高中数学选修(2-3)3.1回归分析的基本思想及其初步应用

1、.年龄年龄脂肪脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄年龄脂肪脂肪5833.56035.26134.6 如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？与年龄之间有怎样的关系吗？ 探究探究 下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。立直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。如图：如图：o202530 35 4045 505560 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152

2、025303540 从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示： 如高原含氧量与海拔高如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧上，海拔高度越高，含氧量越少，称它们成负相关量越少，称它们成负相关. .o如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相

3、关关系附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系, ,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。o o202025253030353540404545 5050556060 6565年龄年龄脂肪含量脂肪含量5 5101015152020252530303535404008年中山高二期末年中山高二期末1 12 23 34 45 56 67 78 8身高身高 165165162162157157160160148148165165155155170170体重体重 48484747505048484545616143435959案例案例: :从某班随机抽取从某

4、班随机抽取8 8名女同学的身高和体重数据如下名女同学的身高和体重数据如下, ,作散点图作散点图, ,分析变量关系分析变量关系. .该班女生身高与体重大概呈线性关系该班女生身高与体重大概呈线性关系练习练习: :下列下列5 5组数据中组数据中, ,去掉去掉( )( )组数据后组数据后, ,剩下剩下的数据的线性相关性最大的数据的线性相关性最大. .a(1,3)oxy.b(2,4).c(4,5).d(3,10).e(10,12)相关系数相关系数r r12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy（1 1）r0,x,yr0,x,y正相关；正相关； r0,x,yr 0.75 知，这次段考

5、的数学成绩和知，这次段考的数学成绩和物理成绩有显著性的线性相关关系物理成绩有显著性的线性相关关系ybxa回归直线方程表示为： ab复习：最小二乘估计 和(1)_x 知识点知识点: :_y ( , )x y 表示样本点中心121()()(2)()niiiniixxyybxx(3)ayb x11niixn11niiyn某公司利润某公司利润y y与销售总额与销售总额x x （单位：千万元）之间有以下对应数据：（单位：千万元）之间有以下对应数据：x x10101515171720202323y y1 11.41.41.91.92 22.72.7(1)(1)画出散点图画出散点图 （2 2）求回归直线方程

6、）求回归直线方程（3 3）估计销售总额为）估计销售总额为3030千万元的利润千万元的利润10 1 15 1.4 17 1.920 223 2.7165.4 参考值：参考值：09年中山高二期末考1 12 23 34 45 56 67 78 8身高身高x x165165162162157157160160148148165165155155170170体重体重y y48484747505048484545616143435959案例案例: :从某班随机抽取从某班随机抽取8 8名女同学的身高名女同学的身高 和体重数据如下：求（）和体重数据如下：求（）该样本中心该样本中心(2) (2) 线性回归方程，

7、（线性回归方程，（3 3）若本班有一女生身高是）若本班有一女生身高是，预报她的体重是多少？，预报她的体重是多少？解解: :121()()(2).0.675()niiiniix x y ybx x58.04aybx (1)用计算器可得 x=160.25, y=50.1250.67558.04yx (3)160,0.67558.0449.96xyx当时探究：探究：身高为身高为160cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是49.96kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是6

8、0.316kg60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg60.316kg。定义定义: :线性回归模型：线性回归模型： y =bx+ay =bx+ax:x:解释变量解释变量,y:,y:预报变量预报变量,e,e随机误差随机误差解释变量解释变量x(x(身高身高) )随机误差随机误差e e求预报变量求预报变量 y(y(体重体重) )求未知参数求未知参数a,b?a,b?+ex:x:解释变量解释变量,y:,y:预报变量预报变量,e,e随机误差随机误差解释变量解释变量x(x(身高身高) )随机误差随机误差e e求预报变量求预报变量 y(y(体重体重) )解释

9、变量解释变量x x对预报变量对预报变量y y影响有多大影响有多大呢？随机误差呢？随机误差e e对预报变量对预报变量y y影响影响又有多大呢？又有多大呢？线性回归模型：线性回归模型：y=bx+a+e1122,(,)nnx yxyxy样本点：（） （）ybxaiiieyy残差：编号编号12345678身高身高x165165157170175165155170体重体重y4857505464614359iy估计值i残差e54.37354.37347.581 58.618 62.86354.373 45.88358.618-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.3

10、8221()128.361niiiyy残差平方：和 即随机误差的效应为即随机误差的效应为128.361128.361712.85849. 0 xy残差平方和越小，残差平方和越小，y y与与x x的模型拟合程度越好的模型拟合程度越好iy理论值ie残差54.373 54.373 47.581 58.618 62.863 54.373 45.883 58.618-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.883 0.382我们利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐我们利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号、身高等，这样作出的图形叫做残差

11、图标可以选为样本编号、身高等，这样作出的图形叫做残差图可以看出第可以看出第1个样本点和第个样本点和第6样本点的残差比较大，样本点的残差比较大，于预报变量变化的贡献率于预报变量变化的贡献率.21r相关指数越接近于 ，表示回归的效果越好！残差平方和残差平方和总偏差平方和总偏差平方和或者说：残差平方和越小，表示拟合（回归）效果或者说：残差平方和越小，表示拟合（回归）效果越好越好2xr解释变量（ ）对总效应相的关指数表示贡献率。r衡量两个变量之间线性相相关系数 ：关的强弱r2与r 的区别：2r2r在数值上：22123rrr2、先算相关系数、再算相关指数、算总偏差平方和4、用总偏差平方和 r（得回归平方和）5、求残差平方和：总偏差平方和回归平方和练习、对下表给出的数据，使用最小二乘法求水稻产量练习、对下表给出的数据，使用最小二乘法求水稻产量y对化肥用量对化肥用量x的回归直线，的回