ch3 静态电磁场及其边值问题的解 (2)

1、第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组静态电场问题静态电场问题按电荷静止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与

2、部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 静电场基本方程静电场基本方程( )0SVCD rdSdVE dl( )0DE rD= E积分形式积分形式微分形式微分形式本构关系本构关系 静电场边界条件静电场边界条件 两种一般电介质分界面上两种一般电介质分界面上12()0nEE12ttEE12()sDDn12nnsDD12()0DDn12nnDD 两种

3、理想电介质分界面上两种理想电介质分界面上12()0nEE12ttEE1122nnEE第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组讨论：分界面上场矢量的折射关系讨论：分界面上场矢量的折射关系1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEED介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene1n111t112n222t22cossincossinEEEEEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0 0，则导体表面的边界，则导体表面的边界条件为条件为 nn0

4、SeDeEnt0SDE或或导体表面的边界条件导体表面的边界条件第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 对静电场，由对静电场，由 ，即静电场可以用一个标，即静电场可以用一个标量的梯度来表示。标量量的梯度来表示。标量 称为称为标量位标量位或或标量电位标量电位。0EE 3.1.2 电位函数电位函数 电位函数定义电位函数定义 电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “ “”表示电场指向电位减小最快的方向；表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中在直角坐标

5、系中xyzEeeexyz 关于电位函数的讨论关于电位函数的讨论第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组0/EE 0/ 即：即：20/ 电位的泊松方程电位的泊松方程在无源区域，在无源区域，20电位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程0 电位电位方程方程通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。优越性：求矢量函数优越性：求矢量函数的问题转化为求标量的问题转化为求标量函数的问题函数的问题介质介质2 2介质介质1 12122 E11 E2102

6、2021 电荷区电荷区第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 A B E 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算：电位差的计算： 电位差（电压）电位差（电压）lleel为 增加最快的方向lEel dE dl BAABBAABE dlE dl 电场空间中两点间电位差为：电场空间中两点间电位差为：BABAE dl第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁

7、波课程组 电位参考点电位参考点仅仅根据电位函数仅仅根据电位函数 的定义无法的定义无法唯一确定电位分布，同一电场可唯一确定电位分布，同一电场可对应无限多电位分布，对应无限多电位分布， EC 为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两

8、点间电位差有定值电位参考点的电位参考点的选择选择原则原则: : 应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点同一个问题只能有一个参考点第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组几种基本分布电荷的电位几种基本分布电荷的电位 点电荷的电位点电荷的电位 O q EPQl204rqEerQPQPE dl()PQPPE dl204QrPeqdrr011()4PQqrr011()4PPQqrr选取选取Q Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则0Q遵循

9、最简单原则，电位参考点遵循最简单原则，电位参考点Q Q在无穷远处，即在无穷远处，即Qr 则：则：0( )4qrr点电荷在空间中产生的电位点电荷在空间中产生的电位P说明：若电荷分布在说明：若电荷分布在有限区域有限区域，一般选择，一般选择无穷远点无穷远点为电位参考点为电位参考点第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 EPQP02lrEer0(lnln)2lPQPrr 电位参考点不能位于无穷远点，否则表电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。达式无意义。 根据表

10、达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取r=1r=1柱面柱面为电位参考面，即为电位参考面，即1Qr 得：得：0ln2lPPr 无限长线电流在空间中产生的电位无限长线电流在空间中产生的电位第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组体电荷：体电荷：01( )( )4VrrdVcR面电荷：面电荷：0( )1( )4sSrrdScR线电荷：线电荷：0( )1( )4llrrdVcR式中：式中：Rrr说明：若参考点在无穷远处，则说明：若参考点在无穷远处，则c=0c=0。 分布电荷体系在空间中产生的电位分布电

11、荷体系在空间中产生的电位BAAE dl若若B B点为参考点点为参考点第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 不同媒质分界面上的静电位不同媒质分界面上的静电位设设P P1 1和和P P2 2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1 1和和 2 2。当两点间距离当两点间距离l l00时时120El l lP P1 1P P2 2 121212SSnDDDEnn 由 和 ，得由 和 ，得理想介质表面理想介质表面Sn 数数，导导特特殊殊地地，在在体

