) N(C) 1， 4，5 (D)6(2)设 M、 P 为两个非空集合，则M(MP)等于 ()(A) P(B) MP(C)M P(D) M例 5全集32，则这样的实数x 是否存在

10、?若存在， 求出 x；S=1 ，3，x +3 x +2 x ，A=1 ，|2x 1|. 如果 sA=0若不存在，请说明理由例题解析1 1 集合的概念及其运算 (1)例 1 分析： (1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2) 注意 “ ”与“ ”以及 x 与 x 的区别； (3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换解： (1) 选 D “附近 ”不具有确定性(2)选 D (3)选 B 方法一： 1M , 1N 故排除 (A) 、 (C)，又 3M , 3N ，故排除 (D) 22k11 (244k1方法二：集合M 的元素1),k.x4kZ集合 N 的元素 x22441 (k 2

11、), k Z 而 2k 1 为奇数， k 2 为全体整数，因此MN 4小结： 解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化例 2 分析：本题是用 xx P 形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x N解： 由题意可知 (6x)是 8 的正约数，所以(6 x)可以是 1， 2， 4， 8；可以的 x 为 2， 4， 5，即 A=2 ， 4， 5 A 的所有子集为，2 ，4 ，5 ， 2，4，2，5 ，4 ，5，2， 4，5 小结： 一方面，用 x xP 形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P；另一方面，含n(n N*

12、 )个元素的集合A 的所有子集的个数是：Cn0C1nCn2Cnn2n 个例 3 分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题m12m1解： 由题设知m12，2m15解之得， 2 m 3小结： (1) 要善于利用数轴解集合问题(2)此类题常见错误是：遗漏问题避免犯错(3)若去掉条件 “B ”，则不要漏掉A 的情况“等号 ”或多 “等号 ”，可通过验证 “等号 ”例 4* 分析：要首先明确集合B、 C 的意义，并将其化简，再利用CB 建立关于a 的不等式解： A 1， a， B= y y=3x 2， xA ，B= 5， 3a 2 a 2 ,1,1a 0C z | zx 2

13、 , xA. C 0,1,0a1 0, a 2 , a1(1)当 1 a 0 时，由 CB，得 a2 13a 2 无解；(2)当 0 a1 时， 13a 2，得 a=1；2(3)当 a 1 时， a 3a2 得 1a 2综上所述，实数a 的取值范围是 1， 2小结：准确理解集合 B 和 C 的含义 (分别表示函数 y=3x 2，y=x2 的值域，其中定义域为 A)是解本题的关键 分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点若结合图象分析，结果更易直观理解1 2集合的概念及其运算(2)例 1 分析：注意本题含有求补、求交两种运算求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律解： (1) 方法一：UM=

14、b， c ，UN= a， c ( UM) (UN)= ，答案选 A方法二： ( UM) (UN)= U (M N)=答案选A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化答案选A(2)同理可得答案选B小结： 交、并、补有如下运算法则U (AB)=(UA) ( UB)； A(BC)=( AB) (AC)U (A B)=(UA) (UB)； A (BC)=( A B) (A C)例 2 分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断解： 阴影中任一元素x 有 x M，且 xP，但 xS， x US由交集、并集、补集的意义 x (MP) (US)答案选 D小结： 灵活进行图形语言、

15、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力例 3 解： (1)由已知，集合A= 1， 3 ，a0B1 a0aAB=A 得 BA分B= 和B1 两种情况a当 B时，解得 a=0；当 B1 时，解得 a 的取值 1, 1a3综上可知 a 的取值集合为 0,1, 13a0(2)由已知， M a, N10 aa MN=MM N当 N=时，解得a=0； M=0即 MNM a=0 舍去当 N 1 时，解得 a1a1aa综上可知 a 的取值集合为 1 ， 1 小结： ( )要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(AB) A， (AB)B ； (AB)A，(A B)B；A U A= ， A UA=U； AB=AA B，A B=BAB 等( )要注意是任何集合的子集但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用例 4 解： (1) 方法一：由已知，得N M= x x N，且 x M=6，选 D方法二：依已知画出图示选 D(2)方法一： M P 即为 M 中除去 MP 的元素组成的集合，故的集合，所以选B方法二：由图示可知M=(MP) (M P)选 BM(M P)则为M 中除去不为MP 的元素方法三：计