代数综合题复习答案)

1、中考总复习代数综合题复习（答案版）一、2014年考试说明中与代数综合题有关的C级要求：数与代数式：运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题；方程与不等式：运用方程与不等式的有关内容解决有关问题；一次函数：运用一次函数、方程、不等式的有关内容解决有关问题；二次函数：运用二次函数的有关内容解决有关问题。及与几何图形有关的很多C级要求。这些考试说明的C级要求意味着代数综合题有很多的题型可以选择！面对今年难度很可能会降低的背景下，我们备课组对综合题的复习策略大致是：先是针对近几年的北京中考的代数综合题有针对性的重点复习，再分析2013、2014年的一模、二模的代数综合题涉及到的各种问题进行复

2、习，最后借鉴外地中考中出现的与代数综合题有关的问题。因为难度的降低，我们认为：复习中让学生多了解一些处理问题的方式方法，重在常见方法的落实和计算的准确！因为代数综合题中涉及到的基本问题的求解在各章节复习中已经涉及到了，所以我对综合题的分类是以每题的核心问题为主的，但在学生练习时还是要带着前面的基本问题。二、复习中需要注意的细节： 1、审题：前“二”后“两”、关于“y轴”翻折、将x轴“下方”的部分如何如何、A点在B点的左侧、正整数解、不与C、D两端点重合、不包括边界、点A停止时点B亦停止、给定区间（13分高媛老师） 2、注意隐含条件或前提：一次函数、反比例函数、二次函数（抛物线）的定义中隐含不为

3、0的式子，用的前提，简单综合条件得到的范围等等；3、积累基本问题的解法：如: （1）求线段长纵坐标“上减下”或横坐标“右减左”，不用带绝对值（2）动点坐标化，根据象限，字母隐含取值范围（3）几何元素（面积、线段长）转到坐标时，带绝对值可弥补因作图不全而丢失的解（4）求某点坐标，除了动点坐标化，寻找几何条件列方程外，还有“由点及线”，两函数联立求交点的方法（5）三定一动定平四；两定两动定平四定边、定距离（6）草图尽量准确，平移（转动）尺子，动态模拟运动变化的过程 （13分高媛老师） 另外，整数根问题、根的分布问题、距离最短问题、恒成立问题、单调性问题等等 4、点题：做完每一问或每一题后，要养成点

4、题的习惯，回头看一下自己所求的是否是题目所求，特别是求字母的值或范围时，要重点注意题目所给的范围或隐含范围及前提范围，千万别忘了综合。三、北京近些年的中考代数综合题：06、07年都是重点考察几何综合题的，没有像现在的代数综合题；(08)23已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，（1）证明：是关于的一元二次方程，当时，即方程有两个不相等的实数根2分（2）解：由求根公式，得或3分，4分12344321xyO-1-2-3

5、-4-4-3-2-1即为所求5分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象6分由图象可得，当时，7分(09)23已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围(10)23. 已知反比例函数y=的图像经过点A(-，1)。 (1) 试确定此反比例函数的解析式； (2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋

6、转30°得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由； (3) 已知点P(m，m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0)，过P点作x轴的垂线，交x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n， 求n2-2n+9的值。(11)23. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A的坐标；（2）当时，求m的值；（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上的一个 动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N。若只有当时，点

7、M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式。(12)23已知二次函数在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。解：（1）由题意得. 解得. 二次函数的解析式为. （2）点在二次函数的图象上， . 点的坐标为. 点在一次函数的图象上， . （3）由题意，可得点的坐标分别为. 平移后，点的对应点分别为 . 将直线平

8、移后得到直线 . 如图1，当直线经过 点时，图象（点除外） 在该直线右侧，可得； 如图2，当直线经过 点时，图象（点除外） 在该直线左侧，可得. 由图象可知，符合题意的的取值范围是.（13）23在平面直角坐标系O中，抛物线（）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B.（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的 解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且 在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.(14)23在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原