12、体表表面面，常常有有理想导体是等位体理想导体是等位体12 2121nn 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组求电偶极子求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。在空间中产生的电位和电场。pql O qqrr( , ,)P r l分析：电偶极子定义分析：电偶极子定义 解：取无限远处为电位参考点。解：取无限远处为电位参考点。011()4Pqrrrrl222cosrrrlrl221112cosrllrrr21cos()lrlrr电偶极子：由两个相距很近的带等量电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷

13、所组成的电荷系统异号电量的点电荷所组成的电荷系统电偶极矩电偶极矩 ：ppql2300cos44Pqlp rrr 例例第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组E ()sinreeerrr 2300cos1()(cos )44rqleqler rr 30(2cossin)4rqleer 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组两块无限大接地导体板如图放置，在两导体板间放置一面密两块无限大接地导体板如图放置，在两导

14、体板间放置一面密度为度为 的均匀面电荷分布。的均匀面电荷分布。求导体板间的电位及电场。求导体板间的电位及电场。解：极板间电荷满足一维拉普拉斯方程解：极板间电荷满足一维拉普拉斯方程例例 xyb0S1( ) x2( ) xOa212222( )0(0)( )0()dxxbdxdxbxadx111222( )( )xc xdxc xd由电位边界条件：由电位边界条件：12000 xx a0210( )( )Sx bxxxx 12x bx b0s第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组故有：故有：1220112

15、221000Sdc adcbdc bdcc 解以上四式，最终可得：解以上四式，最终可得：010020()( )0( )()SSabxxxbabxaxbxaa01100220()( )( )0( )( )SxSxabE xxexbabExxebxaa 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.1.3 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的储存电荷能力的物理量。物理量。电容器在实际问题中的作用：电

16、容器在实际问题中的作用：典型的有利作用典型的有利作用： 储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等典型的不利作用典型的不利作用： 电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即QCU 孤立导体电容孤立导体电容 电容电容C C只与导体几

17、何性质和周围介质有关，与只与导体几何性质和周围介质有关，与q q 和和 无关无关 空气中半径为空气中半径为a a的孤立带电球，的孤立带电球，关于孤立导体电容的说明：关于孤立导体电容的说明： 00QQ=C= 4 a4a第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组12QC 两个导体构成电容器。两导体间电位分别为两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 和和 ，导体带，导体带电量分别为电量分别为Q Q和和-Q-Q，则定义电容器电容为：，则定义电容器电容为： 双导体的电容双导体的电容12 * *多导体的电容多导体的

18、电容( (部分电容部分电容) ) 12Cqq111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC 12311C33C22C12C23C13C式中：式中：iiC导体与地之间电容，称导体导体与地之间电容，称导体自电容自电容ijC导体之间的电容，称导体导体之间的电容，称导体互电容互电容第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 (4) (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 (3) (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，

19、求出两导体间的电位差；计算电容的步骤：计算电容的步骤： (1) (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+ +q q 和和q q ； (2) (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E E； Cq U21UE dl 电容的大小只与导体系统的电容的大小只与导体系统的几何尺寸几何尺寸、形状形状和及和及周围电介周围电介 质质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。 计算电容的步骤：计算电容的步骤：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组

20、ylxPxDa-l 平行双线，导线半径为平行双线，导线半径为a a，导线轴线距离为，导线轴线距离为D D 求：平行双线单位长度的电容。（求：平行双线单位长度的电容。（aD)a 1 1）： 1 10 0，即电场线近似垂直于与导即电场线近似垂直于与导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面； 媒质媒质1 1为理想介质为理想介质（ 1 10 0）：则则J J1 1=0=0，故故J J2n2n= 0 = 0 且且 E E2n2n= 0= 0，即，即导体中的电流和电场与分界面平行。导体中的电流和电场与分界面平行。关于恒定电场边界条件的几点说明关于恒定电场

21、边界条件的几点说明第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！分析解决问题的关键是求电场强度分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律）基于电流（欧姆定律） 基于电位的方法基于电位的方法 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组（1 1）利用导电媒质的本构关系）利用导电媒质的本构关系, ,表示电场强度表示电场

22、强度 基于电流求解分析恒定电场问题的方法基于电流求解分析恒定电场问题的方法（2 2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量JEdQPUEl第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 电位函数满足电位函数满足LaplaceLaplace方程方程121212nn 基于电位求解分析恒定电场问题的方法基于电位求解分析恒定电场问题的方法 电位的边界条件电位的边界条件201212()snn 1t2t1n2n00EEJJ1n2n()SDD()E 第第3 3章章 静态电磁场及其边

