工程力学-第四章

1、第四章平面任意力系力力系系分分类类平面力系平面力系空间力系空间力系平面特殊力系平面特殊力系平面任意力系（平面一般力系）平面任意力系（平面一般力系）平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面平行力系平面平行力系空间特殊力系空间特殊力系空间任意力系空间任意力系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间平行力系空间平行力系解决的问题：解决的问题：平面任意力系的合成与平衡问题平面任意力系的合成与平衡问题平面任意力系实例平面任意力系实例 本章重点、难点本章重点、难点重点重点 平面任意力系向作用面内任意一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系平衡的解析条件，各种形式平衡方程及应用。 物体及物体

2、系平衡问题的解法。难点主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。4-1 4-1 力的平移定理力的平移定理( )BBMMFFd可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一点平行移到任一点B，但必须但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对对新作用点新作用点B的矩的矩.4-2 4-2 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化在平面内任取一点在平面内任取一点O，称为简化中心，应用平移定理，将各力都，称为简化中心，应用平移定理，将各力都平移到平移到O点。点。平面任意力系等效为两个简单力系：平面任意力系等效为两

3、个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系平面汇交力系和平面力偶系12 iRnFFFFF12()ionoMMMMMFl 平面力偶系：平面力偶系：可合成一个力偶，该力偶矩为各附加力可合成一个力偶，该力偶矩为各附加力偶矩的代数和。偶矩的代数和。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.RiFF 主矢主矢( )OOiMM F主矩主矩RxixixxFFFFRyiyiyyFFFF主矢大小主矢大小22()()RxyFFF 方向方向cos( , )xRRFFiFcos( , )yRRFFjF作用点作用点作用于简化中心上作用于简化中心上主矩主矩)(iOOFMM平面任意

4、力系的解析表达式：平面任意力系的解析表达式：1 1、平面固定端约束、平面固定端约束= = = =2 2、 平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析= =0RF0OM合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF0OM合力，作用线距简化中心合力，作用线距简化中心ORdMF若为若为O1点，如何点，如何? ?0RF0OM合力偶合力偶与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关0RF0OM平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关例例4-14-1已知：已知：1450kN,P 2200kN,P 1300kN,F 270kN;F 求：求：合力作用线方程合力作用线方程力系向力系向O点的简化结果

5、点的简化结果合力与合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x，解：解：（1）主矢：主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF 22()()709.4kNRxyFFFcos(, )0.3283, cos(, )0.9446yxRRRRFFFiFjFF (, )70.84 ,(, )18019.16RRFiFj 主矩：主矩：112( )31.53.92355kN mOOMMFFPP （2 2）求合力及其作用线位置）求合力及其作用线位置. .23553.3197709.4ORMdFm003.514cos 9070.84dx m（3 3）求合力作用线方程）求合力作用

6、线方程2355670.1232.9xy607.1232.923550 xy平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零力系的主矢和对任意点的主矩都等于零00ROFM 4-3 4-3 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件)()()(22iOOyxRFMMFFF因为因为1 1、平面任意力系的平衡方程、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的平面任意力系平衡的解析条件解析条件是：所有各力在是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零以及各力对

7、于任意一点的矩的代数和也等于零.000 xyOFFM平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程一般式一般式平面任意力系的平衡方程另两种形式平面任意力系的平衡方程另两种形式二矩式二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直两个取矩点连线，不得与投影轴垂直三矩式三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线三个取矩点，不得共线2 2、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF两点连线不得与各力平两点连线不得与各力平行行00BAMM各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直00AyMF平

8、面平行力系的方程为两个，有两种形式平面平行力系的方程为两个，有两种形式0,0 xAFX由( )0 ;202ABM FaRa q am Pa 0yF 0PqaRYBA)kN(122028.01628.02022PamqaRB)kN(24128.02020BARqaPY例例4-2 已知：已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、B的支反力。的支反力。解：研究解：研究AB梁梁解得：解得：例例 4-3 4-3 已知：旋转式起重机，自重已知：旋转式起重机，自重W=10 kN，被起吊重物重，被起吊重物重Q=40 kN 。求：止推轴承。求：止推轴承A 和径向轴承和

9、径向轴承B 的约束反力。的约束反力。解：解： 研究起重机；研究起重机； 受力分析：受力分析：W , Q ,XA ,YA ,NB ； 取取 Axy直角坐标轴直角坐标轴； 列平衡方程求解：列平衡方程求解：05 . 35 . 15, 0)(05 . 35 . 15, 0)(0, 0QWXFmQWNFmQWYYABBAAkNNkNYkNXBAA31;50;31解得：解得：例例4-44-4已知：已知：, , ,;P q a Mqa求：求： 支座支座A、B处的约束力处的约束力.解：取解：取AB梁，画受力图梁，画受力图. 0 xF0AM 0yF0AxF解得解得0AxF4220BFaMPaqa a3142BF