9、点的对称点为C，点D是 抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B 之间的部分为图象G（包含A，B两点）. 若直线CD与圉象G有公共点，结合函数 图象，求点D纵坐标t的取值范围 .可以看出：08年是考察反比例函数与一次函数的图像位置关系的；10年是面积问题，09、11、12、13、14年全是考察图像与图像的交点的位置和个数问题的。因此，在2013年的各区一模、二模试题中，有7个模拟题是图像与图像的交点的位置和个数问题的，另外还有不少模拟题涉及相似、平行四边形、直角三角形、代数式的求值、整数根、根的分布、线段长度面积、消参数、单调性、关于直线y=-x对称。而到2014年的各区一模、二模试题中，有14

10、个模拟题是图像与图像的交点的位置和个数问题的，另外还有涉及抛物线区间最值、整数根、与角有关、线段长面积的问题。在2014外地中考试题中，除了以上问题，还有涉及过格点的（类似西城期末8）、证明线段平行、垂直的、矩形的性质、距离和最小、现场学习、新定义、实际问题等。对于函数图像与图像的交点问题，题目很多，学生也比较顺手，可用中考题为例练习即可，下面列举别的一些问题，每种给出一两个例题，希望能对大家的复习有所帮助。四、供参考的代数综合题例题（一）抛物线区间最值：分类思想，类似有定轴动区间的分类。例1、（2014年密云一模）23. 已知抛物线 （1）若求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）若 ，证明抛物

11、线与x轴有两个交点； （3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值.（1）当，时，抛物线为， 方程的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是和 -2分 （2） 所以抛物线与x轴有两个交点（3），则抛物线可化为，其对称轴为， 当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时 -，解得，合题意-5分 当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时 -，解得，不合题意，舍去.- -6分当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时 ，化简得：，解得：（不 合题意，舍去），. -7分 综上：或（二）整数根问题：一般考虑顺序：能因式分解的先分解表示出根，用是非负数求范围再求整数值验证，用是平方数求出整数值再验

12、证，个别反解分离后求解等。例2、（2014年朝阳一模）23已知关于x的一元二次方程 .（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值解：（1）由题意 m 0， 1分 方程有两个不相等的实数根， >0 2分即 得 m3 3分 m的取值范围为m0和m3； （2）设y=0，则 ， ， 5分当 是整数时，可得m=1或m=-1或m=3 6分 ， m的值为1或3 7分（三）根的分布问题：数形结合思想。 考试说明中没有根与系数的关系（韦达定理），因此若不能分解表示根时，一般要用二次函数的图形（，对称轴、特殊

13、点的函数值）来解决。例3、（2013年房山二模）23.已知二次函数 （1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2(2k3)x1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x22(ak)x2ak26 k4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值（1）证明：1=0不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点 -1分（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上当x=1时，函数值y0,即0，解得k -2分关于x的一

14、元二次方程k2x2(2k3)x1=0有两个不相等的实数根k0且2=0k且k0 -4分k且k0k=1 -5分（3）由（2）可知，k=1 x22(a1)x2a1=0 解得x1=-1，x2=-2a-1 -6分根据题意，0-2a-13a的整数值为-1. -7分例4、（2013年平谷一模）23. 已知关于m的一元二次方程=0.（1）判定方程根的情况；（2）设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值解：（1） .1分 所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根. .2分(2)设 的两根都在和之间， 当时，即： 当时，即： .3分 为整数， . 4分 当时，方程，

15、此时方程的根为无理数，不合题意当时，方程，不符合题意当时，方程，符合题意 综合可知，.7分（四）与角有关的问题：转化思想。 考虑特殊的边角关系，直线的特殊斜率对应的特殊角，等角、互余角、互补角的转化，用角的三角函数值说明等角，用圆中同弧所对圆周角相等确定角的顶点的位置，等等例5、（2014年平谷二模）23已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x的二次函数的图象经过和两点求这个二次函数的解析式；把中的抛物线沿x轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线设抛物线交x轴于M、N两点（点M在点N的左侧），点P(a，b)为抛物线在x轴上方部分图象