23、值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组例例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1 1、 1 1和和 2 2、 2 2，外加电压，外加电压U U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。U1d2d11, 22, zo解：解：极板是理想导体，为等位极板是理想导体，为等位面，电流沿面，电流沿z z方向。方向。1212nnJJJJJ 由 由 12121122,JJJJEE 112121211221212ddddUUUE dE dJJU 12nnSDD 由由121212,SSDJ

24、DJ 下下上上21122121212112SDDJUdd 介介第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组IGU1URGI电阻和电导电阻和电导3.2.3 恒定电场与静电场比拟恒定电场与静电场比拟第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 如果两种场具有相同形式场的方程、相同的边界形状、等效的如果两种场具有相同形式场的方程、相同的边界形状、等效的边界条件，则其解形式也必相同；如能求出一种场的解，则可通过替边界条件，则

25、其解形式也必相同；如能求出一种场的解，则可通过替换对应物理量而得到另一种场的解。换对应物理量而得到另一种场的解。恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程DE,EJE2020静电场（静电场（ 区域）区域） 0d0,d0SCJSEl0,0JE,E0,0DE本构关系本构关系位函数位函数恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0,0SCEdSdlD比拟法思路：比拟法思路：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场IGUQCU 静电比拟法

26、应用：静电比拟法应用： 相同导体结构相同导体结构分别分别填充理想介质和导电媒质时，可通过改变表填充理想介质和导电媒质时，可通过改变表达式中对应量，可由达式中对应量，可由G G求求C C，或由，或由C C求求G G。恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程DE,EJE2020静电场（静电场（ 区域）区域） 0d0,d0SCJSEl0,0JE,E0,0DE本构关系本构关系位函数位函数恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0,0SCEdSdlD第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组例例1

27、 1 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a a和和b b，填充介质，填充介质 00，具，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为有漏电现象。同轴线外加电源电压为U U，求漏电介质内的，求漏电介质内的 、E E和单位长度的漏电电导。和单位长度的漏电电导。解法一：内外导体内解法一：内外导体内E Ez z=0=0，且表，且表面是等位面，介质中电位只是面是等位面，介质中电位只是r r 的函数，满足拉氏方程为的函数，满足拉氏方程为Uzab10lnddABdd ,0lnlnabUbUb a 由由 lndUEeedb a 0222lnUIrJr Eb a 002lnIGUb a 第第3 3章章 静态

28、电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组解法二：静电比拟法：解法二：静电比拟法：填充理想介质时：填充理想介质时：2lEe内外导体电势差：内外导体电势差：( )ln2blabUEda2lnlnlCUba由静电比拟，得同轴线内外导体单位长度漏电导为：由静电比拟，得同轴线内外导体单位长度漏电导为：2/lnlnGS mba第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组解法三：解法三： 设同轴线单位长度由内导体流向外导体电流强度为设同轴线单位长

29、度由内导体流向外导体电流强度为 , ,则则 I22IJIJeEe内外导体间电位差为：内外导体间电位差为：ln2baIbUE da内外导体间单位长度漏电导：内外导体间单位长度漏电导：2lnlnIGUba2lnlnUIba内外导体间电场分布：内外导体间电场分布：(lnln )UJEeba内外导体间电位分布：内外导体间电位分布：bxE d第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 导体媒质的功耗导体媒质的功耗 功耗密度和功耗功耗密度和功耗pE J VWE JdV 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁

30、场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 一、静止电荷产生的场（静电场）一、静止电荷产生的场（静电场）n 导体内部的静电场为零导体内部的静电场为零n 导体表面的切向电场为零导体表面的切向电场为零 等势体等势体n 导体内部的电荷为零导体内部的电荷为零n 电荷只能位于导体表面，密集于表面尖锐部分电荷只能位于导体表面，密集于表面尖锐部分n 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针， 静态电场的典型现象和结论静态电场的典型现象和结论第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁

31、场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）n 导电媒质（导电媒质（ ）内部可）内部可存在存在电场电场n 导电导电媒质媒质表面的切向电场一般表面的切向电场一般非非零零 非非等势体等势体n 导电媒质内部可导电媒质内部可有运动有运动电荷，但电荷，但净电荷量净电荷量为零为零n 净电荷只能位于导体表面净电荷只能位于导体表面n 理想导体（理想导体（ ）内部电场为零，电流为零）内部电场为零，电流为零n 理想导体边界上的电场垂直于表面理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体等势体静态电场的典型现象和结论静态电场的典型现象和结论 0,JE第第