10、Pqa20AyBFqaPF342AyPFqa例例4-54-5已知：已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20kN m,q 1 ;l m求：求：固定端固定端A A处约束力处约束力. .解：解： 取取T型刚架，画受力图型刚架，画受力图.其中其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF316.4AxFkN060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM例例4-6 已知：塔式起重机已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和，尺寸如图。求：保证

11、满载和空载时不致翻倒，平衡块空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当当Q=180kN时，求满载时轨道时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？给起重机轮子的反力？解：解： 首先考虑满载时首先考虑满载时( W=200kN )，起重机不向右翻倒起重机不向右翻倒Q 的最小值：的最小值：( )0BMF 0) 22() 212(2) 26 (ANWPQ0AN限制条件：限制条件：kN 75Q解得：解得：空载时空载时( W=0 ) ，起重机不向左翻倒，起重机不向左翻倒Q 的最大值：的最大值：由由( )0AMF 0)22(2)26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒因此

12、保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q04) 212(2) 26 (BNWPQ( )0,AMF , 0Y0BANNWPQkN 870,kN 210BANN 求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时， NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得：一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念 我们学过：我们学过：平面汇交力系平面汇交力系 有两个独立的平衡方程，只能解有两个独立的平衡方程，只能解两个未知量。两个未知量。 一个独立方程，只能解出一个未知量。一个独立方程，只能解出一个未知量。0X0Y0M

13、 0X0Y( )0OMF 平面力偶系平面力偶系 平面任意力系平面任意力系当：未知量数目当：未知量数目独立方程数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目时，是静定问题（可求解）未知量数目独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）未知量数目独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）4-4 4-4 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题三个独立方程，只能解出三个未三个独立方程，只能解出三个未知量。知量。 例例 物体受平面汇交力系作用物体受平面汇交力系作用 未知量数未知量数 2 2= = 独立平衡方程独立平衡方程数数 2 2 静定问题静定问题未知量数未知量数 3 3 独立平衡方程数独立

14、平衡方程数 2 2静不定问题静不定问题 物体受平面平行力系作用物体受平面平行力系作用未知量数未知量数 2 2= = 独立平衡方程独立平衡方程数数 2 2 静定问题静定问题未知量数未知量数 3 3 独立平衡方程数独立平衡方程数 2 2静不定问题静不定问题 静不定问题在变形体力学静不定问题在变形体力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中，除弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解充方程来联合求解。静定问题静定问题 未知量数未知量数 3 3 = = 独立平衡方程数独立平衡方程数 3 3 静不定问题静不定问题未知

15、量数未知量数 4 4独立平衡方程数独立平衡方程数 3 3 物体受平面一般力系作用物体受平面一般力系作用 例例 二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统。称为物体系统。 物体系统物体系统 解物系问题的一般方法解物系问题的一般方法 由整体由整体 局部局部 或或 由局部由局部 整体整体 物系平衡的特点物系平衡的特点 物系平衡

16、物系平衡 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 3个平衡方个平衡方程，整个系统可列程，整个系统可列3 3n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n个物体个物体, ,每个物体都每个物体都受有平面一般力系作用）受有平面一般力系作用） 由由n个刚体组成的物系，其中个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有个刚体为二力体或受有平平面力偶系作用，面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用，且：个刚体受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统，则整个系统可列出

17、可列出m个独立的平衡方程，而个独立的平衡方程，而 m = n1+2n2+3n3 ，可求解，可求解m个未个未知量。知量。 例例 已知：三铰刚架受力及尺寸如图。求：固定铰支座已知：三铰刚架受力及尺寸如图。求：固定铰支座 A 、 B 的反力和中间铰的反力和中间铰C 处的压力。处的压力。解：解： 研究刚架系统整体研究刚架系统整体刚架受力分析如图，列刚架受力分析如图，列 平衡方程求解：平衡方程求解：( )0,()0ABMFY lGaG laPh( )0,()0BAMFY lPhG laGa由由 、 解得：解得：)(1; )(1PhGllYPhGllYAB00PXX,XBA 再研究再研究CB 部分部分受力

18、分析如图，列平衡方程求解：受力分析如图，列平衡方程求解：022, 0)(alGHXlYFmBBC0, 0BCXXX0, 0GYYYCB解得：解得：)2(21PhGaHXBlPhYPhGaHXCC; )2(21再将再将 XB 之之值代入式，得：值代入式，得：)22(21PHPhGaHXA例例 已知：已知：OA=R, AB= l , 当当OA水平时，冲压力为水平时，冲压力为P时，时， 求：求：M=？O点的约束反力？点的约束反力？AB杆内力？杆内力？冲头给导轨的侧压力？冲头给导轨的侧压力？0X由0sinBSN0Y0cosBSPgPNPSB t ,cos解：研究解：研究B0)(FmO0cosMRSA0

19、X0sinAOSX0Y0cosOAYSPRM PYO tgPXO负号表示力的方向与图中所设方向相反负号表示力的方向与图中所设方向相反再研究轮再研究轮例：例：已知已知: :F=20kN, ,q=10kN/m, ,20kN m,M l=1=1m; ;求求: :固定端固定端A处处,铰链铰链B处的约束力处的约束力. .解解: :取取CD梁梁, ,画受力图画受力图. .0CMsin60cos30202BlFlqlFl FB=45.77kN32.89kNAxF0yF 2.32kNAyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl10.37kN mAM取整体取整体, ,画受力图画受力图.

