复变函数第一章第二节

1、第二节 复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考2一、复平面一、复平面1. 复平面的定义复平面的定义. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 32. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对

2、值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22yxrz 记为记为xyxyoiyxz Pr显然下列各式成立显然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 43. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg1为任意整数为

3、任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.5辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,64. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复

4、数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .75. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo1z2z. 实轴对称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 8利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos i

5、ei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示9例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz10指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2( iz 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103s

6、in 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 11例例2 2. , 0 ,sincos1 的辐角的主值的辐角的主值并求并求式式三角表示式与指数表示三角表示式与指数表示化为化为把复数把复数ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指数式指数式).2arg z12例例4 4.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 证明证明为两个任意复数为两个任意复数设设证证21(1)zz)( )(2

7、121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 13 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz 14例例6 6. 222111表示表示线用复数形式的方程来线用复数形式的方程来的直的直与与将通过两点将通过两点iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直线的方程的直线的方程

8、与与通过两点通过两点yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t参数参数所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),( t参数参数15 ,21的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得线段得线段zz.221zzz 16例例8 8求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径

9、为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程1722)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为18二、复球面二、复球面1. 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的球面

10、的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SNxyPNOS19 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作.

11、 因而球面因而球面上的北极上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2. 复球面的定义复球面的定义203. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .对于复数对于复数来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义, 它的模规定为正无穷大它的模规定

12、为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.21 : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法22三、小结与思考三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的复数的各种表示法各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面复平面. 注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应, 所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈23思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都