32、3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感电感3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量3.3.5 磁场力磁场力3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组0HJB 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边

33、界条件边界条件BH 1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题静态（恒定）磁场问题第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组2. 2. 边界条件边界条件（一般性问题）（一般性问题）微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程（基本方程（一般性问题一般性问题）积分形式：积分形式：0HJBHlJSBSCSSddd0BHn12n12()0()SeBBeHHJ1n2n1t2t0SBBHHJ或或3.3.1 恒定磁场的基本方程及边界条件恒定磁场的基本方程及边界条件 在两种理想磁介质

34、分界面上在两种理想磁介质分界面上12()0neBB或12nnBB12)0(neHH或12ttHH在理想导体分界面上在理想导体分界面上0ne B 或0nB nseHJ或tsHJ第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.3.2 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的引入矢量磁位的引入0B()0A ( )BA r 式中：式中： 称为恒定磁场的称为恒定磁场的矢量磁位矢量磁位。( )A r如何求出？优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度。优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度。第第3 3章章 静态电磁场

35、及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 库仑规范库仑规范要求：要求： 与与 间满足一一对应关系。间满足一一对应关系。B( )A r 矢量位的任意性矢量位的任意性 矢量位矢量位A A不是唯一确定的，它加上任意一个标量不是唯一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，的梯度以后，仍然表示同一个磁场。仍然表示同一个磁场。 库仑规范条件库仑规范条件 在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件，即令在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件，即令 ( )0A r 注意：规范条件是人为引入的限定条件。注意：规范条件是人为引入的限定条件。 第第3 3章章

36、静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组应用库仑规范应用库仑规范 ，得：，得： 矢量磁位的微分方程矢量磁位的微分方程( )BA r 0BH01( )HA rHJ0AJ2()AAA 20()AAJ 0A20AJ 由矢量恒等式：由矢量恒等式：上式变为：上式变为：矢量泊松方程矢量泊松方程在无源区：在无源区：0J 20A矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 矢量磁位的求解矢量磁位的求解 无限大均匀

37、媒质空间中的问题无限大均匀媒质空间中的问题21( )( )rr 类比方法求解类比方法求解1( )( )4Vr dvrCR211222233AJAJAJ 123123JxyzxyzA eA eA eJ eJ eJ eA2 AJ( )( )4iiiVJ r dvA rCRJ( )A( )C4Vr dvrR 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 矢量磁位的求解（续）矢量磁位的求解（续） 存在不同媒质分界面的问题存在不同媒质分界面的问题磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件0A 12AAn12()SeHHJ/H

38、An121211()SeAAJdd0CSAlBSd0SAS1t2tAA1n2nAA第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组磁通与磁链磁通与磁链3.3.3 电感电感 C 回路回路l 磁通磁通dddSSCBSASAl l 磁磁链链CI电流回路电流回路与所有电流回路铰链的总磁通与所有电流回路铰链的总磁通l 计入电流存在的所有回路计入电流存在的所有回路l 每个回路是计入与之铰链的全每个回路是计入与之铰链的全部磁通部磁通 I第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科

39、技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组n n为与磁通为与磁通 铰链的总电流对载流为铰链的总电流对载流为I I 的回路之比的回路之比 n 单匝线圈单匝线圈 多匝线圈多匝线圈C CI I 细回路细回路 粗导线回路粗导线回路 i iC CI I o o粗回路粗回路l 磁磁链计算链计算oi o o : :外磁链；外磁链； i i : :内磁链内磁链若为若为细导线线圈密绕细导线线圈密绕，n n等于线圈匝数等于线圈匝数N N（整数）（整数）第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 电感的定义电感的定义定义

40、：穿过某电流回路的定义：穿过某电流回路的磁链磁链与回路中与回路中电流强度电流强度之之比比。LI 自感自感 若某回路若某回路C C载流为载流为I I，其产生的磁场穿过，其产生的磁场穿过回路自身回路自身C C所形成的自感磁所形成的自感磁链为链为 ，则定义回路，则定义回路C C的自感系数为：的自感系数为：()LHI特征：磁链是特征：磁链是I自已产生的自已产生的第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 回路自感仅与回路自身的回路自感仅与回路自身的几何形状几何形状、尺寸尺寸和和媒质磁导率媒质磁导率有关，有关，与