20、.0 xF cos60sin300AxBFFF例例 已知已知: : P=60kN, P1=20kN, P2=10kN, ,风载风载F=10kN, , 尺寸如图尺寸如图; ;求求: : A,B处的约束力处的约束力. .解解: :取整体取整体, ,画受力图画受力图. . 0AM05246101221FPPPPFBykN5 .77ByF0yF 0221PPPFFByAykN5 .72AyF0 xF 0BxAxFFFAxBxFFF取吊车梁取吊车梁, ,画受力图画受力图. . 0DM024821PPFE12.5kNEF 取右边刚架取右边刚架, ,画受力图画受力图. . 0CM04106EBxByFPFF

21、kN5 .17BxFkN5 . 7AxF例例已知已知: :DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P, ,各构件自重不计各构件自重不计, ,045 .求求: :A, ,E支座处约束力及支座处约束力及BD杆受力杆受力. .取整体取整体, ,画受力图画受力图. .解解: : 0EM02522lPlFAPFA8250 xF 045cos0AExFF0yF 045sin0AEyFPFPFEx85PFEy813取取DCE杆杆, ,画受力图画受力图. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDBPFDB823（拉）（拉）例例已知：已知：P =20kN，q = 5kNm ，a = 45；求支座

22、；求支座A 、C的反力和中间铰的反力和中间铰B处的压力。处的压力。解：解： 先研究先研究 BC 梁（附属部分）梁（附属部分） 受力分析如图，列平衡受力分析如图，列平衡 方程求解：方程求解：02cos1,0)(CBNPFm0sin,0CBNXX0cos,0CBNPYY解得：解得： NC =14.14kN ; XB =10kN YB =10kNl 再研究再研究 AB 部分（基本部分）部分（基本部分） 受力分析如图，列平衡方程受力分析如图，列平衡方程求解：求解：021,0)( BAAYQMFm0,0BAXXX0,0BAYQYY其中：其中：Q = q2 = 5 2 =10kN, BBYY10kNMA=

23、 30kNm , 解得：解得：BAXX10kNYA= 20kN例例 已知：连续梁上，已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂铅垂, 不计梁重不计梁重求：求：A ,B和和D点的反力点的反力本题研究解题思路和解题本题研究解题思路和解题过程的顺序之间的关系过程的顺序之间的关系 0FM0512PQYG)kN(50210550GY解：研究起重机解：研究起重机0CM016GDYY)kN(33. 8650DY 再研究梁再研究梁CD0610123, 0QPYYmDBA)kN(100BY0, 0PQYYYYDBA)kN(33.48AY 再再研研究究整整体体 解题思路和解题过程的顺序是相反的解题

24、思路和解题过程的顺序是相反的0,0AXX解题思路：解题思路：梁梁 CD起重机起重机解题过程解题过程梁梁 CD系统整体系统整体系统整体系统整体起重机起重机例：已知例：已知14kN,P 210kN,P 尺寸如图；尺寸如图；求：求：BC杆受力及铰链杆受力及铰链A受力受力. .解解: :取取AB 梁，画受力图梁，画受力图. .0 xF cos300AxTFF0yF12sin300AyTFPPF0AM21sin306430TFPP 17.33kNTF 5.33kNAyF5kNAxF又可否列下面的方程？又可否列下面的方程？21120cos3000sin30 643006320ixAxTATBAyFFFMF

25、PPMFPP l（2 2）2112120sin30 6 430063200340ATBAyCAxMFPPMFPPMFACPP 可否列下面的方程可否列下面的方程? ?例例 已知：已知：P=10=10kN , ,a , ,杆、轮重不计；杆、轮重不计；求：求：A ,C支座处约束力支座处约束力. .解：解：取整体，受力图能否这样画？取整体，受力图能否这样画？取整体，画受力图取整体，画受力图. .0CM48.50AxTaFaPF a解得解得20AxF kN00 xAxCxFFF20CxFkN解得解得0yF0AyCyTFFFP10AyF kN取取BDC 杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取ABE（带着轮）带着轮）取取ABE杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取BDC杆（带着轮）杆（带着轮）104340BCyTTCxMaFFaFaFa解得解得15kNCyFAB例例 已知已知:构架构架ABC由由AB、AC 、AF三杆组成三杆组成，受力及尺寸受力及尺寸 如图所示。如图所示。DF杆上的销子杆上的销子E可在可在 AC 杆的槽内滑动，求杆的槽内滑动，求AB杆上杆上A、D和和B点点 所受的力。所受的力。BXBYCXCY它有六个反力，不可直接求解。它有六个反