16、上的一个动点.当MPN45°时，直接写出a的取值范围（1）证明：在中，-1分当m取任何值时，无论m取任何实数时，方程总有实数根-2分（2）抛物线过点和点抛物线对称轴为：，得-5分-7分 例6、（2014湖北荆门,第23题10分）已知：函数y=ax2（3a+1）x+2a+1（a为常数）（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2x1=2求抛物线的解析式；作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sinDCB的值考点：二次函数综合题分析：（1）根据a取值的不同，有三种情

17、形，需要分类讨论，避免漏解（2）函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系因为x2x1=2，则可平方，用x1+x2，x1x2表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sinDCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得解答：解：（1）函数y=ax2（3a+1）x+2a+1（a为常数），若a=0，则y=x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；若a0且图象过原点时，2a+1=0，a=，有两个交点（0，0），（1，0）；若a0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：=（3a+1）24a（2a+1）

18、=0，解得a=1，有两个交点（0，1），（1，0）综上得：a=0或或1时，函数图象与坐标轴有两个交点（2）函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，x1，x2为ax2（3a+1）x+2a+1=0的两个根，x1+x2=，x1x2=，（可因式分解表示根会更简单些）x2x1=2，4=（x2x1）2=（x1+x2）24x1x2=（）24，解得a=（函数开口向上，a0，舍去），或a=1，y=x24x+3函数y=x24x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1x2，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D为A关于y轴的对称点，D（1，0）根据题意画图，

19、如图1，过点D作DECB于E，OC=3，OB=3，OCOB，OCB为等腰直角三角形，CBO=45°，EDB为等腰直角三角形，设DE=x，则EB=x，DB=4，x2+x2=42，x=2，即DE=2在RtCOD中，DO=1，CO=3，CD=，sinDCB=点评：本题考查了二次函数图象交点性质、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目（五）距离和最小问题： 例7、(2014年湖北咸宁23（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【探究】（1）填空：当m=0时，OP

20、=，PH=；当m=4时，OP=，PH=；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值考点：二次函数综合题分析：（1）m记为P点的横坐标m=0时，直接代入x=0，得P（0，1），则OP，PH长易知当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP（2）（2）猜想OP=PH证明时因为P为所有满足二次函数y=1的点，一般可设（m，1）类似（1）利用勾股定理和PH=yP（2）可求出OP与PH，比较即得结论（3）考虑（2）结论，即函数y=1的点到

21、原点的距离等于其到l的距离要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OBAB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB6，即A、B两点到l距离的和6，进而最小值即为6解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5如图1，记PH与x轴交点为Q，当m=0时，P（0，1）此时OP=1，PH=1当m=4时，P（4，3）此时PQ=3，OQ=4，OP=5，PH=yP（2）=3（2）=5（2）猜想：OP=PH证明：过点P作PQx轴于Q，P在二次函数y=1上，设P（m，1），则PQ=|1|，OQ=|m|，OPQ为直角三角形，OP=， PH=yP（2）=

22、（1）（2）=，OP=PH（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作ACl于C，过点B作BDl于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离则有OB=BD，OA=AC，在AOB中，OB+OAAB，BD+ACAB当AB过O点时，OB+OA=AB，BD+AC=AB综上所述，BD+ACAB，AB=6，BD+AC6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6点评：本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习（六）新定义问题：例8、（2014江西，第2

23、4题8分）如图1，抛物线的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。（1）抛物线对应的碟宽为_；抛物线对应的碟宽为_；抛物线（a>0）对应的碟宽为_；抛物线对应的碟宽_；（2）若抛物线对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，），定义F1，F2，.Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，

24、现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.求抛物线y2的表达式 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，Fn的碟高为hn。则hn=_,Fn的碟宽右端点横坐标为_；F1，F2，.Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。解：（1）4、.a0，y=ax2的图象大致如图1，其必经过原点O.记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OBOAB为等腰直角三角形，ABx轴，OCAB，AOC=BOCAOB×90°=45°，即AOC=BOC亦为等腰直角三角形，AC=OC=BC，即A、B两点x轴和y轴坐标绝对