41、回路中载流无关。与回路中载流无关。 若回路为若回路为N N匝线圈密绕，则匝线圈密绕，则200LN LL为单匝线圈电感 若回路导线直径较粗，则回路自感为内自感和外自感之和若回路导线直径较粗，则回路自感为内自感和外自感之和ioLLLiL关于回路自感的讨论关于回路自感的讨论 为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感oL式中：式中： 为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感CI 细回路细回路 iCI o粗回路粗回路第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子

42、科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 例例 求双传输线单位长度自感。设导线半径为求双传输线单位长度自感。设导线半径为a a，导线间距，导线间距为为D D。(Da)(Da)分析：导线为细导线，故只需考虑导体间分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。的互感。解：由安培环路定律，可以求得在导体间解：由安培环路定律，可以求得在导体间磁感应强度分布：磁感应强度分布：12BBB00()()22 ()yyIIeexDx则导体间单位长度的磁通量为则导体间单位长度的磁通量为0lnln()2D aD aaaIB dxxDx 0lnIDaa0lnDaLIaxyzxDaPII第第3 3章章

43、 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 互感互感 回路回路C C1 1与回路与回路C C2 2交链的磁通量为交链的磁通量为 ，则则回路回路C C1 1对对C C2 2的互感系数的互感系数为：为：2112122MI同理定义回路同理定义回路C C2 2对对C C1 1的互感系数的互感系数为：为：21211MIC1C2I1I2112C C1 1 中总磁链中总磁链: :1 1总总 =1 1+ +1212221C C2 2 中总磁链中总磁链: :2 2总总 =2 2 + +2121思考：思考： 1 1总总 =？； 2 2总

44、总 =？2112MMM纽曼公式纽曼公式互感性质：互感性质：1、互易性：、互易性：2、大小只与、大小只与回路几何性质回路几何性质、相对位置相对位置和周围和周围介质介质有关。有关。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 纽曼公式纽曼公式C1C2R12I1dl1I2dl22121212111MMII 222111212SSMIB dSA dS诺伊曼公式给出了两个简单回路间互感的计算方法。诺伊曼公式给出了两个简单回路间互感的计算方法。221112CMIA dl1111124CIAdlR21121112124

45、CCIMIdl dlR 212112211124CCdl dlMIR 诺伊曼公式诺伊曼公式同理：同理：121221122214CCdl dlMIR 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.3.4 恒定磁场能量恒定磁场能量 若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：12mVWJ AdV 式中：式中： 为体电流为体电流 在在dVdV处产生的磁位。处产生的磁位。 V V为整个空间。为整个空间。 AJ 体电流的磁场能量体电流的磁场能量关于体电流磁场能量表达

46、式的说明关于体电流磁场能量表达式的说明 只适用于恒定磁场只适用于恒定磁场积分可以只在积分可以只在 00的区域进行的区域进行 被积函数被积函数 不代表能量密度，虽然积分是在有电流的空间中进行，不代表能量密度，虽然积分是在有电流的空间中进行，但能量是分布在整个有磁场存在的空间但能量是分布在整个有磁场存在的空间JA J 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 电流回路系统的磁场能量电流回路系统的磁场能量 N N个回路系统，个回路系统，i i回路自感为回路自感为 ，i i回路与回路与j j回路间互感为回路间

47、互感为 ，i i回路回路电流为电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为，则磁回路系统的磁场能量为: :iiLijLiI1112NNmijijiiWL I I 若回路为单回路系统，则若回路为单回路系统，则212mWLI 若回路为双回路系统，则若回路为双回路系统，则2211 112 1 221 2 122211112222mWL IL I IL I IL I2211 112 1 22221122L IL I IL I关于电流回路系统磁场能量的讨论关于电流回路系统磁场能量的讨论第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课

48、程组磁场能量密度：磁场能量密度：磁场能量：磁场能量：积分区域积分区域V V内的磁内的磁场能量场能量对于线性各向同性媒质，则有对于线性各向同性媒质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV 磁场能量密度磁场能量密度第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组12mVWJ AdV12VH AdV()()()ABA BB A 11)22VVHA dVHA dV(2211()0AHdSRRHA dSRR 12mVWH BdV 1

