n阶行列式的计算方法

1、n阶行列式的计算方法徐亮（西北师范大学数信学院数学系 ，甘肃 兰州 730070 ）摘 要：本文归纳总结了n阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，范得蒙行列式The Calculating Method of the N-order DeterminantXu Liang (College of Mathematics and Information Science，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China)Abstract:This paper intro

2、duces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的行列式的计算问题多种多样

3、，灵活多变，需要有较强的技巧现介绍总结的计算n阶行列式的几种常用方法1 定义法应用n阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法根据定义，我们知道n阶行列式这里表示对构成的所有排列求和例1计算n阶行列式解：当时， ；当时， ；当时，表示第一行乘加到各行上故由定义知n阶行列式的展开式有项，计算量很大，它主要应用于行列式中许多元素为零的情况2 提公因式法根据行列式的性质，把一个行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符号的外边的方法称为提公因式法即例2计算n阶行列式解：3化三角形法利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角行列式，然后再计算行列式的值的方法称为化三角形法此种方法是把给定的行列式表示为

4、一个非零数与一个三角形行列式之积所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式，三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的n阶行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n阶行列式等于次对角线上的元素之积且带符号总结如下： （1） = = = （对角形） （上三角形） （下三角形） （2） = = = （次对角形） （次上三角形） （次下三角形） 例3计算n阶行列式解：将行列式的第列都加到第1列，可知第1列元素都相同，再提出公因式，得例4计算n阶行列式解：将行列式的第列都加到第1列，第1列元素都相同，再提出公因式，得4降阶法利用行列式的性质，将行列式的阶数化低；然后再计算行列式之值

5、的方法称为降阶法根据行列式按行（列）展开法则：n阶行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和即值得注意的是在使用时应先利用行列式性质，将某一行（列）元素尽可能多地化成零，然后再展开，使计算简便例5计算n阶行列式解：将行列式按第一列展开，得例6计算n阶行列式解：将行列式的第列都加到第1列，再从第1列中提出公因式，得从第行开始，各行乘加到下1行，得：其中将用三角形法各行减去第1行，得将代入式，得5升阶法前面介绍了在计算行列式时利用依行（列）展开定理使行列式降阶，从而使问题简化有时与此相反，即在原行列式的基础上添加一行（列），使其升阶构造一个容易计算的新行列式，从而求出原

6、行列式的值，这种计算行列式的方法称为升阶法凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行元素成比例升阶时，新行（列）由哪些元素组成，添加在那个位置，这要根据原行列式的特点作出适当的选择例7计算n阶行列式解：将原行列式添加1行1列，得，将第1行乘后，加到第行，得，将行列式的第列分别乘，加到第1列，就可以变为上三角形行列式，其对角线上的元素为得例8计算n阶行列式解：将原行列式添加1行1列，得，将第1行乘加到其余各行上去，得，将第列分别乘，全部加到第1列，得，变化为上三角形行列式，得例9计算n阶行列式解：将原行列式添加1行1列，得，将第行，减去第1行，得，将

7、第列乘，加到第1列，得若，显然，故上式对一切都成立6递推法利用行列式的性质，把某一行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式（称为递推关系），根据所得到的递推关系式及低阶某初始行列式的值，便可递推求得所需的结果，这种方法称为递推法例10计算n阶行列式解：将行列式按第1行展开，得于是得到一个递推关系 变形得 则 所以 ，据此再递推，得 拆开法 利用行列式的性质，按某一行（列）将已知行列式拆为易于求值的若干行列式的和的方法，称为拆开法即把某一行（列）的元素写成两个元素的和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化，易于计算若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列

8、式可按此行（列）拆成两个行列式之和即例11计算n阶行列式解：将第n列元素写成两个元素的和，即，根据行列式的性质，得对上面的第一个行列式，将第n列乘加到其余各列上；对第二个行列式按第n列展开，得：于是获得第一个递推关系 如果将按下面方式拆项，又得到又得到另一个递推关系 故有递推关系式 当时，解得 当时，解得 例12计算n阶行列式解：将的第n行可写成，则：，对第一个行列式，按最后1行展开；对第二个行列式，将最后1列分别加到第1列，第2列，第n-1列，再按最后1行展开，得：若将的第n列写成，则由以上两式，可解得换元法将行列式的元素进行变换，然后再计算行列式之值的方法，称为换元法这种方法主要依赖于行列式的下述性质：其中为元素在行列式中的代数余子式特别的，如果，则上式变为例13计算行列式 解：将的所有元素减去，得，的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，则：9 利用范德蒙（Vandermonde）行列式著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要的地位，在计算行列式的时候，可以直接利用其结果范德蒙行列式的形式和结果为例14计算n阶行列式解：将第1列元素变形拆开，得把第一个行列式从第1行起依次将第行加到第行；第二个行列式的第列提取，得综上所述，我们介绍了计算n阶行列式的9种常见方法，最后