代数方法第一章 多项式

1、 多项式理论是高等代数的重要内容之一，多项式理论是高等代数的重要内容之一，虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决实际问题时常要用到。因此，在学习这部分内实际问题时常要用到。因此，在学习这部分内容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和计算。计算。重点、难点解读重点、难点解读 本章

2、对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，本章对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式为主。多项式为主。 一元多项式可归纳为以下四个方面：一元多项式可归纳为以下四个方面： （1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、导）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、导数及基本性质。数及基本性质。 （2）整除理论：包括整除、最大公因式、互素的概念）整除理论：包括整除、最大公因式、互素的概念与性质。与性质。 （3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因

3、式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。项式不可约的判定等。 （4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。的关系等。 一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如存在定理、因式分解唯一性

4、定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解对于多元多项式，则要理解 元多项式、对称多项元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。多项式的方法。n1.数域与一元多项式的概念数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理

5、、多项式的根及性质多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理定理.考纲要求考纲要求 1.1 一元多项式的概念一元多项式的概念1、一元多项式的概念、一元多项式的概念形式表达式形式表达式 1110nnnnf xa xaxa xa称为数域称为数域P

6、上文字上文字 的一元多项式，其中的一元多项式，其中x01,na aaP 是非负整数。当是非负整数。当 时，称多项式时，称多项式 的次数为的次数为n. n0na f x记为记为 .f xn2、多项式的相等关系、多项式的相等关系设设 1110nnnng xb xbxb xb 1110nnnnf xa xaxa xa 0,1,2,iif xg xab in则则3、次数公式、次数公式 （1） max,;f xg xf xg x （2） .f x g xf xg x 4、一元多项式环、一元多项式环 所有系数在数域所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为

7、上的一元多项式环，记为 ，称，称P为为 的系数域。的系数域。 P x P x5、一元多项式环的有关结论、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对多项式的加、减、乘运算对 封闭，且多项式的封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。配率，乘法还满足消去律。 P x 例例1、（湖北大学，、（湖北大学，2000）令）令 504948475049.1.1f xxxxxxxxx求求 的奇次项系数之和。的奇次项系数之和。 f x 解解 法法1 由于由于51504911.1 xxxxx515049484711

8、.1 xxxxxxx两式相乘得两式相乘得 102211xxf x 由于由于 与与 无奇次项，从而无奇次项，从而 不可能有奇不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零。次项，故其奇次项系数之和等于零。1021x21x f x 法法2 因为因为 ，所以，所以 是偶函数，于是偶函数，于是是 的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。于零。 f x f x fxf x例例2（河南大学）设（河南大学）设 为一多项式，若为一多项式，若fx f xyf xfy则则 或或 0f x 1.f x 证证 若若 ，则证毕。若，则证毕。若 ，由于，由于 0f x 0f x 2

9、2fxf xxf xf xfx所以所以 只能是零次多项式。只能是零次多项式。 f x令令 ，又因为，又因为 0f xA 220000AfffA所以所以 ，此即，此即 1.f x 1A 1.2 一元多项式的整除一元多项式的整除v例4(利用整除的定义）v例5v例6 v例7v例8含单位根多项式的整除含单位根多项式的整除例例9、 证明证明 （ 是是三个任意的正整数）。三个任意的正整数）。 2331321mnpxxxxx, ,m n p 分析分析 用带余除法及待定系数法不易证明时，可以用带余除法及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即考虑采用因式定理来证明，即 的充分必要的充分必要条件是条

10、件是 xaf x 0.f a 证证 可求得可求得 的根为的根为21xx121313,22ii 所以所以 ，又由，又由2121xxxx 3211101,2iiiii 知知 ，从而，从而31i3331.mnpiii设设 33132,mnpf xxxx则有则有331322101,2mnpiiiiiifi 故由因式定理知故由因式定理知 且且 ，又因为，又因为 1xf x 2xf x1x2x且且 互素，从而互素，从而 12xxf x即即 21.xxf x 注注 本例证明中，本例证明中， 是指在复数是指在复数域域C上，而命题本身可理解为在一般数域上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问上讨论整除问题

11、。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在因此，上述多项式在P上与在上与在C上整除是一致的。上整除是一致的。 12xxf x v例11 1.3 最大公因式与互素的求法与证明最大公因式与互素的求法与证明v例4 v例5 例例7、设、设 都是都是 中的非零多项式，且中的非零多项式，且 ,f xg x P x 1,mg xsx gx这里这里 ，又若，又若1m 1,1s xgx且且 。证明：不存在。证明：不存在 ，且，且 s xf x 1,

12、fxr xP x 0,r xr xs x 使使 111mmf xr xfxg xsxsx gx 11f xr x gxfx s x 证证 用反证法。若存在用反证法。若存在 使式使式成立，则成立，则用用 乘式乘式两端，得两端，得 1,fxr x g x因为因为 ，由式，由式有有 1,s xf xs xfx s x 1.s x r x gx但但 ，所以，所以 ，这与，这与 1,1s xgx s x r x r xs x 矛盾。矛盾。1.4 多项式的分解与根问题多项式的分解与根问题(广西师大广西师大1997年）年） 例例5、设复系数非零多项式、设复系数非零多项式 没有重因式，证明：没有重因式，证明：

13、 f x ,1f xfxf x 证证 因为因为 无重因式，所以无重因式，所以 f x ,1.fxf x任取任取 与与 的公因式的公因式 ，则，则 f xfx f x x xf xfx且且 xf x于是于是 xf xfxf x即即 .xfx即即 是是 与与 的公因式，从而的公因式，从而 。故。故 x f x fx 1x ,1f xfxf x 例例6、当正整数、当正整数 取何值时，取何值时， 有有重因式。重因式。n 11nnf xxx 解解 ，由重因式判定定理知，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要条件是有重因式的充分必要条件是 与与 不互素，即不互素，即 与与 有公共根有公共根 ，于是，于是 111nnfxn xnx f x f x f x fx fx 110nnf 1110nnfnn即即1111,1,nnnn从而从而1111111nnnn 可得可得111,11,nn这表明这表明 与与 都是都是 次单次单11n位根。位根。令令 ，则，则abi11.abi 由由 得得11222211.abab所以所以 。于是。于是 ，即，即 是是3次单位次单位 13,22ab 1322i 根，故根，故31 .n1.5 复、实及有理数域上多项式的分解复、实及有理数域上多项式的分解2v不可约多项式的判别方法v1 反证法 ,g xh x其中其中 是整系数多项式，且是整系数多项式，且 ,.g xnh xn