复变函数的积分习题课

1、12 一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算3 二、内容提要二、内容提要有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数4 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, ,

2、如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那末我们就把那末我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记记为为1.1.有向曲线有向曲线52.2.积分的定义积分的定义, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设设分分点点为为个个弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲线线的的一一条条光光滑滑的的有有向向曲曲线线终终点点为为内内起起点点为为为为区区域域内

3、内定定义义在在区区域域设设函函数数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 6,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的的长长度度这这里里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无无限限增增加加且且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对Czf

4、SCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 73.3.积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算（1 1）化成线积分）化成线积分且且存在存在则积分则积分连续连续沿逐段光滑的曲线沿逐段光滑的曲线设设,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则84. 积分的性质积分的性质;d)(d)()

5、1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为为常常数数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连结而成连结而成由由设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那那末末上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设曲曲线线95. 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理) . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分析析内处处解内处

6、处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的积积分分为为零零内内的的任任何何一一条条封封闭闭曲曲线线沿沿那那末末函函数数内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数10).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函数解析函数内的一个内的一个必为必为那末函数那末函数析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C116.6.原函数

7、的定义原函数的定义. )( )( , )()( , )( )( 的的原原函函数数内内在在区区域域为为那那末末称称即即内内的的导导数数为为在在区区域域如如果果函函数数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数的一个原函数是是因此因此zffzFzz . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布

8、尼兹公式) )127. 7. 闭路变形原理闭路变形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内内解解析析在在如如果果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末13). , , , , :( , , ,

9、 , 2121顺顺时时针针进进行行按按按按逆逆时时针针进进行行其其方方向向是是组组成成的的复复合合闭闭路路为为由由这这里里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf148.柯西积分公式柯西积分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的

10、值等于它在圆周上的平均值平均值.则则有有是是圆圆周周如如果果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf15 9. 高阶导数公式高阶导数公式. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 16. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉

11、斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 10.调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.17. . , , 的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为和函数中和函数中的两个调的两个调内满足方程内满足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),( , ),( 的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调

12、和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数轭调和函数. . 共轭调和函数共轭调和函数18 三、典型例题三、典型例题例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段： 与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dit

13、tittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 19zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.20，因为因为21 z22111 zzz所所以以221 z, 2 因此因此zzzzzzccd11d11 证证.8222 例例2 2 设设C为圆周为圆周 证明下列不等式证明下列不等式.21 z.8d11 czzz21解解222442zzzz , 1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例3 3 计算计算1 z当当

14、 时时,故由柯西积分定理得故由柯西积分定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz22计算以下积分计算以下积分沿指定路径沿指定路径23: izC例4例4 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由由复复合合闭闭路路定定理理有有则则及及为为半半径径作作圆圆以以为为圆圆心心及及以以分分别别及及内内有有两两个个奇奇点点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122223 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古萨基本定理及重要公式古萨基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由

15、柯西- -古萨基本定理有古萨基本定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C24 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 25 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内内解解析析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 26由由复复合合闭闭路路定定理理有有则则及及为为半半径径作

16、作圆圆以以为为圆圆心心及及以以分分别别及及内内有有两两个个奇奇点点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内内解解析析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得27 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 28.10,d)1(3光光滑滑曲曲线线的的闭闭与与是是不

17、不经经过过其其中中计计算算CzzzeCz 例例5 5解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也也不不包包含含既既不不包包含含若若封封闭闭曲曲线线, 10)1C,)1()(3内内解解析析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古萨基本定理得古萨基本定理得由柯西由柯西29则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线, 10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 30则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线, 01)3C,)(内解析内解析

18、在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie 31, 01)4又又包包含含既既包包含含若若封封闭闭曲曲线线C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据复合闭路定理有据复合闭路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C32 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzz

19、eCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的的结结果果即即为为而而积积分分33解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 为大于为大于1的自然数的自然数.n 例例6 6 计算下列积分计算下列积分所以所以的奇点的奇点和和是是因为因为,10nznzezz 34).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及及解解析析函函数数轭轭调调和和函函数数求求其其共共已已知知调调和和

20、函函数数例例7 7解法一解法一 不定积分法不定积分法. 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又35,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为为任任意意常常数数因因此此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 36 解法二解法二 线积分法线积分法. ),()0 , 0(),(d),(yxCyxvyxv因因为为 ),()0 , 0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0( yxCyxuxyu ),()0 , 0(d)2(d)2(),(yxCyyxxxyyxv所所以以 )0,()0,0()0,()0,0(d)2(d)2(xxyyxxxy ),()0,(),()0