25、值相同代入，得方程，解得.由图像可知，A（，），B（ ，），C（0，），即AC=OC=BC，AB=·2，即的碟宽为AB.抛物线y=x2对应的，得碟宽=4；抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽=；抛物线(a0)的碟宽为；抛物线y=a（x-2）2+3（a0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，平移不改变形状、大小、方向，抛物线y=a（x-2）2+3（a0）的准碟形抛物线y=ax2的准碟，抛物线y=ax2（a0），碟宽为，抛物线y=a（x-2）2+3（a0），碟宽为.（2）解法一：y=ax24axa(x2)2（4a)同（1）得其碟宽为，y=ax24ax

26、的碟宽为6，=6，解得，a=.y(x-2)2-3解法二：可得，又已知碟宽在x轴上，碟高=3，解得a±，又a0，a 错误！未定义书签。不合题意舍去，a1.(3) 解法一：F1的碟宽F2的碟宽=2：1，的碟宽AB在x轴上（A在B左边），A（-1，0），B（5，0），F2的碟顶坐标为（2，0），解法二：，a，即碟顶的坐标为（2，3）.的碟顶是的碟宽的中点，且的碟宽线段在x轴上，的碟顶的坐标为（2,0），设，与的相似比为，的碟宽为6，的碟宽为6×3，即3，.的准碟形为等腰直角三角形，的碟宽为2，.=3，·3.，且都过的碟宽中点，都在同一条直线上，在直线x=2上，都在直线x

27、=2上，的碟宽右端点横坐标为2+·3.F1，F2，Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5理由：考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2，Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；且C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EHABx轴，DEx轴，GHx轴，ABDEGH，GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，四边形GFEH、四边形DCBE都是平行四边形，HEGF，EBDC，GFI=GFH= DCE=DCF，GFDC，HEEB，HE，EB都过E点， HE，EB在一条直线上，的碟宽的右端点是在一条直线，的碟宽的右端点是在一条直线根据中得

28、出的碟高和右边端点公式，可知准碟形右端点坐标为（5，0），准碟形右端点坐标为，即(3.5，1.5)待定系数可得过两点的直线为y=x+5，F1，F2，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。（七）代数式求值：例9、（2013西城一模）23已知关于的一元二次方程 (1) 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线

29、求抛物线的解析式；(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值（1）证明：， 1分 而， ，即. 无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. 2分（2）解：当时， . ，即.， . 3分抛物线的解析式为.抛物线的顶点为.抛物线的顶点为.抛物线的解析式为. 4分（3）解：点A（，）和B（，）都在抛物线上， ，且. . . . A、B两点不重合，即， . . 5分， 6分. 7分（八）恒成立问题：例10（2013海淀二模）23已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图

30、象记为点在图象上，且求的取值范围；若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 解：（1）抛物线过点， 解得 抛物线的解析式为 -2分（2）当时，或.抛物线与轴交于点， .-3分当时，或抛物线与直线交于点, .,关于直线的对称点，.-4分根据图象可得0或-5分的取值范围为4或-7分（九）与格点有关问题：例11、（2014河北，第24题11分）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点抛物线l的解析式为y=（1）nx2+bx+c（n为整数）（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点

31、；（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）根据1的奇数次方等于1，再把点H、C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可；（2）根据1的偶数次方等于1，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断；（3）分别利用（1）（2）中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数解答：解：（1）n为奇数

32、时，y=x2+bx+c，l经过点H（0，1）和C（2，1），解得，抛物线解析式为y=x2+2x+1，y=（x1）2+2，顶点为格点E（1，2）；（2）n为偶数时，y=x2+bx+c，l经过点A（1，0）和B（2，0），解得，抛物线解析式为y=x23x+2，当x=0时，y=2，点F（0，2）在抛物线上，点H（0，1）不在抛物线上；（3）所有满足条件的抛物线共有8条当n为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图31所示；当n为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图32所示点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二

