白金汉Pi定理

1、2.4 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度 l 的量纲记 L=l质量 m的量纲记 M=m时间 t 的量纲记 T=t动力学中基本量纲 L, M, T速度 v 的量纲 v=LT-1导出量纲221rmmkf 加速度 a 的量纲 a=LT-2力 f 的量纲 f=LMT-2引力常数 k 的量纲 k对无量纲量，=1(=L0M0T0)2.4.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动)1(321glmt 321glm

2、tlmgm求摆动周期 t 的表达式设物理量 t, m, l, g 之间有关系式1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式glt2对比33212TLMT12003321数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp为什么假设这种形式321glmt 设p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单位缩小a,b,c

3、倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式为),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy 201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyy)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数, 为无量纲量glt120)(F数数数数数

4、数学学学学学学模模模模模模型型型型型型设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij,2, 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组0Ay有 m-r 个基本解，记作mjyjssjq1为m-r 个相互独立的无量纲量, 且则数数数数数数学学学

5、学学学模模模模模模型型型型型型)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqf数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型TTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvlg13

6、132221211, 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/1, 2/1Ay=0 有m-r=3个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有m-r个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量0),(21mqqqf0),(fsvlg数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型 F(1, 2 ,3 ) = 0与(g,l,v,s,f) = 0 等价flgslvl得到阻力 f 的显式表达式F=0),(213 未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q

7、1, q2, , qm) =0 等价221213,),(lsglvglf数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n; 选哪些基本量纲有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型2.4.2 量纲分析在物理模拟中的应用 例: 航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数(均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原型船所受

8、阻力已知模型船所受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的相同【问题【问题】数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型llvv121)(211)(llss2211,31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟1gg 221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf【模型构成【模型构成】数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型2.4.3 无量纲化无量纲化例：火箭发射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(

9、, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律)0( xgx grkm223个独立参数 星球表面竖直发射。初速v, 星球半径r, 表面重力加速度g【问题【问题】数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特

10、征尺度）无量纲变量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新变量, tx将被简化cctttxxx,令数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型 xc, tc的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同简化结果),;(gvrtxx xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx 数数数数数数学学学学学学模模模模模模型型型型型型gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1)0(, 0

11、)0(,) 1(122xxrgvxx );(txx 为无量纲量为无量纲量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 为无量纲量为无量纲量数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型1）2）3）的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 );(txx 解解重要差别rgv2考察无量纲量)/(80008 . 91063703smrgv1在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略项无解x不能忽略项1)0(, 0)0(, 0)1(12xxx数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型tttx2)(21)0(, 0)0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx 3)忽略项0)(tx不能忽略项忽略项0)(tx数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型数学模型vxxgx)0(0)0( tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原问题可以忽略项vtgttx221)(是原问题的近似解数数数数数数学学学学学学模模模