49、1)22SVHA dSH BdV (得：得：磁能密度磁能密度为为22111222mwB HHB meVWw dV磁场能量密度公式推导：磁场能量密度公式推导：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组若回路载流为若回路载流为I I，其在空间中产生的磁场为，其在空间中产生的磁场为H H，则由能量关系，可得，则由能量关系，可得22222112mmVWWLILH dVII讨论：讨论：利用磁能求单回路电感利用磁能求单回路电感第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技

50、大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组例例 求半径为求半径为a a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。 a0解：设导体内电流为解：设导体内电流为I I，则由安培环路定律，则由安培环路定律02()2IBeaa则导体内单位长度磁能为则导体内单位长度磁能为22220240011224mVVIWB dVdVa222024001224aIda 2016I0228mWLI第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组例例 求内外半径分别为求内外半径分别为a a和和b b的无限长同轴线单位长

51、度的自感的无限长同轴线单位长度的自感解：在内外导体之间，解：在内外导体之间，a a 0 0b b0,22IIBH 22001212ln224mVbaWB HdVIIbda 外外022ln2moWbLIa 外外由上题（例由上题（例1 1）得）得08iL 00ln82iobLLLa第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.4 静电场的边值问题及唯一性定理静电场的边值问题及唯一性定理第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电

52、磁波课程组00 HJEBD 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEHBJE 12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )0ne 直接针对场量计算的静态电磁场分析方法直接针对场量计算的静态电磁场分析方法第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 电位函数满足电位函数满足PoissonPoisson方程方程1212121212snnnn 基于电位求解分析静态电场问题的方法基于电位求解分析静态电场问题的方法 电位的

53、边界条件电位的边界条件2 ()E 通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组l磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件12AA121211()nSeAAJ2 ,(B=A) AJ l 磁矢位函数满足磁矢位函数满足PoissonPoisson方程方程 基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场

54、与电磁波课程组3.4 静态场的边值问题静态场的边值问题 讨论内容讨论内容 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的：在给定的边界条件边界条件下，求解位函数的下，求解位函数的泊松泊松方程方程或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。Sf狄里赫利问题狄里赫利问题 第二类边值问题

55、：已知函数在第二类边值问题：已知函数在全部全部边界面上的法向导数。边界面上的法向导数。Sfn纽曼问题纽曼问题22Sfn 第三类边值问题：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分第三类边值问题：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。边界面上函数的法向导数。11Sf12SSS混合边值问题混合边值问题第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组22220 xy例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy

56、0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.4.2 唯一性定理唯一性定理若区域若区域V V内的电荷分布内的电荷分布 和介质分布和介质分布 确定，确定，在场域在场域V V 的边界面的边界面S S上上给定给定 或或 的值的值，则拉普拉斯方程或则拉普拉斯方程或泊松方程在区域泊松方程在区域V V内的解内的解唯一唯一。nSV唯一性定理的意义唯一性定理的意义1 1、给出了静态场

57、边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件2 2、为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据3 3、为求解结果的正确性提供了判据、为求解结果的正确性提供了判据第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电

58、介质平面的镜像 3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像3.5 镜像法镜像法第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组3.5.1 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理几个实例：几个实例：qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用用等效电荷等效电荷产生的电位替代。产生的电位替代。 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 问题的提出问题的提出

59、第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 接地导体球附近点电荷产生的电位接地导体球附近点电荷产生的电位q非均匀感应电荷非均匀感应电荷q等效电荷等效电荷 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用以用等效电荷等效电荷产生的电位替代产生的电位替代等效方法：等效方法： 利用等效利用等效点电荷点电荷等效等效非均匀分布电荷非均匀分布电荷的作用，简化问题的求解。的作用，简化问题的求解。由于等效点电荷位于结构的镜像位置，故称此方法为由于等效点电荷位于结构的镜像位置，故称此方法为镜像

60、法镜像法。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组问题问题： 镜像法原理镜像法原理方法：在方法：在求解域外求解域外适当位置放置适当位置放置虚拟等效电荷，等效电荷等效分界虚拟等效电荷，等效电荷等效分界面存在的面存在的影响（实际为感应面电荷或极化面电荷的作用）影响（实际为感应面电荷或极化面电荷的作用）目的：目的：将复杂的将复杂的边值问题边值问题化为无限大化为无限大单一媒质空间单一媒质空间的问题的问题 这种等效是否合理？这种等效是否合理？第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波