33、次函数的对称性，要注意（3）抛物线有开口向上和开口向下两种情况（十）与面积有关问题：例12、（2014四川凉山州，第28题，12分）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象为l1（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B满足此条件的函数解析式有 _ 个写出向下平移且经点A的解析式_ （2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求ABC的面积（3）在y轴上是否存在点P，使SABC=SABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综

34、合题分析：（1）根据实际情况可以直接写出结果；设平移以后的二次函数解析式是：y=x2+c，把（1，2）代入即可求得c的值，得到函数的解析式；（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得ABC的面积，然后分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解解答：解：（1）满足此条件的函数解析式有无数个；设平移以后的二次函数解析式是：y=x2+c，把（1，2）代入得：1+c=2，解得：c=1，则函数的解析式是：y=x21；（2）设l2的解析式是y=x2+bx+c，l2经过点A（1，2）和B（3，1），根据题意得：，解得：，则l2的解

35、析式是：y=x2+x，则顶点C的坐标是（，）（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=得：SABC=S梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD=延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h）当点P位于点G的下方时，PG=h，连结AP、BP，则SAEF=SEFGSAFG=h，又SABC=SABP=，得h=，点P的坐标为（0，）当点P位于点G的上方时，PG=+h，同理h=，点PP的坐标为（0，）综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）点评：本题是待定系数法求函数的解析式，

36、以及函数的平移的综合题，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键（十一）与消参数有关问题：例13、（2013昌平二模）23. 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.（十二）与几何图形相关：例14、（2014江西抚州，第23题，10分） 如图，抛物线()位于轴上方的图象记为1 ，它与轴交于1 、两点，图象2与1关于原点对称， 2与轴的另一个交点为2 ，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4 ；再

37、将3与4 同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6 ； 按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1 ,2 , ，n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. 当时， 求图象1的顶点坐标； 点(2014 , 3) (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n 的顶点n的横坐标为201，则图象n 对应的解析式为_，其自变量的取值范围为_. 设图象m、m+1的顶点分别为m 、m+1 (m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当为何值时，以、m 、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.解析：(1)当时， ，F1的顶点是（-1,1)； 由知：“波浪抛物线”的值的取值

38、范围是-11， 点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上； 由平移知：F2： F3：， Fn的顶点横坐标是201，Fn的解析式是：， 此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0), 200202 . (2)如下图，取OQ的中点O,连接Tm Tm+1 , 四边形OTmQTm+1是矩形， Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O, OTm+1=6, F1： Tm+1的纵坐标为， ()2+12 =62 , =± , 已知0 ， . 当时，以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4. 例15、（2014山东潍坊，第24题13分）如图，抛

39、物线y=ax2+bx+c（aO）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。考点：二次函数综合题分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根

40、据点K在抛物线y=x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，x2+2x+3），根据S四边形ABKC=SAOC+S梯形ONKC+SBNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4, 对称轴x= =1，b=2a， 又抛物

41、线过点A（一2，O）0=4a2b+c， 由 解得：a=, b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是y=x+x+4(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF过点F分别作FHx轴于H , FGy轴于G设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中O<t<4， 则FH=t2 +t+4 FG=t, OBF=OB.FH=×4×（t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,SOFC=OC.FC=×4×t=2tS四边形ABFCSAOC+SOBF +SOFC=4t2+2t+8+2t=t2+4t+12令一t2+4t+12 =17，即t24t+5=0，则=

42、(一4)24×5=一4<0,方程t2 4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F (3)设直线BC的解析式为y=kx+b（kO），又过点B(4,0，), C(0,4)所以，解得：， 所以直线BC的解析式是y=一x+4 由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，）， 又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=一3= .若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DEPQ，只须DE=PQ,设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）当O<m<4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m 由一m2+2m= ，解得：m=1或3当m=1时，线段PQ与DE重合,m=1舍去,m=3，